2619

Левосторонний и правосторонний пределыфункции вточке

Переходим к рассмотрению односторонних пределов функции в точке x0, при которых переменная x «движется» к x0 слева (левосторонний предел) или справа (правосторонний предел). Нам потребуется понятие полуокрестности.

Пусть δ > 0. Интервал (a, x0) называется левой полуокрестностью точки x0, интервал (x0 – δ, x0) – левой δ-

полуокрестностью точки x0. Интервалы (x0, b), (x0, x0 + δ) называются, соответственно, правой полуокрестностью и правой δ-полуокрестностью точки x0.

Пусть f (x0) определена в левой полуокрестности точки x0.

Число b называется левосторонним пределом функции

f(x) в точке x0 (обозначение: lim f(x) = b), если для любого

x→x0 −0

ε > 0 найдется δ > 0, такое, что для всех значений x, принадлежащих левой δ-полуокрестности (x0 – δ, x0), выполняется неравенство: |f(x) – b| < ε.

Символически lim f(x) = b означает:

x→x0 −0

ε > 0 δ > 0 x (x0 – δ < x < x0 → | f(x) – b | < ε).

Аналогично, число b называется правосторонним пределом

функции f(x) в точке x0 (обозначение: lim f(x) = b), если

x→x0 +0

для любого ε > 0 найдется δ > 0, такое, что для всех значений x, принадлежащих правой δ-полуокрестности (x0, x0 + δ), выполняется неравенство: | f(x) – b | < ε.

Символически lim f(x) = b означает:

x→x0 +0

ε > 0 δ > 0 x (x0 < x < x0 + δ → |f(x) – b| < ε).

Пример 3. Функция f (x) задана равенством (рис. 1.7):

21

Рассмотрим значения x < 1, тогда f (x) = 2x – 1 и |f(x) – 1|= =|2x – 1 – 1| = 2|x – 1|. Зафиксируем малое ε > 0. Подсчитаем: | f(x) – 1| < ε

2 |x – 1| < ε |x – 1| < ε2 . Так как x < 1, то | f (x) – 1| < ε, если

ε > 0, | f(x) – 3| = |2 – x – 3| = |1 – x|. Отсюда | f(x) – 1| < ε |1 – x| < ε,

22

Если же правосторонний предел функции в точке x0 не равен

левостороннему пределу функции в точке x0, то lim f (x) = b

x→x0

не существует. Так, в примере 3 функция f (x) не имеет предела

вточке x0.

1.6.Бесконечно-малые функции и их свойства

Функция α (х) называется бесконечно малой (сокращенно: б.м.) при х → а (х →+ ∞, х → –∞) или

(x → x0 – 0, х → x0 + 0), если lim α (х) = 0.

x→a

Используя определение предела фукции при х → +∞, можно перефразировать это определение: функция α (х) называется бесконечно малой при х → +∞, если для любого положительного числа ε найдется такое число x0 что для всех х, больших x0, выполняется неравенство: |α (х)| < ε.

Символически это выглядит так:

ε > 0 x0 x > x0 (|α (х)| < ε).

Аналогично формулируются определения б.м. при x →+∞,

х → x0, и т.д.

Рассмотрим некоторые теоремы о б.м. функциях. Теорема 1. Сумма двух бесконечно малых функций

(приx → a ) является б.м. функцией (приx → a ).

23

(см. примеры 1, 2).

Для дальнейшего нам потребуется понятие огранчености функции.

Функция f (x) называется ограниченной на некотором множестве М, если существует такое положительное число К, что для всех x М выполняется неравенство:

f (x) ≤ K .

Пример 4. Функция sinx и cosx ограничены на множестве R всех действительных чисел, так как x R( sin x ≤1) и

x R( cos x ≤1) .

Теорема 2. Если существует lim f (x), то функция f (x)

x→a

ограничена при х → а.

Следствие 1. Любая б.м. функция при x → a является ограниченной при x → a .

Теорема 3. Если существует lim f (x) и он отличен от

x→a

нуля, то 1 ограничена при x → a . f (x)

Теорема 4. Произведение б.м. функции (при х → а) на функцию, ограниченную (при х → а) является функцией б.м. (при х → а).

Следствие 2. Произведение функции б.м. при x → a на число является функцией б.м. приx → a .

Следствие 3. Произведение двух б.м. функций есть функция б.м. (при x → a ).

24

1.7. Бесконечно большие функции, их свойства и связь с бесконечно малыми функциями

Функция F(x) называется бесконечно большой (сокращенно б.б.) при x → +∞ (при x → −∞), если для любого положительного числа K существует число x0, такое, что для всех x > x0 выполняется неравенство: |F (x)| > K.

Функция F(x) называется бесконечно большой при x → x0 (при x → x0–0 или x → x0+0 ), если для любого K > 0 существует δ > 0 такое, что для любого

x (x0 – δ, x0 + δ), ( x (x0 – δ, x0) или x (x0, x0 + δ) соответст-

венно) выполняется неравенство |F(x)| > K.

Очевидно, что всякая бесконечно большая функция не

является ограниченной при x → a, а потому lim F (x) не суще-

x→a

ствует.

Если F (x) – б.б. функция при x → a, то говорят, что F (x)

стремится к бесконечности и пишут: lim F (x) = ∞. Если при

x→a

этом F (x) > 0, то пишут: lim F (x) = +∞; если же F(x) < 0, то

x→a

пишут: lim F (x) = −∞.

x→a

Пример 1. F1(x) = x2 является б.б. при x → +∞ и x → −∞, причем F1(x) > 0, поэтому можно записать:

Следующие две теоремы устанавливают связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.

Теорема 1. Если функция F(x) является б.б при x → a, то функция F1(x) – б.м. при x → a.

25

Свойство 2. Если F1(x), F2(x) – б.б. функции при x→a,

причем F1(x) > 0 и F2(x) > 0 (т.е. lim F1(x)=+∞,

x→a

lim F2 (x) = + ∞), то функция F1(x) + F2(x) – б.б. при x → a.

x→a

Свойство 3. Если F(x) – б.б. при x → a и число C ≠ 0, то

CF(x) – б.б. при x → a.

Замечание. Если F1(x) и F2(x) – б.б. функции при x → a, но имеют разные знаки, то F1(x) + F2(x) может быть как б.б.,

так и б.м. при x → a, как иметь предел при x → a, так и не иметь его.

1.8. Основные теоремы о пределах

Теорема 1. Если lim f (x) = b, то f (x) = b +α(x), где α(x) –

x→a

б.м. при x → a.

Доказательство. Пусть lim f (x) = b. Рассмотрим функ-

x→+∞

цию α (x) = f (x) – b и покажем, что α (x) – б.м. при x → +∞ .

Из определения lim f (x) = b имеем, что

x→+∞

ε > 0 x0 x > x0 |f (x) – b| < ε, но так как α (x) = f(x) – b, то

ε > 0 x0 x > x0 |α (x)| < ε , а это означает, что α(x) – б.м. при x → +∞.

Итак, из равенства α (x) = f (x) – b имеем f (x) = b + α (x), где α (x) – б.м. при x → +∞.

26

Теорема 2. Если функцию f(x) можно представить в виде: f (x) = b + α(x), где b – число, α(x) – б.м. функция при x → a, то

lim f (x) = b.

x→a

Доказательство. Пусть f (x) = b + α(x), где α(x) – б.м. при x → +∞, т.е.

Следующие теоремы значительно облегчают нахождение пределов.

Теорема 3. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов, т.е. если

Доказательство. На основании теоремы 1: f1(x) = b1 +

+α1(x), f2(x) = b2 + α2(x), где α1(x), α2(x) – б.м. при x → a, тогда f1(x) + f2(x) = (b1 + α1(x)) + (b2 + α2(x)) =

=(b1 + b2) + (α1(x) + α2(x)).

Но α1(x) + α2(x) – б.м. функция при x → a (как сумма двух б.м. функций), поэтому из равенства

f1(x) + f2(x) = (b1 + b2) + (α1(x) + α2(x))

по теореме 2 следует, что

lim (f1(x) + f2(x)) = b1 + b2.

x→a

Аналогично проводится доказательство для разности. Теорема 4. Предел произведения двух функций равен

Доказательство. По теореме 1:

27

f1(x) = b1 + α1(x), f2(x) = b2 + α2(x), где α1(x), α2(x) – б.м.

при x → a, тогда

f1(x) f2(x) = b1 b2 + b1 α2(x) + b2 α1(x) + α1(x) α2(x).

На основании следствий 2, 3, теоремы 1 (разд. 1.6) функ-

ции b1 α2(x), b2 α1(x), α1(x) α2(x) – б.м. при x → a и

α(x) = b1 α2(x) + b2 α1(x) + α1(x) α2(x) – бесконечно малая функция при x → a. Из равенства f1(x) f2(x) = b1b2 + α(x) по тео-

Теорема 5. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя при условии, что предел знаменателя не равен нулю. Иначе, если

28

x → a. Действительно, числитель дроби b2α1(x) – b1α2(x) – б.м. по свойствам бесконечно малых функций, предел

lim (b22 + b2α2(x)) = b22 ≠ 0, на основании теорем 3, 4. Поэтому

x→a

разд. 1.6). Значит, α(x) – б.м. при x → a (по теореме 4 разд. 1.6). Теорема доказана.

29

Доказательство. Рассмотрим функцию

F(x) = f1(x) – f2(x), тогда x (F (x) ≥ 0) и lim F(x) существует.

x→a

1. Если lim α(x) = b и b – конечное число, b ≠ 0, то

x→a β(x)

функции α(x), β(x) называются бесконечно малыми одного по-

рядка малости при x → a.

2. Если lim α(x)

x→a β(x)

лой высшего порядка, чем β(x) при x → a. Очевидно, в этом

случае lim β(x) = ∞.

x→a α(x)

3. Если α(x) – б.м. высшего порядка, чем β(x), и

вают бесконечно малой k-го порядка, по сравнению с β(x) при x → a.

бесконечный), то α(x), β(x) называют несравнимыми б.м. при x → a.

30