2619

y = f (x + x) − f (x) = (2,12 + 3 2,1 +1) − (22 +3 2 +1) = =11,71 −11 = 0,71.

Следовательно, приращение ординаты касательной равно

относительную погрешности при замене приращения функции её дифференциалом.

Решение. Имеем: dy = (3x2 − 2)dx ,

y = ((x + x)3 − 2(x + x)) − (x3 − 2x) = (3x2 + 3x x + x2 − 2) x

4.7. При измерении сторона куба х оказалась равной 4см, причём максимально возможная при этом погрешность измерения х находится в пределах ± 0,01см. Определить абсолютную и относительную погрешности при вычислении объёма куба.

Решение. Объём куба равен V = x3 = 64 см3. Возможная

161

2.5. Приложения производной к задачам геометрии и физики

10. Уравнение касательной и нормали к кривой. Значение производной f ′(x) в некоторой точке x = x0 геометрически

представляет угловой коэффициент касательной к графику функции y = f (x) в точке x = x0 .

Из геометрического смысла производной следует, что угловой коэффициент касательной к кривой y = f (x) (рис. 2.8) в точке M (x0 , y0 ) M y равен значению производной в этой

точке, т. е. k = tgα = f ′(x0 ) . Поэтому, если в уравнение пучка

прямых, проходящих через точку М, подставить угловой коэффициент касательной, то уравнение касательной к кривой в данной точке примет вид y − y0 = f ′(x)(x − x0 ).

Нормалью к кривой в точке M (x0 , y0 ) называется пря-

мая, проходящая через точку M перпендикулярно касательной и кривой в этой точке. В силу условия перпендикулярности

ственно подкасательной и поднормалью, а длины отрезков АМ и ВМ – длинами касательной и нормали.

Рис. 2.8

162

20. Углом между кривыми y = f1 (x) и y = f2 (x) в точке их пересечения M (x0 , y0 ) называется угол между касательны-

ми к этим кривым в точке M0 . Этот угол находится по известной формуле аналитической геометрии

30. Отрезки, связанные с касательной и нормалью, в полярной системе координат. Пусть кривая задана в полярных координатах уравнениемρ = ρ(ϕ) (рис. 2.9), тогда угол, обра-

зованный касательной МК и полярным радиусом ρ = ОМ, оп-

ределяется по формуле tgα = ρ .

ρϕ′

Рис. 2.9

Касательная МК и нормаль MN в точке М вместе с полярным радиусом ОМ точки касания и перпендикуляром к полярному радиусу, проведённому через полюс О, определяют

полярная подкасательная; ON = ρ′ -полярная поднормаль.

163

40. Средняя скорость движения точки за промежуток времени t определяется отношением приращения пути S ко времени. Чем меньше t , тем точнее выражается скорость через среднюю скорость. Скорость движения точки в момент

При движении точки по окружности угловой скоростью вращения ω в момент времени t называют предел отношения

ϕt , когда t стремится к нулю, т. е.

Таким образом, угловая скорость в данный момент равна производной от угла поворота ϕ по времени.

Ускорение точки ω , движущейся по прямой, есть первая производная от скорости по времени ω = dvdt или вторая произ-

Угловое ускорение точки есть первая производная от уг-

ловой скорости ε = ddtω или вторая производная от угла пово-

рота по времени ε = d 2ϕ . dt 2

50. Сила тока определяется как предел отношения dqdt

при t → 0 , где q положительный электрический заряд, переносимый через сечение цепи за время t , т.е.

164

Таким образом, сила тока в данный момент времени равна производной от количества протёкшего электричества по времени.

60. Химическое истолкование производной. Пусть Q(t) - концентрация вещества, получаемого в ходе химической реак-

165

Вычисляем частное значение производной в точке M

20x −25y +64 = 0 .

5.3. На кривой y = 3x2 − 4x +1 найти точку, в которой касательная параллельна прямой y = 2x .

Решение. Пусть искомая точка касания есть M (x0 , y0 ) .

Находим угловой коэффициент касательной в точке касания k = y′(x0 ) = 6x0 − 4 .

Поскольку касательная и прямая параллельны, то их угловые коэффициенты равны 6x0 −4 = 2 , откуда x0 =1.

Подставляя найденное значение абсциссы искомой точки в уравнение кривой, находим её ординату y0=3·12-4·1+1=0.

Итак, точка М имеет координаты (1,0).

5.4. Найти точку линии у = х2-2х-5, в которой касательная перпендикулярна прямой Зх + 6y -1 = 0, составить уравнение этой касательной. Сделать чертёж.

Решение. Пусть искомая точка есть M(x0 , y0). Находим

k2 - угловой коэффициент касательной, находим абсциссу ис-

166

дим из уравнения линии у0= x02 − 2x0 + 5 = 5. Уравнение каса-

тельной будет y - 5 = 2(x-2) или 2х - у + 1 = 0.

Чтобы построить график параболы, преобразуем её уравнение y = x2 - 2x+5=(x-1)2+4, т. е. вершина параболы сдвинута на единицу вправо и на четыре единицы поднята вверх (рис.2.10). Уравнения касательной и прямой, перпендикулярной касательной, показаны на рисунке.

Рис. 2.10

5.5. Найти длину подкасательной, поднормали и нормали кривой y2=x3 в точке x0=1.

Решение. Данная кривая представляет полукубическую параболу.

Поскольку касательная и нормаль проходят через точку x0=1, y0=1,то рассмотрим только одну ветвь кривой (рис. 2.11)

.AN-подкасательная; BN-поднормаль. y

x Рис. 2.11

167

169

Поскольку угловой коэффициент оси Ох равен нулю, то по формуле (4) пункта 3.4: tgϕ = 3 . Следовательно, искомый

угол ϕ = π3

5.8. Найти длины отрезков полярных касательной, нормали, подкасательной и поднормали, а также угол между касательной и полярным радиусом точки касания у спирали Архимеда ρ = aϕ в точке с полярным углом ϕ = 2π .

Рис.2.13

170