2619

ВВЕДЕНИЕ

Изучение математики развивает логическое мышление, приучает человека к точности, к умению выделять главное, сообщает необходимые сведения для понимания сложнейших задач, возникающих в различных областях деятельности. Цель пособия - помочь студентам научиться самостоятельно решать задачи по курсу высшей математики, при условии, что изучение теории должно выполняться по рекомендованному в программе учебнику и конспекту лекций.

Каждый параграф начинается с краткого теоретического введения, приводятся основные определения, теоремы без доказательств, главнейшие формулы, методы и способы решения задач. Решение типовых примеров и задач в параграфе, как правило, расположено по возрастающей трудности.

Характерной особенностью является включение решений задач вычислительного характера, что позволяет развивать необходимые навыки и умение для студентов инженерных специальностей. Кроме того, значительное внимание уделено методам решения прикладных задач с физическим смыслом.

Часть задач была заимствована из сборников: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа, 1975; Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике, 1972; Задачи и упражнения по математическому анализу, под редакцией Б.П. Демидовича, 1968; Бугров Я.С., Никольский Я.С. Высшая математика. Задачник, 1982.

Пособие включает теоретическую базу и решение основных задач для типового расчета по всем разделам дифференциального исчисления, изучаемым в курсе высшей математики в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 280700.62 «Техносферная безопасность».

3

I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТАНАЛИЗА

1.1.Логическая и математическая символика

Вматематике употребляются специальные символы, позволяющие сократить запись и точнее выразить утверждение.

Математические символы: +, −, ×, <, , , , ∩, , …

Например, применяя символ «>» к числам a, b, получим запись «a > b», которая является сокращением для предложения: «число a больше числа b». Если l1 , l2 – обозначения

прямых, то запись l1 || l2 есть утверждение, что l1 параллельна l2 . Запись «x M» означает, что x является элементом множе-

ства M.

Наряду с математической символикой в математике широко используется логическая символика, применяемая к вы-

сказываниям и предикатам.

Под высказыванием понимается предложение, которое либо только истинно, либо только ложно. Например, высказывание «–3 > 0» ложно, а высказывание «2 × 2 = 4» истинное. Будем высказывания обозначать большими латинскими буквами, возможно с индексами. Например, A = «–3 > 0», B = «2 × 2 = 4».

Предикат – это предложение с одной переменной или несколькими переменными. Например, предложение: «число x больше числа 0» (в символах x > 0) является предикатом от одной переменной x, апредложение: «a + b = c» – предикатоттрех переменных a, b, c.

Предикат при конкретных значениях переменных становится высказыванием, принимая истинное и ложное значение.

Будем обозначать предикаты как функции: Q(x) =«x > 0», F(x,b,c) = «x + b = c».

Логические символы: , &, , →, ↔, , .

4

1.Отрицание применяется к одному высказыванию

или предикату, соответствует частице «не» и обозначается

A (или ¬A) .

Например, формула −3 > 0 есть сокращение для предложения: «–3 не больше 0» («неверно, что –3 больше 0»).

2.Конъюнкция применяется к двум высказываниям

или предикатам, соответствует союзу «и», обозначается:

А & B (или A B).

Так формула (–3 > 0) & (2 × 2 = 4) означает предложение «–3 > 0 и 2 × 2 = 4», которое, очевидно, ложно.

3. Дизъюнкция применяется к двум высказываниям или предикатам, соответствует союзу «или» (неразделительному) и обозначается A B .

Предложение: «число x принадлежит множеству M1 или множеству M 2 » изображается формулой: x M1 x > M 2 .

4. Импликация соответствует союзу «если ..., то ...» и обозначается: A →B.

Так, запись «a > –1 → a > 0» есть сокращение для предложения«еслиa > –1, тоa > 0».

5. Эквиваленция A ↔B соответствует предложению: «A тогда и только тогда, когда B».

Символы , называются кванторами общности и

существования, соответственно применяются к предикатам (а не к высказываниям). Квантор читается, как «любой», «каждый», «все», или с предлогом «для»: «для любого», «для всех» и т.д. Квантор читается: «существует», «найдется» и др.

6. Квантор общности применяется к предикату F(x, ...), содержащему одну переменную (например, x) или несколько переменных, при этом получается формула xF(x,...), которая соответствует предложению: «для любого x выполняется F(x, ...)» или «все x обладают свойством F(x, ...)».

Например: x(x > 0) есть сокращение для фразы: «любое x больше 0», которая является ложным высказыванием.

5

Предложение: a(a > 0 → a > –1) является истинным высказыванием.

7. Квантор существования, примененный к предикату F(x,...) соответствует предложению «существует x, такой, что F(x,...)» («найдется x, для которого F(x,...)») и обозначается:

xF(x,...).

Например, истинное высказывание «существует действительное число, квадрат которого равен 2» записывается фор-

мулой x(x R & x2 = 2). Здесь квантор существования приме-

нен к предикату: F(x)=(x R & x2 = 2) (напомним, что множество всех действительных чисел обозначается через R).

Если квантор применяется к предикату с одной переменной, то получается высказывание, истинное или ложное. Если квантор применяется к предикату с двумя или большим числом переменных, то получается предикат, в котором переменных на одну меньше. Так, если предикат F(x, y) содержит две переменные, то в предикате xF(x, y) одна переменная y (переменная x является «связанной», вместо нее нельзя подставлять значения x). К предикату xF(x, y) можно применить квантор общности или существования по переменной y, тогда полученная формула y xF(x, y) или y xF(x, y) является

высказыванием.

Так, предикат «|sinx| < a» содержит две переменные x, a. Предикат x (|sinx| < a) зависит от одной переменной a, при a =1/ 2 этот предикат обращается в ложное высказывание(|sinx| < 1 / 2 ), при а = 2 получаем истинное высказывание x

(|sinx| < 2).

Если к предикату x (|sinx| < a) применить квантор существования, то получим формулу: a x(| sin x |< a) , выра-

жающую истинное высказывание: «функция sinx является ограниченной».

Для некоторых формул введем сокращенную запись.

Так, вместо формулы x(x R & x2 = 2) будем писать:

x R(x2 = 2),

6

вместо x(x > 0 & x2 + 3 = 4) пишем:

x > 0 (x2 + 3 = 4).

Формулу x (x R → x2 ≥ 0) сократим так:

x R(x2 ≥ 0) и т.д.

Будем называть x R, x > 0 и т.д. ограниченными кванто-

рами.

Несколько кванторов общности (существования) заменяем на один: вместо x y(P(x, y)) пишем x,y(P(x,y)), вместо

x1 M x2 M (Q(x1 , x2 )) будем писать

x1, x2 M (Q(x1, x2 )) .

1.2. Множества

Понятие множества является первоначальным понятием математики, точное определение ему не дается, но его можно пояснить, описать через другие понятия. Можно сказать, что множество – это совокупность, собрание каких-то объектов, предметов, при этом объект, входящий в это множество, называют его элементом. Множества могут содержать как конечное число элементов, так и бесконечно много элементов. Рассматривают и множество, не содержащее элементов, его называютпустым иобозначают символом .

В математическом анализе чаще всего рассматриваются числовые множества, за некоторыми из них закреплены специ-

альные обозначения. Так, множество всех натуральных чи-

сел обозначаются через N и записывают так: N = {1,2,3,...}.

Далее, через Z обозначают множество всех целых чисел, со-

держащее как натуральные числа, так и 0, и целые отрицатель-

ные числа; Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}.

Рациональным называется число, которое можно пред-

ставить в виде отношения двух целых чисел: qp (p Z, q N).

Множество всех рациональных чисел обозначается через Q. Символически определение множества рациональных чисел

7

def p

можно записать так: Q = { q | p Z & q Z & q≠0}. Здесь

def

знак = заменяет слово «называется». Заметим, что множество можно задать перечислением элементов, а можно описанием свойств элементов (предикатом), как в последнем случае.

Известно, что любое рациональное число можно представить десятичной дробью, конечной и бесконечной периодической. Например, рациональное число 5/6 представимо бесконечной периодической дробью 5/6 = 0,83333..., а число 3/8 = 0,375. В последнем случае можно считать десятичную дробь тоже бесконечной с числом 0 в периоде: 3/8 = 0,3750000... .

Известно, что всякую периодическую бесконечную дробь можно обратить в обыкновенную дробь p/q.

Иррациональным числом называется всякая бесконечная непериодическая десятичная дробь. Множество всех рациональных и иррациональных чисел называется множеством действительных чисел и обозначается через R. Иными сло-

вами, множество действительных чисел R – это множество всех бесконечных десятичных дробей.

Пусть M1, M2 – некоторые множества. Если каждый элемент множества M1 является элементом множества M2, то говорят, что M1 есть подмножество множества M2 и обозначается M1 M2. Итак, M1 M2 тогда и только тогда, когда

x(x M1 → x M2).

Из определения числовых множеств можно заключить, что N Z, Z Q, Q R. Множество действительных чисел является подмножеством множества C всех комплексных (о которых мы сейчас говорить не будем), т.е. R C.

Часто рассматриваются подмножества действительных чисел (a, b), [a, b], [a, b), (a, b] называемые, соответственно,

интервалом, отрезком, полуинтервалом. Дадим символиче-

ские определения этих множеств, а слово «называется» заме-

def

ним на знак = :

8

Заметим, что на числовой оси каждое действительное число изображается определенной точкой и любая точка числовой оси задает некоторое число, поэтому [a, b] изображает-

a, b.

Объединение A B, пересечение A∩B.

Рассмотрим операции множеств A, B давая им символические определения:

def

A \ B. Таким образом, A \ B = {x| x A & x B }. В частном случае R \ Q есть множество иррациональных чисел.

1.3. Функции

Пусть x, y – переменные величины. Если каждому значению переменных x из множества A соответствует по определенному закону единственное значение переменной y, то говорят, что y является функцией (однозначной) от x и пишут y = f (x) или y = y (x). При этом переменную x называют аргументом или независимой переменной, множество A – областью определения функции y = f (x). Обозначим множество

всех значений функции, т.е. {f (x) | x A}, через B.

Пример 1. Для функции y = x2 −1 область определения A = (–∞, –1] [1, +∞), множество значений B = [0, +∞).

9

Замечание. Иногда рассматривают многозначные функции, допуская, что каждому значению x A, соответствует одно или более одного значений y. Мы в дальнейшем под функцией будем понимать однозначную функцию.

Способы задания функции.

Аналитический способ: связь между аргументом x и функцией y задается формулой, при этом на разных участках области определения она может задаваться различными формулами (см. пример 2) . В примерах 1, 2 функции заданы аналитически.

Табличный способ: функция задается таблицей отдельных значений аргумента и соответствующих значений функции. Такими являются таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов и т.д.

Графический способ: в этом случае соответствие между значениями x и y задается с помощью графика.

Среди числовых функций особое место занимают функции с областью определения A = N. Пусть аргумент функции f (x) принимает только значения 1, 2, 3,....n,...

Обозначим f (1) = a1, f (2) = a2, ..., f (n) = an, ... Такую функцию называют последовательностью, a1 – первый член,

..., an – n-й член этой последовательности.

Рассмотрим свойства, которыми могут обладать (или не обладать) некоторые функции.

Функция f (x) называется возрастающей на множестве M (строго), если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Символически это может быть записано так:

x1, x2 M (x1 < x2 → f(x1) < f(x2)).

10