2619

С примерами асимптот мы встречались при изучении пределов

функции (раздел 1). Напомним, что если lim f (x) = b, то пря-

x→+∞

мая y = b является асимптотой графика y = f (x) (при x → +∞), эта асимптота параллельна оси Ox и называется горизонталь ной асимптотой (см. рис. 2.15). Аналогично, прямая y = b

Рассмотрим асимптоты, параллельные оси Oy. Они на-

зываются вертикальными асимптотами.

тогда из определения асимптоты следует, что прямая x = x0

− асимптота. Очевидно и обратное, если прямая x = x0 является асимптотой, то хотя бы один из пределов,

является бесконечным (см. рис. 2.16, 2.17).

81

(2.19), то прямая y = kx + b является асимптотой. Из равенства (2.19), разделив бесконечно малую функцию (f(x) – kx – b) на x (а x → +∞), получим:

отсюда угловой коэффициент асимптоты:

Определим коэффициент b из равенства (2.19), подставив в эторавенствозначениеk:

Итак, если прямая y = kx + b является асимптотой графика y = f(x), то k, b находятся по формулам (2.21), (2.22). Обратно, если существуют пределы (2.21), (2.22), то прямая y = kx + b есть асимптота. Если хотя бы один из пределов (2.21), (2.22) не существует, то при x → +∞ кривая не имеет асимптоты.

Аналогично решается вопрос об асимптотах при x → −∞. Заметим, что отдельно находить горизонтальные асимптоты нет надобности, они будут найдены при нахождении наклонных асимптот (при k = 0).

Пример 2. Найти асимптоты линии y = ex – x.

Решение. Функция f (x) = ex – x определена, непрерывна на бесконечном интервале (–∞, +∞), поэтому вертикальных асимптот нет.

Найдем наклонные асимптоты, для этого вычислим пре-

делы (2.21), (2.22) при x → +∞, x → −∞:

84

x → −∞ для графика функции y = ex – x.

85

II. ПРАКТИКУМ ПО ОСНОВАМ МАТАНАЛИЗА

1. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1.1. Множества и операции над ними

10. Для описания совокупности элементов или предметов принято использовать понятие множества. Обычно множества элементов обозначаются прописными буквами A,B,N, ... , а их элементы малыми буквами а,b,п,....

Если элемент а принадлежит множеству А, то пишут а А. Запись a А означает, что элемент а не принадлежит множеству А. Если множество не содержит ни одного элемента, то оно называется пустым множеством и обозначается знаком . Множество А называется счетным, если имеет место взаимно однозначное соответствие между элементами этого множества и элементами множества всех натуральных чисел N.

Если множество содержит конечное число элементов, то можно перечислить эти элементы в фигурных скобках {a,b,с}.

Выражение N = {1,2,3,...} обозначает множество натуральных чисел, а Z = {...,-2,-1,0,1,2,...} множество всех целых чисел.

Множество рациональных чисел обозначается отношением Q = mn , где т, п Z, п ≠ 0, когда только дробь

периодическая.

В противном случае числа иррациональные. Множество рациональных и иррациональных чисел называется множеством действительных или вещественных чисел и

обозначается через R.

Два множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов А = В. Если множество В содержит множество A, то множество А называется подмножеством множества В и обозначается B А или A B.

Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих и множеству А и множеству В и обозначается А ∩ В.

86

Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих или множеству А или множеству В и обозначается А В.

Пусть множество А принадлежит основному множеству Е. Тогда множество элементов основного множества Е, не принадлежащих множеству А, называется дополнением

множества А до множества Е и обозначается Ā, отсюда

А Ā = Е, А ∩ Ā = .

Для любых подмножеств А и В основного множества Е справедливы соотношения: A B = Ā ∩ B , A ∩ B = A B .

20. Пусть А — множество действительных чисел. Множество А называется ограниченным сверху, если существует такое действительное число а, что для всех чисел x А выполняется х ≤ а. Наименьший элемент множества верхних граней ограниченного сверху множества А называется точной верхней гранью и обозначается sup А. Для множества А, ограниченного снизу, точная нижняя грань множества обозначается inf A. Множество А называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу.

1.1. Описать перечислением элементов множество А = {x N | x2 -3x-4 ≤ 0}.

Решение. Найдем множество значений переменной х, удовлетворяющих неравенству x2 -3x-4 ≤ 0. Так как

х 2 - З х - 4 = (х + 1)(x-4) ≤ 0,

то x [-l,4]. Поскольку А есть множество натуральных чисел,

то A = {1,2,3,4}.

87

1.2. Логическая символика

10. Логическую символику обычно используют при записи математических объяснений. Рассмотрим несколько наиболее простых символов.

Для обозначения высказываний или утверждений воспользуемся прописными буквами латинского алфавита A, B, С и т. д.

Операция отрицания утверждения А обозначается «не А» или Ā.

Если высказывание составлено из двух высказываний при помощи союза «или», то оно является суммой этих высказываний (дизъюнкцией) и обозначается A В или (А+В). Если же высказывание составлено из высказываний при помощи союза «и», то оно является произведением этих высказываний (конъюнкцией) и обозначается А В или (А В).

Если из высказывания A следует высказывание В, то имеет место импликация А В. Если из высказывания А следует высказывание В, а из высказывания В следует А, то имеет место эквивалентность, которую обозначают А<=> В.

Знак общности употребляется вместо слов любой, каждый. Так, а А означает: «для любого элемента а А».

Знак существования употребляется вместо слова существует. а А означает: «существует элемент а А».

20. Основные свойства:

1.Коммутативность (переместительность)

А В = В А; A B = B A.

2.Ассоциативность (сочетательность)

А (В С) = (А В) С; A (B C)=(A B) C.

3. Дистрибутивность (распределительность)

A (B C) = (A B) (A C); A (B C) = (A B) (A C).

2.1. Используя логическую символику, записать утверждение: «число а есть точная верхняя грань множества

X».

88

Решение. То, что число а есть точная верхняя грань множества X, записывается а = sup X и означает х Х (х≤а), причем для сколь угодно малого ε справедливо условие

ε > 0 х X (х > а-ε ).

1.3. Понятие о функции

10. Если каждому значению одной переменной х по некоторому правилу ставится в соответствие определенное значение другой переменной y, то говорят, что между переменными существует функциональная зависимость y=f(x).

Переменную х называют независимой переменной или аргументом, а у — функцией. Функция может задаваться аналитически, графически и таблично.

Если функция задана уравнением, неразрешенным относительно y, то говорят, что функция задана неявно, и записывают f (x,y) = 0.

Если соответствующие друг другу значения x и y выражены через третью переменную (например, t), называемую параметром, то говорят, что функция задана параметрически, и записывают

x = f (t),

y =ϕ(t).

Функция может быть задана также различными аналитическими выражениями на разных участках, например функция Дирихле

sgn 0 = 0.

89

20. Если каждому значению у ставится в соответствие одно или несколько значений х, то этим определяется однозначная или многозначная функция x=ϕ (y), которая называется

обратной функцией для функции у = f (х). Так для функции у = а x обратной функцией будет х = log a у. В этом случае обратная функция является однозначной. Для функции у = х 2

обратная функция будет двухзначной х = ± y .

Для обратных функций справедливы соотношения:

ϕ (f(x))=x; f(ϕ (y))=y.

Пусть каждому значению переменной х ставится в соответствие определенное значение переменной u=ϕ (x), а

каждому уже определенному значению и ставится в соответствие определенное значение y = f(u), тогда соответствие между значениями х и y имеет вид y = f(ϕ (x)) и

определяет у как сложную функцию от х, т. е. функцию от функции.

30. Функция y = f(х) называется четной, если при изменении знака аргумента на противоположный значение функции не меняется, т. е. f (х) = f (- х). График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Функция называется нечетной, если при изменении знака аргумента на противоположный численное значение функции не меняется, а знак функции меняется на противоположный, т.е. f (-x) = - f (х). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Функция называется периодической, если существует такое число T, называемое периодом функции, что значение функции не меняется при прибавлении или вычитании этого числа к любому значению аргумента, т.е.

f(x)= f(x+T)= f(x+2T)=…= f(x+kT),

где k — любое целое положительное или отрицательное число. График периодической функции повторяется через равные интервалы.

90