Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2683

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

2.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 3412 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

				1	1				T2			,					(1)
				1	1		T1 T					,					(1)
							T1 T
				2	1			T2	T				.				(2)
				2	1								.				(2)
									T1
	Здесь T 0. Вычтем из (1) (2):
			1	2		T2 T								T2		.	(3)
			1	2												.	(3)
	Преобразуем (3):					T1					T1 T
	Преобразуем (3):
		TT T T T T T2							TT						(T T ) T T2
			1 2 1	2						1 2					1 2		.
																	.
1	2		T1(T1 T)													T1(T1 T)
			T1(T1 T)													T1(T1 T)

Поскольку T1 T2 , полученное выражение отрицательное, т.е.1 2 0. Это значит, что 2 1 .

6.140. Водород совершает цикл Карно. Найти к.п.д. цикла, если известно, что при адиабатическом расширении газа имеет место:

а) объем газа увеличивается в n=2,0 раза; б) давление уменьшается в n=2,0 раза.

Приведем решения по пунктам а) и б).

а) Для начального и конечного состояний 2 и 3 адиабатического расширения газа (см. рисунок задачи 6.137) имеем соотношение T1V2 1 T2V3 1, т.е. T2 /T1 (V2 /V3) 1 . По условию

задачи V /V 1/n,

тогда T /T 1/n 1

; к.п.д. цикла

1 n1 .

Для

водорода

i 2

5 2

1,4. При

n=2,0 1 n 0,4 0,25.

б) В этом случае

для состояний 2 и 3 имеем другое соот-

1 1/

ношение:

p V

2 2

3 3

111

Возведя в степень

1 равенство

, получим:

1 ( 1)/

n(1 )/ , т. е. T2 /T1 n(1

К.п.д. цикла Карно 1

n(1 )/ .

Для

1,4

и n=2,0

к.п.д. 1 2 0,3

0,18.

6.141. При обращении цикла машины, предназначенной для получения работы, осуществим холодильную машину. На рисунках 1 и 2 показаны схемы тепловой и холодильной машин.

Смысл величин, характеризующих эти машины, следует из рисунков. К.п.д. тепловой машины и коэффициент эффективности холодильной машины (холодильный коэффициент) определяются выражениями:


	A	Q1 Q2		,		(1)

Q1			Q1
	Q2		Q2		.	(2)

	A		Q1 Q2

В цикле Карно к.п.д. тепловой машины

T1 T2	=1	T2	.	(3)

T1
		T1

Цикл холодильной машины можно рассматривать как обратный цикл соответствующей тепловой машины, и наоборот.

112

	T1		T1

A Q

A Q1

T2 T1

A Q1 Q2

Поэтому

для

соответствующей

тепловой машины

Отсюда Q1 A /(1 T2 /T1). Если учесть,

что

Q1 Q2 A (как тепловой машины), то можно написать

(4)

Q2 A

A /(1 T2 /T1) .

Из равенства (4) находим:

(T 1).

(5)

A Q2

Для заданных значений Q2 , T1 и T2

совершаемая над ра-

бочим веществом холодильной машины работа

273 20

A 140(

1)кДж 16кДж.

273 10

6.142. Из формулы (4) задачи 6.141 можно получить:

T2 /T1

(1)

В то же время

1 T2 /T1

T2 /T1 1 ,

(2)

113

где - к.п.д. соответствующей тепловой машины. Подставляя (2) в (1), получим

(1 )/ .

(3)

Для 0,1 9.

6.143. На рисунке представлен

цикл, совершаемый над идеальным

газом.

Изотермические

участки

1 T1

цикла соответствуют температурам

T1 , T2

и T3 . При каждом изотерми-

ческом расширении объем газа уве-

личивается в одно и то же число раз

(пусть

в n раз).

Требуется найти

к.п.д. цикла.

Тепло, получаемое газом в хо-

де изотермических процессов 1 2 и

3 4, равно

Q1 A

A RT1 ln

RT2 ln

R(T1 T2 )lnn ,

(1 2)

(3 4)

поскольку V2 V4 n .

V1 V3

Введем среднюю температуру <T> при ступенчатом расширении газа такую, чтобы

Q1 R T ln n2 =2 R T lnn,

т.е.

2 R T lnn= R(T1 T2 )lnn.

Отсюда T (T1 T2 )/2. Тогда к.п.д. рассматриваемого цикла можно найти так:

1	T3	1	2T3	.
	T
		T1 T2

114

p																				6.144. Газ – азот (N2 , i=5,
																	1,4).						Газ			совершает цикл,
																	1,4).						Газ			совершает цикл,
	2														изображенный на рисунке. От-
				3											ношение										V2	n 10.	Найдем
																									V2
																									V1

	1
															к.п.д. этого цикла.
				4											к.п.д. этого цикла.
				4																Количество тепла, получен-
																				Количество тепла, получен-
0															ное газом от нагревателя за цикл
0	V1		V2						V						ное газом от нагревателя за цикл
															равно									Q dU CV (T2 T1)
																				Q1				Q dU CV (T2 T1)
																							(1 2)			(1 2)
																										.	(1)
	Количество тепла, отданного холодильнику
			Q2				Q								dU CV (T3 T4 ).												(2)
						(3 4)							(3 4)
	Для к.п.д. цикла получаем:
						1						Q2			1				T3		T4			.			(3)
						1						Q1			1									.			(3)
												Q1							T2 T1
	Далее воспользуемся соотношениями между параметра-
ми состояний газа в вершинах цикла 1,2,3,4.
									TV 1						TV					1,							(4)
						1					1						4	2
									T V 1						TV					1 .							(5)
						2					1						3	2
	Из соотношений (4) и (5) следует:
									T3							1
									T3					V1					n1				;				(6)
									T										n1				;				(6)
									T				V
						2									2
									T4							1
									T4					V1					n1				;				(7)
									T										n1				;				(7)
									T				V
						1									2
			T3		T4		n1							T								T3	T ;				(8)
			T3				n1							T									T ;				(8)
			T		T												4					T	1
			2			1		T1									T2 T1				2
		T T		T				T1		T			T				T2 T1					(T T )n1 .					(9)
		T T		T						T			T									(T T )n1 .					(9)
3			4	3				T			3				3		T						2			1
						2												2
															115

Подставляя (9) в (3), получаем:

1 n1 ;

для n=10 1 10 0,4 0,6.

6.145.	Последовательность					p
вычислительных действий та же,							1
что и в предыдущей задаче 6.144.						p	1	2
Термодинамический цикл, совер-						1
Термодинамический цикл, совер-
шаемый идеальным газом, приве-						p2			3
ден на рисунке.							4


Получаемая газом теплота в
цикле равна						0
цикле равна						0	V1 V4	V2 V3		V
Q1	Q			(dU pdV) U2 U1 p1(V2				V1).		(1)
	(1 2)		(1 2)
Отдаваемая же теплота газом за цикл
Q2 Q		(dU pdV) CV (T3					T4) p2(V3 V4).			(2)
(3 4)		(4 3)
К.п.д. цикла			Q2		CV (T3 T4) p2(V3 V4)
	1		Q2	1	CV (T3 T4) p2(V3 V4)			.		(3)
	1			1	CV (T2 T1) p1(V2 V1)			.		(3)
			Q1		CV (T2 T1) p1(V2 V1)

Преобразуем (3) с помощью изобарических и адиабатических соотношений между параметрами состояний в точках

1,2,3,4.

а) p1V1 RT1 , p1V2 RT2 R(T2 T1) p1(V2 V1)

(T2 T1) p1(V2	V1)/ R.	(4)
p2V4 RT4 , p2V3 RT3 R(T3 T4) p2(V3 V4)
(T3 T4) p2(V3	V4)/ R.	(5)

Подставляем (4) и (5) в (3):

1 p2(V3 V4) . p1(V2 V1)

116

Учитывая, что из условия p2 / p1 1/n , получаем

1 V3 V4 . n(V2 V1)

б) p1V1 p2V4 p1 V4 p2 V1

(7)

p1V2

p2V3

;

Из (7) и (8) следует:

(6)

V4 n1/ ;

(8)

V4		V3	n1/ , V		V1	V	, V	V		V3	(V	V ).	(9)



V	V		4	V		3	3	4	V		2	1
1	2			2					2

Подставляя (9) в (6), находим:

1	V3	1	1	n1/	1 n(1 )/ .

nV2 n

Итак, к.п.д. цикла 1 n(1 )/ .

p1 12

p2 43

6.146. Заданный цикл идеального газа показан на рисунке. По условию T1 nT4 и T2 nT1 , где n 1. Найдем к.п.д. цикла.

Количество тепла, получаемого извне газом в цикле, равно

0 V1	V2 V
Q1	Q	(dU A) CV (T2 T4 ) A
	(412)	(412)	(12)
	= CV (T2 T4) p1(V2 V1).		(1)
Работа газа за цикл		A (p1 p2 )(V2 V1).	(2)
К.п.д. цикла

117

4	A		(p1 p2)(V2	V1)	.	(3)

		CV (T2 T4) p1(V2 V1)
	Q1

Далее воспользуемся соотношениями между параметрами состояния газа в точках 1,2,3,4:

а) p1V1 RT1 ,								p1V2 RT2									R(T2							T1) p1(V2								V1) ;		(4)
p2V1 RT4 ,							p2V2 RT3 R(T3 T4) p2 (V2 V1).																											(5)
Подставив (4) и (5) в (3), получим:
			T2 T1 (T3 T4)												( 1)								T2 T1 (T3 T4)
																																	.	(6)
	CV			(T2 T4) (T2 T1)															T T ( 1)(T T )														.	(6)
		R		(T2 T4) (T2 T1)													2							4						2		1
																	2							4						2		1
б) pV RT							,	p V RT														p1					T1			;				(7)
б) pV RT							,	p V RT																						;				(7)
1					1	1		2		1					4							p2					T4
																						p2					T4
		pV			2	RT	,	p V RT													p1					T2			;					(8)
		pV				RT	,	p V RT																					;					(8)
1						2		2		2					3							p2				T3
																						p2				T3
Из (7) и (8) имеем:												T1				T2	T								T3			T и
												T1				T2
												T				T
												T				T	3								T					4
										4					3									1
						T T	(		T2		1)T (n 1)T														n 1						T ,			(9)
						T T	(		T		1)T (n 1)T																				T ,			(9)
						3 4			T						4		4										n			1
								1						T2
						T T (								T2	1)T (n 1)T ,																			(10)
						T T (								T	1)T (n 1)T ,																			(10)
						2		1						T			1							1
										1
																			n2 1
						T T nT									T		/n								T .									(11)
						T T nT									T		/n						n		T .									(11)
						2		4		1					1								n	1
В правой части (6) делаем замену разностей температур
выражениями (9) (11). Получаем:
						( 1)(n 1)2																	( 1)(n 1)2
																				n(n 1) (n 1)
			n2 1 ( 1)n(n 1)																	n(n 1) (n 1)
													( 1)(n 1)					.																(12)
																		.																(12)
															n 1
															118

Результат (12) можно оставить таким, каким получился. Однако приведем его к виду, каким он представлен в ответах сборника. Для этого в выражении (12) выделим единицу:

( 1)(n 1)				n n 1 n 1				n
1		1	1				1		.
1	n 1	1	1		n 1		1		.
	n 1				n 1			1 n
Заключая, напишем:					n
			1		n	.		(13)
			1			.		(13)
				1 n

6.147. Рассматриваются два цикла а) и б), приведенные на рисунке. Газ – идеальный. Требуется найти к.п.д. каждого цикла при условии, что температура Т в пределах того и другого цикла изменяется в n раз.

p	p
1		1	2

3		T const	3
	2	T const	3
	2
	T const
0 V1	V2 V	0 V1	V2 V3 V
	a)	б)

Раcсмотрим сперва первый цикл, а затем второй.

а) Тепло, полученное газом извне в ходе цикла, равно

Q1	Q	dU CV (T1	T3)	n 1	RT1	.	(1)

	(3 1)	(3 1)		n 1

Работа, совершаемая газом за цикл, равна

	ад	Aиз A12ад А32из =
A	A	Aиз A12ад А32из =
	(1 2)	(2 3)

119

	RT1			V1	1			V2

=		1				RT ln			.	(2)
	1
			V				3	V
				2				1

Далее воспользуемся следующими соотношениями:

pV RT ,						p V RT															p1						T1	;							(3)
pV RT ,						p V RT																						;							(3)
1		1	1				3		1					3							p3						T3
																					p3						T3
																							p1								1
																							p1						V2
p1V1			p2V2			,		p3V1 p2V2																									;		(4)
p1V1			p2V2			,		p3V1 p2V2															p		3		V						;		(4)
																									3		1
																	V2	1						T3
Равенства (3) и (4) дают																								T3			, а также
Равенства (3) и (4) дают																											, а также
																V								T
																	1								1
											V						T		1/( 1)
												2						1					.												(5)
												V											.												(5)
												V					T
Введем (5) в (2):									1									3
Введем (5) в (2):
A	RT1		(1	T3	)					RT3			ln			T1			R			(T T ln										eT1		)
A	1		(1		)								ln									(T T ln												)
	1			T						1 T							3		1						1		3					T
			1														3														3
										RT1					(n lnn 1).																				(6)
К.п.д. цикла а)								( 1)n							(n lnn 1).																				(6)
								( 1)n
									A				n 1 ln n													ln n
									A				n 1 ln n							1						ln n				.					(7)
																				1										.					(7)
									Q1							n 1											n 1

б) Последовательность действий та же, что и в пункте а). Полученная газом теплота

Q1	Q		(dU pdV) CV (T2								T1) p1(V2 V1)
	(1 2)		(1 2)
	=		RT1	(n 1) p (V			2	V )			, где n T /T			1	(8)
	=			(n 1) p (V				V )			, где n T /T				(8)
			1		1					1		2
			1
Работа газа за цикл:
					RT2					1			V3
	A p (V V )				RT2	1			V2		RT ln		V3	.	(9)
	A p (V V )					1					RT ln		V	.	(9)
	1	2		1	1		V					1	V
							3						1

Упростим (8) и (9) с помощью следующих соотношений:

120

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 3412 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20222.03 Mб02674.pdf
#
15.11.20222.03 Mб02675.pdf
#
15.11.20222.03 Mб122676.pdf
#
15.11.20222.04 Mб12681.pdf
#
15.11.20222.05 Mб02682.pdf
#
15.11.20222.05 Mб72683.pdf
#
15.11.20222.05 Mб02684.pdf
#
15.11.20222.06 Mб02685.pdf
#
15.11.20222.08 Mб02692.pdf
#
15.11.20222.08 Mб22695.pdf
#
15.11.20222.08 Mб32696.pdf