2619

б) При x→0 имеем неопределенность вида 00 . Заменяем исходные бесконечно малые эквивалентными и упрощаем

1.5. Непрерывность и точки разрыва функции

аргумента равно f(x+ x) = y + y. Отсюда приращение функции y = f(x + x) - f(x), т.е. приращение функции равно разности наращенного значения функции (при наращенном значении аргумента) и начального значения функции. Приращение аргумента может быть не только положительным, но и отрицательным числом.

20. Определение непрерывности функции:

1. Функция у = f(х) непрерывна в точке х = а, если пределы слева и справа равны и равны значению функции в этой точке, т. е.

2. Функция y=f(x) непрерывна в точке х = а, если она определена в этой точке и если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое

приращение функции, т.е. lim y = 0 вблизи точки а. Сумма,

x→0

111

разность и произведение конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.

30. Непрерывная на отрезке [а,b] функция принимает любое промежуточное значение между ее наименьшим т и наибольшим М значением, то есть т ≤ f(x) ≤ М для всех x [a,b]. Отсюда следует, что если в граничных точках отрезка [а,b] функция имеет разные знаки, то внутри отрезка есть, по крайней мере, одно такое значение х = с, при котором функция обращается в ноль. Это свойство непрерывности функций позволяет находить приближенно корни многочленов.

40. Значения аргумента, которые не удовлетворяют условиям непрерывности, называются точками разрыва функции. При этом различают два рода точек разрыва функции.

Если при x→a слева функция имеет конечный предел k1 , а при x→a справа функция имеет конечный предел k2 и

k1 ≠ k2 , то говорят, что функция при x→a имеет разрыв первого рода. Разность k1 − k2 определяет скачок функции в

точке х = а. Значение функции при x=а при этом может быть равно какому угодно числу k 3 .

Если значение функции при х = а равно k1 , то говорят, что функция непрерывна слева; если же k2 , то говорят, что функция непрерывна справа.

Если k1= k2 ≠ k3, то говорят, что функция имеет в точке а

устранимый разрыв.

Если при x→ a справа или слева, предел функции не

существует или равен бесконечности, то есть lim f (x) = ∞ , то

x→a

говорят, что при x= а функция имеет разрыв второго рода.

5.1. Найти приращение функции y=2x3 - 3x + 1, если аргумент x изменился от x1 = 1 до x2 = 2.

Решение. Найдем приращение аргумента

112

нулю, то функция при x = 3 непрерывна.

5.5. Найти приближенно хотя бы один корень уравнения

3x3 + 2x2 – x – 1 = 0.

Решение. Найдем точку пресечения графика функции y=3x3 + 2x2 – x – 1 = 0 с осью Ох, то есть точку, в которой у = 0.

Подберем две произвольные точки, в которых функция имеет разные знаки. Пусть х =0, тогда у = - 1 , у < 0. При х = 1,

Можно уже считать, что x = 169 . Если требуется большая

точность, то указанный процесс приближений может быть продолжен дальше.

5.6. Определить характер разрыва функций: а) y= x 1−1

114

Следовательно, при х = 1 функция имеет разрыв второго рода (рис. 1.7).

имеет разрыв первого рода и скачок функции равен k1 − k2 = −1 −1 = 2 (рис. 1.8).

115

Следовательно, при х1 = -5 функция имеет разрыв второго рода (рис. 1.12).

5.8.Найти точки разрыва функции, если они существуют,

исделать чертеж:

118

Решение. a) Функция неэлементарная, так как задана тремя аналитическими выражениями на различных промежутках изменения аргумента, определена на всем множестве действительных чисел.

Исследуем непрерывность функции в точках х = 1 и

Таким образом, в точке х = 1 функция непрерывна, а в точке х = 3 терпит разрыв первого рода (рис. 1.13) и имеет

скачок, равный y(3) − k = 1 − 2 =1.

Рис. 1.13

б) Функция определена на всем множестве чисел и неэлементарная.

Исследуем непрерывность функции в точках х = -1 и х = 0:

Таким образом, функция в точке x = -1 имеет разрыв первого рода, а в точке х = 0 непрерывна (рис. 1.14).

Рис. 1.14

119

в) Функция определена на всей числовой оси, неэлементарная.

Исследуем непрерывность функции в точках х = - 3 , x=0, x= 3:

Таким образом, функция в точках х = -3 и х = 3 имеет разрывы первого рода, а в точке x = 0 устранимый разрыв

(рис. 1.15).

Рис.1.15

г) Функция неэлементарная и определена везде кроме точки x = 1. Исследуем непрерывность функции в точках х = 0

и х = 1:

точке х = 1 имеет разрыв второго рода (рис. 1.16).

120