2683

При температурах T1 и T2 энтропии соответственно рав-

ны:

S1 (CV R)lnT1 S0 ,

S2 (CV R)lnT2 S0 .

Для приращения энтропии получаем

S2 -S1 (CV R)ln T2 .

T1

6.167. Молярная теплоемкость кристаллов при очень низких температурах зависит от температуры и определяется следующей закономерностью C T3 , где - постоянная. Поскольку объем твердых тел при нагревании меняется мало, их теплоемкость при постоянном давлении незначительно отличается от теплоемкости при постоянном объеме и, следовательно, можно положить Cp CV и говорить о теплоемкости С

твердого тела, C Cp CV . Теплоемкость интересующего

кристаллического тела определяется экспериментально. Пренебрегая изменением объема кристалла при нагрева-

нии, внутреннюю энергию и энтропию кристалла можно определить так:

6.168. Температурная зависимость теплоемкости алюминия в заданном температурном интервале представлена закономерностью C a bT, где a и b – постоянные, имеющие определенные значения.

141

Приращение энтропии алюминиевого образца массы m при нагревании от T1 до T2 будет равно

Поскольку постоянные a и b даны в удельном смысле, то через приращение энтропии данного образца равно

При подстановке значений исходных величин получаем

S 2,0кДж/К.

6.169. Дано, что в некотором процессе температура вещества T Sn , и n – постоянные. Найти зависимость

C f (S).

Теплоемкость

6.170. Теплоемкость некоторого вещества С. Найти зави-

Удовлетворив граничному условию, получим: const T0e S/C , T T0e(S S0 )/C .

142

6.171. Идеальный газ совершает процесс так, что S ,

6.172. На рисунке приведены два цикла рабочего вещества, в которых T1 /T2 n. Найдем к.п.д. этих циклов.

1) Для цикла а. Рабочее тело получает теплоту в изотермическом процессе 1 2 равную Q1 T1(S2 S1). Участок

2 3 является адиабатическим, а отбор тепла происходит на отрезке 3 1 цикла. Можно догадаться, что произведенная за цикл работа равна площади треугольника 1,2,3, то есть:

143

2) Для цикла б. Сценарий тот же, игра – несколько другая. Неиспользованная теплота (отданная вовне) равна

Произведенная работа (по площади цикла T S ) равна

6.173. Пусть параметры состояния и энтропия газа, первоначально находящегося в одном из сосудов (например, сосуде 1) были равны V1 , T1 и S1 . После открытия вентиля газ ока-

144

Поскольку газ идеальный и сосуды теплоизолированные, то из условий состояния получим соотношение (см. рис.)

Вследствие необратимого характера процесса напрямую первым началом воспользоваться мы не можем. Поэтому рассматриваемый процесс заменим на два последовательных обратимых процесса, конечный результат которых был бы эквивалентен данному.

Тогда

энергия идеального газа определяется только кинетической энергией его частиц, а потенциальная энергия взаимодействия

145

частиц принимается равной нулю (взаимодействие отсутствует). Количественной мерой интенсивности теплового движения частиц газа является температура. Если средняя энергия частиц не изменяется, то независимо от того, какой объем занимает газ, его температура остается постоянной. Итак, внутренняя энергия идеального газа определяется его температурой и не зависит от объема.

Относительно рассматриваемого примера можно заметить: данная система энергетически замкнута; газ, заполняя второй вакуумированный сосуд, не совершает работы. Следовательно, внутренняя энергия газа в равновесных состояниях 1 и 2 одинакова, и температуры газа T1 и T2 равны (T1 =T2 ). Тогда

ln T2 ln1 0

T1

и первое слагаемое в выражении (2) исчезает. Следовательно,

граммы соответствует необратимому процессу расширения газа в пустоту до объема V1 nV0 (V0 - начальный объем,

146

V V0 при освобождении поршня газ перейдет в состояние 1, когда поршень будет остановлен.

тический процесс (цилиндр теплоизолированный), в ходе которого энтропия не изменяется. Таким образом, приращение энтропии при осуществлении заданного процесса 0 1 2 будет равно

В конце пути L1 (т.е. в состоянии 1) внутренняя энергия газа оказалась равной ее начальному значению U0 . На участке

L2 обратимого адиабатического процесса внутренняя энергия увеличивается за счет работы A внешней силы, приложенной к поршню. При этом

U U2 U1 U2 Uo A

Приращение внутренней энергии мы можем вычислить

так:

147

дения точек конечных состояний 1 и 2 на изохоре V V не прихо-

дится, и поэтому воспользуемся неравенством Клаузиуса мы

Теперь вычислим интеграл I dU pdV левой части

L2

равенства (2), рассматривая состояние (2) (см. рис.) как результат действия двух обратимых процессов 0 3 и 3 2. Тогда

I CV (T3 T0) p0(V V0) CV (T2 T3) 0

Из уравнения I 0 следует

одноатомного газа V 2,5V0 , для трех и большего числа ато-

149

p2 p1 , или p2 p1 . Чтобы получить ответ, возьмем производные от выражений (2а) и (7) по х, где x n:

p2 (V) . Следовательно, точка состояния 1 ниже точки 2 при одном и том же значении объема V .

6.176. Поскольку перегородка неподвижна, ослабевающий поток каждого из газов через отверстие в перегородке из одной части сосуда в другую можно рассматривать как необратимый адиабатический процесс расширения газа в пустоту

n V /V1 (V1 V2 )/V1.

Пусть объем меньшей части сосуда, в котором находился азот в количестве 1 молей, есть V1 , тогда объем большей час-

ти сосуда, в котором содержался кислород в количестве 2 молей, будет равен V2 nV1 .

Благодаря аддитивности энтропии, приращение энтропии в результате смешения газов равно

S S1 S2 R( 1 lnn1 2 lnn2 ) .

Здесь n1 n 1, n2 (n 1)/n , тогда

S= R( 1 2)ln(n 1) 2 ln n) 1Rln(1 n) 2R(1 1) . n

150