2619

40. Областью определения функции является совокупность всех значений аргумента, при которых данное аналитическое выражение имеет смысл.

50. Преобразование графиков при некоторых простейших изменениях функции y = f(x):

а) график функции y = f (x - a) получается из исходного переносом всех точек на а единиц по оси абсцисс вправо, если а положительно, и влево, если а отрицательно;

б) график функции y = f(x)+b получается из исходного переносом всех точек на b единиц по оси ординат вверх, если b положительно, и вниз, если b отрицательно;

в) график функции y=Af(x) (А > 0) получается из исходного растяжением его вдоль оси ординат в А раз, если

исходного при k >1 уменьшением абсцисс в k раз, а при k < 1

увеличением абсцисс в 1k раз, если же k < 0, то абсциссы

меняют знак и график функции симметричен относительно оси Оy.

Последовательно выполняя рассмотренные сдвиги и деформации графика исходной функции, можно получить график и функции более сложного вида

f(x) = A f [ k(x - a)] + b.

3.1. Дана функция f(x) = 2х3- х2 + xx +−14 - 3. Найти частное

значение функции при х = 1.

Решение. Чтобы найти частное значение функции при х = 1, достаточно это значение аргумента подставить вместо х.

Получим f(1)= 2 13 – 12 + 11+−14 -3 = -2.

91

3.2. Дана функция f(x) = х2 + log a х + sin πax .

Найти значение функции при х = а.

Решение. Подставляем вместо х ее частное значение f(a) = а2 + log a а + sin πaa = а2 +1.

3.3. Функция задана параметрически

x = a cost,y = bsin t.

Требуется записать эту функцию в неявном виде.

Решение. Чтобы записать функцию в неявном виде, следует исключить параметр t. Возводя в квадрат

(x)2 = (a cos t)2

+

( y)2 = (b sin t)2

и преобразуя, получим

3.4. Построить графики функций:

− 2x + 4 при x ≥ 2.

92

Решение.

а) Строим график функции для x ≤ 0 и для x > 0 (рис. 1.1).

б) Строим график функции последовательно для участков:

х < 0; 0 ≤ х < 2; х >2 (рис. 1.2).

и 1+x ≤ 1; 1+x ≤1; x ≤0 x [-1, 0].

б) Выражение под знаком логарифма должно быть больше

неравенства должны выполняться одновременно, то x (-3,1].

в) Выражение имеет смысл, когда -1 ≤ x1−3 ≤ 1 и x≠3.

Отсюда

93

г) Выражение имеет смысл при х - 1 > 0 и 5 - х > 0 . Решая эту систему неравенств, имеем х >1 и х < 5. Отсюда x (1,5).

д) В силу свойств логарифмической и степенной функции имеем следующую систему неравенств: sin x>0 и lg(sinx) ≥0.

Решение. а) За исходную функцию возьмем y=sin х, а

данную функцию представим в виде y=2sin3(x - 2 ). В данном

3

случае A=2; k =3; a = 2 .

3

1. Строим одну волну синусоиды (рис. 1.3).

Рис. 1.3

94

2. Увеличиваем ординаты всех точек в два раза y= 2 sin x.

3.Уменьшаем в три раза абсциссы точек графика и строим график функции y = 2 sin 3x.

4.Переносим точки графика функции y = 2sinЗх на 23

вправо по оси абсцисс, получаем график одной волны данной функции.

б) За исходную функцию возьмем у = у x . В данном случае A=-2; а = -3; b = 1.

1. Строим график функции у = у x (рис. 1.4).

Рис. 1.4

2.Увеличивая ординаты в два раза, строим график функции у =2 x .

3.Меняем знак на противоположный у = -2 x . График

этой функции симметричен графику у = 2 x относительно оси абсцисс.

строим график данной функции.

95

в) Преобразуем данную функцию к виду

y = 12 (x2-2x+1) - 2 = 12 (x-1)2 - 2.

За исходную функцию возьмем y = x2. В данном случае

A = 12 , a = 1, b= -2.

1. Строим график исходной функции y = x2 (рис. 1.5).

Рис. 1.5

2. Уменьшаем ординаты графика функции в два раза и

96

Выполняем следующие последовательные преобразования (рис. 1.6): строим пока только одну ветвь гиперболы; растягиваем по оси Оу в пять раз; заменяем графиком, симметричным относительно оси Ох; строим вторую ветвь гиперболы; делаем горизонтальный сдвиг координатной

системы на 3 единицы вправо и вертикальный сдвиг на 3

2

единицы вниз.

Рис. 1.6

97

1.4. Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей

10. Число b называется пределом функции f(x) при х → а, если для любого ε >0 найдется такое δ >0, что | f (х) - b|< ε как

только |х — а| < δ . Обозначают предел lim f (x) = b .

x→a

Предел функции f(х), если он существует, при стремлении

x к a справа обозначают lim f (x) .

x→a+0

Аналогично, предел функции при стремлении х к а слева

98

делением числителя и знаменателя на множитель, стремящийся к нулю, или с помощью первого замечательного предела.

60. Неопределенность вида ( ∞− ∞) раскрывается делением на х в старшей степени.

70. Неопределенность вида (0 ∞) и ( ∞− ∞) раскрывается

путем преобразования функции к неопределенностям 0 или

0

( ∞− ∞).

80. Неопределенность вида (1∞ ) раскрывается посредством преобразования предела ко второму замечательному пределу.

90. Бесконечно малые функции α(x) и β(x) называются

следующим правилом.

Предел отношения двух бесконечно малых не изменится, если их под знаком предела заменить на эквивалентные. Обозначая эквивалентность бесконечно малых следующим образом α(x) β(x) при x → 0, запишем наиболее известные

99

б) Разлагаем числитель и знаменатель на множители

в) Поскольку при x = 1 многочлены в числителе и знаменателе обращаются в ноль, то их можно разложить на множители, причем одним из сомножителей будет (х - 1). Тогда, деля многочлены на (х - 1) получим

100