2683

m 2

2kT

Сделаем замену

x

t2 , d x

dt ;

2kT

m

I

2kT 0 e t

dt

2kT

1

2 kT .

2

m

m

2

2

m

Подставляя I

в выражение для P, получим:

N

m

m 2

P

e

2kT

.

N

2kT

6.92. Распределение Максвелла

F( ) 4 (

m

)3/2 2e

m 2

2kT

2 kT

представим

в

виде

функции

переменной

F (u),

u / вер

m

.

Будем

исходить

из

равенства

2kT

dn n0F( )d n0F (u)du,

т.е.

F( )d F (u)du,

или

F( )

d

В

выражении F( )

заменим

на

u.

.

F (u)

du

d

вер u

2kT

( u

2kT

) и учтем, что

вер

2kT

.

m

m

du

m

Тогда

F (u) 4 (

m

)

3

2kT

u2e u2

(

2kT

)

1

2

2

2 kT

m

m

4

1

u2e u2

4

u2e u2 .

3

2

Итак, искомая функция получает вид

71

F (u)

4

u2e u2

,

где u / вер .

и кв

3RT / M для скоростей молекул газа при нормаль-

ном давлении p,

находим:

в

2p

,

8p

, кв

3p

.

Для

p 105 Па

и

1,00г/л: в 450м/с,

510м/с,

кв

550м/с.

6.94. Приведем функцию распределения Максвелла в

виде F (u)

4

u2e u2

,

где u / вер .

a)

По

условию

вер вер ,

0,01;

N

F (1) 2

4

e 1 2 0,01 1,66 10 2

1,66%.

N

кв

б) кв кв

u

(1 )

3

(1 ).

в

2

N

4

3

12

1

3/2

3

3

F

(u) u

e

2

N

2

2

2

e e

72

12

3

0,01 1,85 10 2

1,85%.

2 e3

ях:

а) кв в ,

0.

m

( )2

3kT

2kT

2kT

3

v

1 v T

.

m

m

m

2

2k

2

1,5 2

Масса молекулы водорода

m

M

2

10 3

/1023

0,33 10 26 кг.

NA

6,02

Для 400м/c: T

0,33 10 26

4002

380K.

2 1,38 10 23

2 2

1,5

б) F( ) Fmax при 420м/с.

Напишем функцию распределения в виде

F( )

2

e m 2 /2kT .

T3/2

Из условия экстремума F( ) по будем иметь:

d

m 2

m

2

v2e

2kT

0 2

0.

d

kT

Отсюда T

m 2

. Масса молекулы кислорода

2k

m

3,2 10 3

5,53 10 26 кг.

6,02 1023

Температура кислорода T

5,33 10 26

(420)2

340K.

2 1,38 10 23

73

рой F( 1) F( 2 ), где 1

300м /с,

2

600м/ с.

Из заданного условия имеем равенство

2e m 12 /2kT

2e m 22 /2kT ,

1

2

из которого следует:

m

2

m

2

exp

22

12

2/ 1

22 12 2ln

2kT

2kT

1

T

m( 2

2 )

.

2

1

4k ln(

2

)

1

и 2

температура T 330K.

6.97. В пункте б)

задачи

6.95 было

найдено,

что

F( ) F

при 2

2kT

2. При подстановке выражения

max

m

в

для 2 в формулу для F получим:

4

F

m

.

e

max

2kT

По

условию Fmax (T1)/ Fmax (T2) .

Тогда

,

или

T1

/T2

T 2T .

Пологая,

что 1,

скажем: температура газа при

2

1

заданном изменении состояния увеличилась в 2

раз.

6.98. Дано: F( ,T0 ) F( ,T ), где T

T0 , 1.

Найти .

74

m

3

m 2

m

3

m 2

2

2kT

2

2 kT

2 e

)2 e

4

(

)

0 4

(

0

2 kT0

2kT0

3

m

2

m

2

3

2

exp ( 1)

( 1)

ln

2 kT

2 kT

2

0

0

v

3 kT0 ln

vкв

ln

,

m( 1)

1

где кв

3kT0

- средняя квадратичная скорость молекул при

m

температуре T0.

6.99. Наиболее вероятная скорость молекул, положим

азота, в1

,

для молекул кислорода в2