Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практика решения задач по физике. Ч.6: Физика макросистем. Евсюков В.А., Татьянина Е.П

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

2.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 3413 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

p1V1 RT1 , p2V2 RT2

p1(V2 V1) R(T2 T1) RT1(n 1).

T V 1		TV 1				,	pV p V
2	2		1	3			1	1	2	3
	V	2	1		T			1
		2				1			.
					T			n	.
	V				T			n
		3				2

p1V1 p2V3 p1 V3 , p2 V1

p1V2 p2V3 p1 V3 n /( 1) . p2 V2

Из (12) и (13) имеем

V3 n /( 1) .

Подставляем (10) в (8), а (11) и (14) в (9):

Q		RT1	(n 1) RT (n 1)													RT (n 1).
Q			(n 1) RT (n 1)													RT (n 1).
1		1						1					1					1
	A RT (n 1)								RnT1	1		1			RT1				ln n
	A RT (n 1)									1									ln n
	1															1
									1			n				1
							RT (n 1 lnn) .
							RT (n 1 lnn) .
К.п.д. цикла:					1			1
К.п.д. цикла:
				A		n 1 ln n					1			ln n			.
											1						.
				Q1					n 1					n 1

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

Из сравнения (7) и (17) видим, что к.п.д. обоих циклов одинаковы.

6.148. Предложены циклы идеального газа, приведенные на рисунке.

Порядок расчета к.п.д. данных циклов тот же, что и в за-

даче 6.147.

а) Полученная газом теплота

121

Q1	Q		(dU pdV) 0	pdV RT1 ln	V2	. (1)
					V1
	(1 2)	(1 2)		(1 2)

Работа, совершенная газом за цикл:

p		p
1	T const	1
	2	T const
	2

								3																		3							2
								3																									2

															0																				V
0 V1									V2			V			0							V1 V3									V2				V
		a)																									б)
																			V2						RT1						V1			1
A		pdV							pdV RT ln										V2						RT1			1			V1					.		(2)
A		pdV							pdV RT ln																			1								.		(2)
															1				V 1											V
(1 2)			(1 3)														1														2
Далее используем соотношение TV 1																												TV			1		,	из кото-
рого следует:																						1				1		3		2
рого следует:									1
					V1				1				T3			1				V2
																1	,			V2			n1/( 1) .															(3)
																	,						n1/( 1) .															(3)
			V										T			n				V
				2								1					1
Подставляя (3) в (1) и (2), получаем:
		Q				RT1				lnn ,					A			RT1						nlnn 1 n								.
						RT1

		1				1												1										n
К.п.д. цикла «а» равен
							A				nln n 1 n										1						n 1		.									(4)
																					1								.									(4)
							Q1							nlnn													nln n
б) Здесь также вычисляются величины Q1 , А и к.п.д.
цикла.																																				V2
Q1	Q							(dU pdV) 0															pdV RT1 ln													V2	.	(5)
Q1	Q							(dU pdV) 0															pdV RT1 ln														.	(5)
	(1 2)		(1 2)																			(1 2)														V1
												122

							V RT			V		1			(V V ). (6)
A		A		A		A RT ln	2	1	1		1		p

						1	V 1			V				2	2 3
	(1 2)		(1 3)		(3 2)		1				3

Из следующих соотношений находим замены:

T 1

T1V1

T3V3

n .

(7)

p2V2 RT1 ,

p2V3 RT3

(V V ) R(T T ) R(T

)

n 1

RT. (8)

pV p V

(9)

p1V1

p2V3

(10)

Из (9) и (10) имеем

1/( 1)

/( 1)

(11)

)

Вводим (7), (8) и (11) в (5) и (6):

RT1

lnn,

RT1

lnn

RT1

)

n 1

RT1

( lnn

n 1

( 1)

n 1

)

RT1

(lnn

n 1

)

RT1

(nlnn (n 1)).

К.п.д. цикла

n( 1)

nln n (n 1)

n 1

nln n

(12)

Выражения (4) и (12), оп-

T const

ределяющие к.п.д.

рассмотрен-

ных циклов, одинаковы.

Q 0

123

V2 V3

6.149. Рассматривается цикл идеального газа, приведенный на рисунке, причем T1 /T3 n. Требуется найти к.п.д. цик-

ла.

Напишем выражение для полученной извне теплоты Q1 и совершенной работы газом A за цикл:

Q1	Q			(dU pdV) 0 pdV RT1 ln												V2	.	(1)

	(1 2)		(1 2)							(1 2)						V1
				A Aиз Апол Аад
					12			23	13
		V2		RT1				r 1		RT1				1
= RT ln					1		V2				1		V1		.			(2)

	1	V r 1				V				1		V
		1				3						3

Здесь и r – показатели адиабаты и политропы (соответственно).

Введем замены в выражениях (1)и (2) при помощи следующих соотношений:

														V						1					T 1
							1				1					1									3
					T1V1			T3V3																		T	n ;							(3)
					T1V1			T3V3						V												T	n ;							(3)
															3									1
						r								V					2		r 1					T	1
						r	1				r 1								2					3
					T1V2			T3V3																						.				(4)
					T1V2			T3V3									V									T			n	.				(4)
																			3					1
Далее путем исключения V3																		из равенств (3) и (4) найдем
отношение				V2	:
отношение					:
				V1
	V			1		V					1						V												r
	1					,	2												2		expn												.	(5)
V3			n	1/( 1)		,				n	1/(r 1)							V1			expn												.	(5)
V3			n			V3				n								V1								(r 1)( 1)
Подставляя (3) (5) в (1) и (2), получаем:
											RT1(r )lnn													;										(6)
									Q1
									Q1			(r 1)(									1)
												(r 1)(									1)
						(r )lnn									1							1						1				1
		A RT1																			1										1
		A RT1												r 1							1		n								1
							(r 1)( 1)							r 1									n					1				n
													124

(r )lnn		n 1	n 1
RT1
	(r 1)( 1)	n(r 1)	n( 1)

RT1	(r )(nlnn n 1)	.	(6)

n(r 1)( 1)

К.п.д. цикла

A	nln n n 1	1	n 1	.	(7)
Q1
	nlnn		nln n

6.150. На рисунке изображены два цикла идеального газа. Требуется найти к.п.д. каждого из них. Процедура вычисления к.п.д. цикла та же, что и в предыдущих задачах.

p	p
1	1	2
Q 0 V2	n
V1	Q 0

3	2	3

0 V1						V2 V					0 V1				V2 V
		a)												б)
а) Полученная теплота в ходе цикла														R
Q1 Q dU CV (T1 T3)														R	(T1 T3).	(1)
Q1 Q dU CV (T1 T3)															(T1 T3).	(1)
(31)	(31)													1
Совершенная газом работа
			RT1							1
A			RT1		1			V1			p		(V V )
A					1						p		(V V )
			1				V					2	2	1
							2
	RT						1 1				p	(V V ).
			1	1												(2)
				1												(2)
		1				n					2		2	1
		1				n

									125

Введем замены в выражения (1) и (2):

												1								1							V							1										T						1			1
						TV								TV															1															2
						TV								TV
							1 1										2 2										V																	T						n
																											3																1
																							T									T1						.																										(3)
																							T							n 1								.																										(3)
																									2					n 1
		p V RT ,														p V RT																	T3									V1						1			,T					T2				T1					,
			2 1									3					2 3								2									T V n																			3				n n
																																			2								2
																																								T									n 1									1 1
	p		(V			V ) R(T T )																					R(T															2			)									R								T
		2		2			1												2		3					n 1									2					n											n				n									1
																										n 1
																																RT1 .																																(4)
																											n					RT1 .																																(4)
																							T					T2								T1					.																							(5)
																							T																		.																							(5)
																							3						n							n
Подставляя (3) (5) в (1) и (2), получаем:
							RT											1		) , А						RT																	1 1											n 1									.
			Q									1	(1							) , А							1								1																								RT			1	.
			1					1										n								1														n															n							1

К.п.д. цикла а)
							1
	A				1											(n 1)( 1)															(n 1									1)n												(n 1)( 1)
	A				1				n 1							(n 1)( 1)															(n 1									1)n												(n 1)( 1)

	Q1					1					1						n (1					1		)							(n							1)n 1																	n			1
	Q1					1					n						n (1							)							(n							1)n 1																	n			1
											n											n
										n(n				1) (n 1)( 1)																									n					n ( 1)

																		n		1																											n 1
																		n		1																											n 1
																	n		n ( 1)																														(n 1)								.							(6)

											1																								1							1
											1																								1							1
																				n			1																											n			1
																				n			1																											n			1
б) На языке символов:																																					R
	Q1						Q												(dU pdV)																		R									(T2				T1) p1(V2											V1). (7)
	Q1						Q												(dU pdV)																											(T2				T1) p1(V2											V1). (7)
						(1 2)									(1 2)																						1

126

												RT1										1
A p (V V )												RT1				1			V1
A p (V V )																1
		1 2						1				1						V
																				2
= p				(V		V )				RT								1		1
														1	1									.					(8)
											1				1									.					(8)
		1		2				1			1							n

pV RT ,				p V				RT								V2	n						T2		,T nT				;
pV RT ,				p V				RT									n								,T nT				;
1 1		1		2			2			2						V							T	2			1
															1					1
p1(V2 V1) R(T2														T1) (n 1) RT1 .															(9)
Q		(n 1) RT1							(n 1) RT =												(n 1) RT1							.	(10)
1				1														1						1
				1																				1
		A (n				1) RT -							(n 1 1) RT											=
																				1
														( 1)n 1
										1				( 1)n 1
=			( 1)(n 1)n 1 (n 1 1) RT1																							.			(11)
=																										.			(11)
									( 1)n 1									(n 1 1)
		A			( 1)(n 1)n 1													(n 1 1)

	Q									(n 1)n 1
	Q									(n 1)n 1
		1
(n 1)n 1 (n 1 1)																							n 1				.		(12)
1																1
1				(n 1)n 1												1				(n 1)n 1
				(n 1)n 1																(n 1)n 1

6.151. Второе начало термодинамики для обратимых (квазистатических) процессов математически записывается уравнением

	Q	dS или Q TdS .	(1)

	T
Здесь Q - элемент количества теплоты, dS			- полный

дифференциал энтропии системы, Т - абсолютная температура. Интегральным уравнением второго начала для обрати-

мых круговых процессов является равенство Клаузиса

dS	Q	0.	(2)

	T
127

На конечном участке 1 2 пути обратимого процесса изменение энтропии определяется интегралом

S	2	S	(2)	Q	.	(3)

		1	(1) T

Теперь выясним, что скажет второе начало относительно необратимых (неквазистатических) процессов. Для этого рас-

смотрим два близких состояния равновесия 1 и

2 некоторой

системы (см. рис.) Переход систе-

мы из состояния 1 в состояние 2

осуществим двумя путями: по ква-

Qнеобр 2

зистатическому (обратимому)

пути и неквазистатическому

(не-

Qобр Q

обратимому) L2

- пути.

Можно

показать, что

Q Qнеобр .

По-

скольку Q TdS , то

TdS Qнеобр

или

Qнеобр

(4)

На конечном отрезке процесса

1 2

(2) Q

(1)

необр

(5)

Для кругового необратимого процесса

(6)

Итак, второе начало термодинамики для произвольного

кругового процесса записывается в виде

(7)

Для обратимого кругового процесса равно нулю, необратимого – меньше нуля. Неравенство (7) называют неравенством Клаузиуса.

128

Коэффициент полезного действия тепловой машины во всех случаях определятся в виде

A	Q1 Q2	1	Q2	,	(8)
Q	Q1
			Q1

а обратимой тепловой машины с теми же холодильником и нагревателем в виде

1	T2	.	(9)

	T1

Смысл величин, содержащихся в формулах (8) и (9) всем известен.

Для машины, работающей по обратимому циклу Карно,

	Q Q1		Q2		Q2	T2
				0 и, следовательно,			,
	T	T	T	0 и, следовательно,	Q	T	,
обр		1	2		1	1

1 Q2 1 T2 .

Q1 T1

Для необратимой тепловой машины при тех же темпера-

турах T1 и T2 :	Q Q1		Q2		Q2	T2
				0,			. Поэтому
	T	T	T	0,	Q	T	. Поэтому
необр		1	2		1	1

1 Q2 1 T2 , т.е. необр обр .

Q1 T1

Вывод: к.п.д. необратимой тепловой машины всегда меньше, чем обратимой, работающей в тех же условиях.

6.152. Имеется тепловая машина в качестве нагревателя которой служит с ограниченной теплоемкостью кусок железа определенной массы, а холодильником является среда практически с бесконечной теплоемкостью и температурой

T2 const .

При работе такой машины вследствие отбора тепловой энергии с каждым циклом температура T1 ( T ) нагревателя будет уменьшаться и стремиться к температуре T2 холодильника.

129

При этом к.п.д. и производимая работа с каждым последующим циклом будут уменьшаться и в пределе оба стремиться к нулю.

Будем полагать, что теплоемкость нагревателя не так мала, чтобы можно было бы считать отдельный цикл обратимым.

Пусть при осуществлении некоторого цикла тепловой двигатель произвел работу, равную

A dQ (1	T2	)( mcdT).	(1)

1	T1

Тогда работа, произведенная машиной к началу этого цикла, т.е. когда T1 T , будет равна

			T
A	A mc			2	1 dT mc(T lnT T) const .							(2)
A	A mc				1 dT mc(T lnT T) const .							(2)
			T				2
							2
В самом начале T T10 и						A 0, тогда
		const mc(T					T ln	T10		) .		(3)
		const mc(T					T ln			) .		(3)
						10	2		T
При подстановке (3) в (2) получим									T10
		A mc(T				T T ln			T10		).	(4)
		A mc(T				T T ln					).	(4)
					10		2		T

При T T2 получим полную произведенную машиной работу:

A	mc(T	T	T ln	T10	).	(5)

max	10	2	2	T
				2
Для заданных	значений		m 100кг,			с 0,46Дж/г К ,

T10 1500К и T2 =285 К работа Amax =34 МДж.

6.153. Найдем изменение энтропии идеального газа при увеличении его температуры в n раз в случаях изохорного и изобарного нагрева.

Напишем уравнение первого начала:

TdS dU pdV или dS dU pdV . T T

130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 3413 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]