2619

2.2. Производные некоторых элементарных функций

Пусть функция y = f (x) определена на некотором промежутке X, x0 X и f(x) дифференцируема в точке x0, т.е. произ-

Для одной и той же функции f (x) производную можно вычислять в различных точках x, и ее значения будут зависеть от x, т.е. производная f ′(x) будет функцией от x, ее называют

производной функцией от функции f (x). Нахождение производной функции называют дифференцированием функции f (x).

Итак, производная функция от функции f (x) по определению:

Для того чтобы научиться дифференцировать функции, надо знать производные основных элементарных функций и правила дифференцирования. Выведем производные некоторых элементарных функций.

1. f (x) = с – постоянное число.

Итак, (c)' = 0.

2. f (x) = x:

42

4.f (x) = 1x :

2 Значит, (sinx)' = cosx

6. Аналогично доказывается, что (cosx)' = –sinx.

Для дальнейшего изложения вычислим два вспомога-

43

используя для этого второй замечательный предел и непрерывность функций logax и ax.

Первый предел:

7.f (x) = loga x :

8. Убедимся, что (ax)' = axlna:

44

2.3. Основные правила дифференцирования

Установим правила, по которым можно находить производные суммы, произведения, частного двух функций, производную сложной функции, зная производные этих функций, а также производную обратнгой функции.

Теорема 1. Если функции u (x), v (x) дифференцируемы в точке x, то их сумма дифференцируема в этой точке, причем

(u(x) + v(x))' = u'(x)+v'(x).

Доказательство.

Теорема 2. Если функции u(x), v(x) дифференцируемы в точке x, то их произведение дифференцируемо в этой точке, причем

(u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).

45

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т.е.

(C f(x))' = C f ′(x).

Доказательство. Пусть C – постоянное число, тогда (C)' = 0. По теореме 2:

(C f(x))' = (C)' f(x) + C f ′(x) = 0 f(x) + C f ′(x) = C f ′(x).

Вчастности, (u(x) – v(x))' = (u(x) + (–1) v(x))' = u'(x) + (–1) v'(x)

=u'(x) – v'(x),

т.е. (u(x) – v(x))' = u'(x) – v'(x) (производная разности двух функций равна разности их производных).

Теорема 3. Если функции u(x), v(x) дифференцируемы в точке x и v(x) ≠ 0, то их частное дифференцируемо в этой точке, причем

Доказательство.

Заметим, что, так как v(x) дифференцируема в точке x, а,

46

С помощью теоремы 3 можно вычислить производные функций tgx и ctgx:

Производная для ctgx находится аналогично: (ctg x)′ = −sin12 x .

Пусть y = f (ϕ (x)) является сложной функцией, составленной из функции y = f (u), u = ϕ (x), где u – промежуточный аргумент. Покажем, как найти производную сложной функции, зная производную для функции y = f (u) (ее будем обозначать через yu′ ) и производную u′x для функции u = ϕ (x).

Теорема 4. Если функция u = ϕ (x) имеет производную u′x в точке x, а функция y = f (u) имеет производную yu′ в

точке u (u = ϕ (x)), то сложная функция y = f (ϕ (x)) в точке x

Иначе, производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента.

Доказательство. Функция u = ϕ (x) дифференцируема в

точке x, поэтому непрерывна в этой точке, т.е. lim u = 0

x→0

47

С помощью теоремы 4 найдем производную степенной

функции y = xα, где α – постоянное число. По свойствам логарифмов xα = (elnx)α = eαlnx, поэтому xα = eαlnx является сложной

функцией от x: y = eu, u = α lnx. По теореме 4:

y′ = (xα )′ = yu′u′x = eu αx = eα ln x αx =αxα 1x =αxα −1.

Итак, получена формула: (xα)' = αxα – 1.

Очевидно, производные функций (найденные в разд. 2.2), могут быть вычислены по полученной формуле. В самом деле,

Введемправилодлянахожденияпроизводнойобратнойфункции. Теорема 5. Пусть функция y = f (x) определена на промежутке X, непрерывна, монотонна (возрастает или убывает) и дифференцируема на X. Если ее производная y′x в точке x не

равна 0, то обратная функция x = ϕ (y) имеет производную x′y

Доказательство. Функция y = f (x) определена, непрерывна и монотонна на промежутке X, тогда по теореме 4 (разд. 1.13) она имеет обратную функцию x = ϕ (y), определенную, непрерывную и монотонную на промежутке Y.

Если значение аргумента y получает приращение y, отличное от нуля, то в силу монотонности функции x = ϕ (y)

x

48

2.4. Производные обратных тригонометрических и гиперболических функций

Используя теорему 5 (разд. 2.3) докажем следующие формулы:

2. Функции y = arccosx, x = cosy взаимно обратны, если x [–1, 1], y [0, π], x′y = (cosy)' = –siny.

Если 0 < y < π (при этом –1 < x < 1), то siny > 0, поэтому

sin y = + 1 − cos2 y = 1 − x2 .

49

Для гиперболических функций справедливы тождества:

50