2619
.pdf
через точку меняет знак с минуса на плюс. Значит, при x2 = 12
функция имеет минимум.
Находим экстремальные значения функции, а именно минимум функции f (12) = −1627 . График функции показан на рис. 2.24.
Рис.2.24
9.2. Исследовать на экстремум функции:
|
x4 |
2 |
|
y = x |
3 |
|
x4 |
5 |
4 |
|
||
а) у = |
|
− 2x |
|
+1 ; 6) |
|
− |
|
; в) y = 4x −5 x |
|
. |
||
4 |
|
|
4 |
|
||||||||
Решение. а) Находим первую производную |
y′ = x3 − 4x |
|||||||||||
и приравниваем ее к нулю |
x(x2 − 4) = 0 . Корни этого уравне- |
|||||||||||
ния: x1 =0, x2 = 3, x3 = -2 являются критическими точками. |
|
|||||||||||
Находим вторую производную y′′ = 3x2 − 4 |
и выясним |
|||||||||||
знак второй производной |
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
||||
в критических точках: y (0) < 0 - |
||||||||||||
|
′′ |
> 0 - функция имеет минимум; |
|
функция имеет максимум; y (2) |
|||
′′ |
|
|
Определяем экстре- |
y (−2) > 0 - функция имеет минимум. |
|||
мальные |
значения функции: f (0) = 0 - |
максимум функции; |
|
f (2) = −3 |
- минимум функции; |
f (−2) = −3 - минимум функ- |
|
ции. График функции показан на рис. 2.25.
191
Рис. 2.25
б) Находим первую производную y′ = 3x2 − x3 и прирав-
ниваем ее к нулю x2(3-x) = 0. Корни этого уравнения: x1 = 0, x2 = 3 являются критическими точками.
Находим вторую производную y′′ = 3x(2 − x) и выясним
знак в критических точках.
При x2 = 3 вторая производная y′′(3) < 0 - функция имеет максимум. При x1 = 0 вторая производная y′′(0) = 0, следова-
тельно, судить об экстремуме нельзя. Проверим наличие экстремума по первой производной. Поскольку при переходе через точку x1=0 первая производная знака не меняет, то в точке x1 = 0 экстремума нет.
Определяем в точке x2 = 3 максимальное значение функ-
ции f (3) = 274 . График функции показан на рис. 2.26.
Рис. 2.26
192
в) Функция определена на всей числовой оси. Находим
|
|
′ |
|
|
1 |
= 5 |
4 |
5 |
производную |
y |
|
= 4 − 4 |
5 x |
x ( x −1). Приравниваем про- |
|||
изводную к нулю |
(5 x −1)= 0 и |
находим критическую точку |
||||||
x1=1. При переходе через точку x1 = 1 производная у' меняет знак с минуса на плюс, следовательно, в точке x1 = 1 функция имеет минимум y(1) = −1.
Приравнивая к нулю знаменатель производной, получаем 5 x =0. Отсюда находим критическую точку функции x2 = 0, в которой производная не существует. Очевидно, что в точке x − 0 производная y′ > 0 , а в точке x + 0 производная y′< 0.
Следовательно, |
x2 = 0 есть точка максимума функции у(0) = 0 |
(рис. 2.27). |
|
9.3. Найти экстремальные значения функций: |
|
а) xy2 − x2 y = 2a3 ; б) x4 + y 4 − 4xy = 0 . |
|
Решение. |
а) Функция задана неявно. Находим |
Fx′ = y 2 − 2xy . |
|
Рис. 2.27
Производная y′ = 0 тогда, когда Fx′ = 0 , т. е. y 2 - 2ху = 0. Решая совместно систему
xy2 − x2 y = 2a3 ,
y 2 − 2xy = 0,
193
находим критическую точку х = а, у = 2а.
Вычисляем вторую производную |
′′ |
= |
|
2 y |
|
. В кри- |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||
yxx |
2xy |
− x2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
′′ |
|
4 |
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
тической точке yxx = |
3a |
и yxx > 0 , если а > 0, и |
yxx <0, если |
||||||||||
а<0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, функция y при а > 0 имеет минимум, а |
|||||||||||||
при а < 0 имеет максимум. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б) Находим Fx′ = 4x3 − 4 y, Fy′ = 4 y3 − 4x и приравниваем |
|||||||||||||
к нулю Fx′= 0 , x3 - y= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Из решения системы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
4 |
+ y |
4 |
− 4xy = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
− y |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
находим критические точки х = 0, у = 0; |
х = 8 |
3 |
, у = 8 27 и |
||||||||||
x = −8 3 , y = −8 27 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисляем вторую производную |
′′ |
= |
3x2 |
и опреде- |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||
yxx |
y3 |
− x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ляем ее знак в критических точках. Поскольку при x = 0, y = 0 и Fy′ = 0 , то в окрестности этой точки уравнение может
определять у как неоднозначную функцию от x, поэтому точку
(0,0) |
оставляем в стороне. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
При |
|
|
x = 8 |
3 |
|
|
|
вторая |
|
производная |
||
′′ |
|
38 |
9 |
= − |
38 |
3 |
< |
0 , т. е. при x = |
8 |
3 функция имеет |
|||
yxx = − |
38 3 |
− 8 |
2 |
|
|
||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
максимум, равный ymax |
= 8 |
27 . При x = −8 3 |
вторая производ- |
||||||||||
ная |
′′ |
|
|
38 |
9 |
|
= |
38 |
|
3 |
> 0 , т. е. функция имеет мини- |
||
yxx = − |
−38 3 |
− 8 3 |
4 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
мум, равный |
ymin |
= −8 |
27 . |
|
|
|
|
|
|||||
194
2.10 Наибольшее и наименьшее значение функции
Наибольшим значением функции y = f (x) на некотором
отрезке [а,b] называется самое большое, а наименьшим значением - самое меньшее из всех ее значений.
Если функция непрерывна в некотором интервале и имеет только один экстремум и если это максимум (минимум), то он будет наибольшим (наименьшим) значением функции в этом интервале (конечном или бесконечном).
При определении наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке [а,b] приравнивают первую производную к нулю y′ = 0 и находят критические точки, лежащие внутри
отрезка [а,b]. Далее вычисляют значения функции в этих точках и на концах отрезка [а, b], т. е. находят f (a) и f (b). Из сравнения значений функции в этих точках определяют наибольшее и наименьшее значение функции.
10.1. Найти наибольшее и наименьшее значение функ-
ции на отрезке: а) y = |
|
x |
|
, |
[− 2;2]; |
|||||||
1 + x2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) |
y = x + cos 2x, |
0; |
π |
|
; в) |
y = x3 + 3x2 −9x + 20 , [-6,2]. |
||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||
Решение. а) Находим производную функции |
||||||||||||
y |
′ |
1 + x2 − 2x2 |
|
1 − x2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= (1 + x2 )2 |
= (1 + x2 )2 |
и приравниваем ее к нулю |
||||||||||
|
||||||||||||
x2 −1 = 0 .
Отсюда критические точки будут x = 1, x = −1. Поскольку критические точки лежат внутри интервала, то находим
значения функции в этих точках y(1) = 12 ; y(−1) = − 12 . Вычис-
195
ляем |
значения |
функции на |
концах отрезка [−2,2] : |
|||||
y(−2) |
= − |
2 |
; |
y(2) = |
|
2 |
. |
|
|
5 |
|
||||||
|
5 |
|
|
|
|
|||
Теперь |
сравниваем значения |
функции в критических |
||||||
точках и в точках на концах отрезка. Из сравнения видно, что наибольшее значение функции будет y(1) = 12 , а наименьшее
y(−1) = − 12 . График функции на отрезке [-2;2] показан на рис. 2.28.
|
|
Рис. 2.28 |
б) Вычислим производную y′ =1 − 2sin 2x , приравняем |
||
ее к нулю 1 − 2sin 2x = 0 |
и находим критические точки, при- |
|
надлежащие отрезку 0; |
π |
. |
|
3 |
|
В данном случае имеем только одну критическую точку
x = 12π .
Вычисляем значение функции в критической точке и на концах отрезка
π |
|
π |
|
3 |
|
6 3 +π |
π |
|
2π −3 |
|
y 12 |
= |
12 |
+ |
2 |
= |
12 |
, y(0) =1, y 3 |
= |
6 |
. |
196
Сравнение найденных значений функции показывает, что
|
|
|
|
π |
|
|
π + 6 |
3 |
|
|
наибольшее значение в точке |
экстремума |
y |
12 |
|
= |
12 |
|
, |
||
|
π |
|
2π −3 |
|
|
|
|
|
|
|
наименьшее на конце отрезка |
y 3 |
= |
|
. |
График функ- |
|||||
6 |
||||||||||
ции на отрезке [0; π3 ] показан на рис. 2.29.
|
Pиc. 2.29 |
|
в) |
Вычисляем производную y′ = 3x2 + 6x −9 и, |
прирав- |
нивая |
ее к нулю, находим критические |
точки |
x2 + 2x −3 = 0, x1 =1, x2 = −3. Поскольку критические точки лежат внутри отрезка [−6,2] , вычисляем значения функции в критических точках y(1) =15, y(−3) = 47 . Находим значение функции на концах отрезка y(−6) = −34, y(2) = 22 .
Сравнивая вычисленные значения функции в критических точках и на границе отрезка, заключаем, что наибольшее значение находится в критической точке x = −3 и равно y(−3) = 47 , а наименьшее в граничной точке x = −6 и равно
у{-6) = -34 (рис. 2.30).
197
Рис. 2.30
10.2. Найти наибольшее и наименьшее значения функ-
ций:
а) f (x) = e−x22 ; б) ϕ(x) = sin 4 x + cos4 x ; в) f (x) = 3 x2 −1 .
а) Функция определена на всей числовой оси, а изменение аргумента х не ограничено каким-либо отрезком, поэтому следует исследовать значения функции при x ]− ∞;∞[.
− x2
Вычисляем производную f ′(x) = −xe 2 и, приравнивая
ее к нулю, находим критическую точку х = 0. При переходе через эту точку производная функции меняет знак с + на -, следовательно, x=0 точка максимума f(0) = 1. При x → ±∞ функция бесконечно убывает, но наименьшего значения не имеет (рис. 2.31).
Рис.2.31
198
б) Функция определена на всей числовой оси. Изменение аргумента не ограничено отрезком, поэтому рассмотрим значения функции при x ]− ∞;∞[.
Находим производную
′ |
3 |
x cos |
3 |
x − 4 cos |
3 |
x sin x |
и приравниваем ее к нулю |
ϕ (x) = 4sin |
|
|
|
2sin x cos x(sin 2 x − cos2 x) = 0 , откуда sin2xcos2x = 0, sin2x = 0,
cos2x=0, x = πn |
, x |
2 |
= π + πn . |
|
|
|
|||||
1 |
2 |
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Подставляя найденные критические точки в функцию |
|||||||||||
находим, что при х = |
πт |
(n = |
0, ± 1, ± 2,...) функция имеет |
||||||||
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
единице, а при х = π (1 + 2п) |
||||
наибольшие значения |
равные |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|||
(n = 0, ± 1, ± 2,...) - наименьшие значения равные |
1 |
. |
|||||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
в) Функция задана и определена на всей числовой оси. |
|||||||||||
Исследуем значения функции при x ]− ∞;∞[. Найдем произ- |
|||||||||||
′ |
|
2 |
1 |
. В точке x = 0 производная не существу- |
|||||||
водную f (x) = |
3 3 |
|
x |
||||||||
ет. Значение функции при х = 0 равно -1. При x → ±∞ функ-
ция неограниченно возрастает. |
|
|
|
Следовательно, наименьшее |
значение |
функции |
будет |
f (0) = −1, а наибольшего значения |
функция |
не имеет |
(рис. |
2.32). |
|
|
|
Рис.2.32
199
2.11. Решение задач на максимум и минимум
При решении задач на максимум и минимум по условиям задачи следует составить функцию, приняв одну из переменных за основную и выразив все остальные переменные через нее.
Далее следует исследовать эту функцию на экстремум по искомой переменной, т. е. найти наибольшее или наименьшее значение полученной функции. Интервал изменения независимой переменной определяется из условий задачи.
11.1. Объем цилиндра V. Найти радиус основания, при котором цилиндр имеет наименьшую полную поверхность.
Решение. Полную поверхность цилиндра принимаем за
функцию. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = Sосн + Sбок = 2πR2 + 2πRH = 2π(R2 + RH ) |
, |
где H - |
|||||||
высота цилиндра, R - |
радиус основания. |
Объем |
цилиндра |
||||||
V = πR2 H , отсюда Н = |
V |
. Исключая Н из выражения пол- |
|||||||
πR2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
V |
||||
|
|
|
|
2 |
|
||||
ной поверхности цилиндра, получим S = 2π R |
|
+ |
|
. |
|||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
πR |
|||
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
Вычисляя производную по R: S′ = 2π 2R − |
|
|
и при- |
||||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
πR2 |
|||
равнивая ее к нулю 2R − πVR2 = 0, находим, что минимум наи-
меньшей полной поверхности будет при радиусе R = 3 2Vπ .
Действительно, вторая производная при R = 3 V |
равна |
||||
|
|
|
|
2π |
|
|
|
2V |
|
|
|
S ′ = 2π 2 |
+ |
|
|
=12π > 0 . |
|
|
|
||||
|
|
πR3 |
|
|
|
То есть найденное значение радиуса определяет наименьшую полную поверхность.
200