2619

181

питаля, получим

182

2.8. Возрастание и убывание функций

При исследовании поведения функции у = f(x) в зависимости от изменения независимой переменной х обычно предполагается, что во всей области определения функции независимая переменная изменяется монотонно возрастая, т. е. каждое следующее ее значение больше предыдущего x2 > x1 .

Если при этом последовательные значения функции также возрастают f(x2)>f(x1), то функция называется возрастаю-

183

щей, а если они убывают f(x2)<f(x1), то функция называется

убывающей.

Возрастание и убывание функции характеризуется знаком ее производной: если внутри некоторого промежутка у′ > 0 , то функция возрастает, а если y′ < 0 , то в этом проме-

жутке функция убывает.

При практическом исследовании функции на возрастание и убывание находят производную и приравнивают ее к нулю. Находят корни получившегося уравнения, а также точки, в которых производная не существует. Все эти точки, вместе с возможными точками разрыва функции, разбивают область существования функции на ряд промежутков, на каждом из которых вопрос о возрастании или убывании функции определяется знаком производной.

8.1. Определить промежутки монотонности функций:

функция возрастает на всем промежутке (рис. 2.17).

Рис. 2.17

184

б) Функция существует для всех х>1, т. е. область ее су-

ществования (1, ∞). Находим производную y′ = 1 . По- (x −1) ln a

скольку a < 1 , то lnа < 0 и у' для всех х > 1 меньше нуля. Следовательно, данная функция на промежутке (1, ∞)

убывает (рис. 2.18).

Рис. 2.18

в) Функция определена для всех х кроме x=1, где она

терпит разрыв. Находим производную y′ = x(x − 2) и прирав- (x −1)2

ниваем ее к нулю x(x − 2) = 0 . Это уравнение имеет два корня:

x1=0 , x2=2.

Учитывая точку разрыва х = 1, разбиваем числовую ось на промежутки (рис. 2.19) и определяем знак производной на каждом из них. Следовательно, функция возрастает на проме-

жутках (- ∞,0) и (2, ∞) и убывает - (0,1) и (1,2). На рис. 2.20 по-

казан график функции.

Рис. 2.19

185

2.9. Максимум и минимум функции

10. Значение функции y=f(x) в точке х0 называется максимальным (минимальным), если оно является наибольшим (наименьшим) по сравнению с ее значениями во всех достаточно близких точках слева и справа от х0.

Максимум и минимум функции называется экстремумом

функции. Значения аргумента, при которых функция имеет экстремум, называются критическими значениями или критическими точками.

Чтобы найти экстремальные значения функции, надо найти ее производную f ′(x) и, приравняв ее к нулю, решить

уравнение f ′(x) = 0 . Корни этого уравнения, а также точки, производная в которых не существует, являются критическими

188

точками, т. е. значениями аргумента, при которых может быть экстремум.

Если знак производной при переходе через точку x0 меняется с плюса на минус, то x0 есть точка максимума; если знак производной меняется с минуса на плюс, то х0 есть точка минимума; если знак не меняется, то в точке x0 экстремума нет.

Иногда проще исследовать критическую точку по знаку второй производной.

Если в критической точке, где первая производная равна нулю, f ′′(x) <0, x0 есть точка минимума; если f ′′(x) < 0, то x0

есть точка максимума; если f ′′(x0 ) = 0, то такую точку иссле-

дуют по первой производной.

20. Если функция задана неявно F(x,y) = 0, то для того

y, найденные в предположении, что у и х не зависят от х и у, соответственно.

Решая совместно F(x,y) = 0 и F ′(x,у) = 0, находим критические точки. Экстремум функции в критических точках на-

Решение. а) Находим производную y′ = x2 − x − 2 . При-

равниваем ее к нулю x2 − x − 2 = 0 . Корни этого уравнения x1=-1 ; x2=2 являются критическими точками.

189

ется знак при переходе через критические точки (рис. 2.22).

Рис. 2.22

При переходе через точку x1 = -1 производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через x2 = 2 с минуса на плюс. Значит, при x1= -1 функция имеет максимум, а при x2 = 2 функция имеет минимум.

Находим экстремальные значения функции: f (−1) = 76 -

максимум функции; f (2) = −103 минимум функции. График функции показан на рис. 2.23.

Рис. 2.23

б) Находим производную y′ = 2(x − 2)2 (2x −1) и приравниваем ее к нулю (x − 2)2 (2x −1) = 0 . Корни этого уравнения

x1= 2, x2 = 12 являются критическими точками.

При переходе через точку x1 =2 производная знака не меняет, поскольку данный множитель в квадрате, а при переходе

190