2683

Постоянная b характеризует ту часть объема V, которая не доступна для движения молекул и равна нескольким значениям суммарного объема молекул, содержащихся в моле газа.

При значительном расширении газа поправки a/Vm2 и b

по сравнению с основными величинами p и Vm будут малыми величинами, которыми можно пренебречь, в результате чего уравнение (2) переходит в уравнение (1).

Рассмотрим следующий пример. Имеется некоторый газ при нормальных условиях, для которого постоянная b 40см3 / моль. Найдем среднюю длину свободного пробега молекул газа.

где p0 и T0 – давление и температура газа при н.у.

Полагая, что форма молекулы сферическая радиуса r d/2, а также и то, что постоянная b примерно равна четырем значениям полного объема самих молекул, можем написать:

Здесь VM – объем молекулы, NA - число Авогадро. Из равенства (5) имеем:

Подставляя (4) и (6) в (3), получим:

171

6.197. Пусть - средняя длина свободного пробега молекул азота при заданных p0 и T0, - длина звуковой волны. При этом

где c RT0 /M - скорость волны, - частота волны. По условию . Получаем:

нормальных условиях p0 105 Па , T0 300К . Частота волны

0 5,5Гц.

6.198. Кислород находится при T0 273К в сосуде с ли-

нейным размером . Требуется найти:

а) давление газа, ниже которого средняя длина свободного пробега молекул :

где n p/kT0 . Отсюда имеем:

б) среднюю концентрацию молекул. В формуле (1) заменяем р на nkT0 и получаем:

в) среднее расстояние между молекулами. Полное число молекул в сосуде N nV n 3 . Среднее расстояние между

Итак, s 20мкм.

6.199. Среднее число столкновений молекулы за одну секунду определяется выражением

n p/kT NA / RT – плотность молекул газа в заданном состоянии p, V, T. Для азота d 0,37нм. Для T 273К и p 105 Па число 0,74 1010 c 1.

Перед тем как определить число всех столкновений между молекулами в заданном объеме за одну секунду, заметим: 1) столкновения молекул носят парный характер, событие одновременного столкновения какой-либо молекулы с двумя другими чрезвычайно редкое, не говоря уже о столкновении с большим число молекул; 2) столкновения – случайные и независимые события.

Теперь допустим, что произошло столкновение двух некоторых молекул. Каждой из двух молекул можно приписать 1/2 столкновения. Это условие необходимо учесть при расчете

173

общего числа столкновений молекул между собой в заданном объеме V за одну секунду. Это число равно

6.200. Покажем зависимость средней длины свободного пробега и числа столкновений молекулы в единицу времени от температуры Т идеального газа в следующих процессах:

а) изохорическом;

Длина не зависит от Т (остается постоянной). Число столкновений

M

const

б) изобарическом;

6.201. Идеальный газ совершил определенный процесс так, что давление возросло в раз. Выяснить, как и во сколько раз изменились средняя длина свободного пробега и число столкновений молекулы за единицу времени, если:

а) процесс изохорический;

1MV

2 d2 mNA V const c1 const

Средняя длина пробега не зависит от давления. Число столкновений

175

1/ ( 1)/ 1/2 * ( 1)/2

c4 p c5 p c p

Для 1,4 ~ p6/7 .

в) температуры Т:

1V

2 d2 N c6V ,

По пункту в) получим:

~ T 5/2 , ~T3 .

6.202. На основании формул для средней длины свободного пробега и частоты столкновений молекул идеального газа

получим решения вопросов задачи. При этом условимся в следующих обозначениях:

176

p0,V0,T0 - параметры начального состояния газа и 0, 0 -

соответствующие характеристики движения молекул;

p ,V ,T и , - для последующего состояния газа в ходе

осуществления адиабатического процесса. Установим зависимости:

а) (V) и (V) .

Согласно (1) и (2), сначала найдем зависимости n(V) и

T(V) . Концентрация молекул n N/V , где N – полное число молекул газа. Из соотношения TV 1 T0V0 1 следует соотно-

Для частоты столкновений молекул получаем следующее выражение:

177

Т.о. ~ T 5/2 , ~ c14T3 .

6.203. Решение данной задачи следует из результатов, полученных в задаче 6.202, заменой показателя адиабаты на показатель n политропы.

а) c1V , c2 /V(n 1)/2 ; б) c3 p 1/n , c* p(n 1)/2n ;

в) c7T1/(1 n) , c8T(n 1)/2(n 1) .

Здесь ci – постоянные.

6.204. Найти молярную теплоемкость двухатомного газа, совершающего политропический процесс, при котором число столкновений между молекулами в единицу времени остается неизменным:

а) в единице объема; Сначала выясним, что вытекает из условия постоянства