Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2619

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

1.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 2525

241

′′

= −1;

(x)

= −cos x = cos x + 2

(0)

′′′

= 0 ;

(x) = sin x = cos

x +

(0)

……………………..

(n)

(0) = cos n

= cos x + n

Разложение примет вид

cos x =1 −

−... + (−1)

m x2m

+ R .

(2m)!

Остаточный член

x2m+2

cos(θ x +(2m + 2) π ) ≤

2m+2

(2m + 2)!

т. к.

cosα

≤1 и при n → ∞

стремится к нулю независимо от

значения х.

г) Рассмотрим степенную функцию (1 + x)m , где m – любое вещественное число.

Разложим (1 + x)m по степеням х, т. е. в окрестности точки x0 = 0 .

f (x) = (1 + x)m ,					f (1) =1;
′		m−1		,	′
f (x) = m(1+ x)					f	(1) = m ;
′′	m−2		,		f	′′	;
f (x) = m(m −1)(1+ x)						(1) = m(m −1)
……………………..
f (k ) (x) = m(m −1)...(m −k +1)(1+ x)m−k ,
f (k ) (1) = m(m −1)...(m −k +1) .
Разложение примет вид

(1+ x)m =1+	m	x +	m(m −1)	x2 +... +	m(m −1)...(m −n +1)	xn + R ,

1!		2!			n!	n

где Rn = m(m −1)+...(m −n) xn+1 (1+θ x)m−n−1 , 0 <θ <1. (n 1)!

Здесь Rn → 0 с возрастанием n только при x ] −1,1[

т. е. погрешность может быть сколь угодно малой величиной только для значений из указанного интервала.

д) Находим производные и их значения в точке х = 0

′

=1;

1+ x

f (x)

(0)

′′

= − (1+ x)2 , f

−1

;

(x)

(0)

′′′

1 2

′′′

=1 2

= (1+ x)3

;

(x)

(0)

( 4) (x) = −

1 2 3

f ( 4) (0) = −1 2 3 ;

(1+ x)4

……………………..

Подставляя в формулу Маклорена, получим

ln(1+1) = x −

−

+... +(−1)

n−1

+ R ,

где Rn

(−1)n

n+1

n +1

1+θx

Погрешность вычисления логарифма Rn

→ 0 с возраста-

нием n только при x ] −1,1[ , т. е.

в полуоткрытом интервале.

15.2. Разложить многочлен x4 −2x3 + x2 +3x −5 по сте-

пеням двучлена x + 2 .

Решение.

Введем

обозначение

f (x) = x4 −2x3 + x2 +3x −5

и найдем производные:

′

−6x

′′

−12x + 2 ,

f (x)

+ 2x +3 , f (x) =12x

′′′

(4)

(x) = 24 ,

(n)

(x)

= 0 для n ≥ 5 .

(x) = 24x −12 , f

При x = −2 имеем:

242

f (−2) = 25 , f ′(−2) = −57 , f ′′(−2) = 74 , f ′′′(−2) = 36 , f (4) (−2) = 24 .

Отсюда

x4 −2x3 + x2 +3x −5 =

=25 −57(x + 2) +37(x + 2)2 −10(x + 2)3 +(x + 2)4 .

15.3.Пользуясь формулой Тейлора, разложить функцию f (x) = (x3 + 2x −1)2 по степеням x.

Решение. Находим производные и их значения при x = 0

f ' (x) = 2(x3 + 2x −1)(3x2 + 2) , f ' (0) = −4 ;
f '' (x) = 2((3x2 + 2)2 +6x4 +12x2 −6x) ,	f '' (0) = 8	;
f ''' (x) =12(2(3x2 + 2)x + 4x3 + 4x −1) ,	f ''' (0) =12	;
f (4) (x) =12(30x2 +8) , f (4) (0) = 96 ;
f (5) (x) = 720x , f (5) (0) = 0 ;

f (6) (x) = 720 , f (6) (0) = 720 .

Подставляя значение f (0) =1 и значения производных в формулу Тейлора при x = 0 , получим

(x3 + 2x −1)2 =1−4x + 4x2 −2x3 + 4x4 + x6

15.4. Представить функцию 4 x в виде многочлена четверной степени относительно x −1.

Решение. Находим значения функции и ее производных в точке a =1:

1																			4
f (x) = x		;	f (1) =1; f ' (x) =																	1	x−		;			f ' (1) =							1		;
	4																			1		3											1
	4																					3											4
														7					4														4
f '' (x) = −							1			3		x−		7			;		f '' (x) = −						1		3		;
							1			3				4											1		3
														4										4 4
			4 4													11								4 4
f ''' (x) = −					1			3			7		x−			11		;	f ''' (x) =					1		3 7				;
					1			3			7					4								1		3 7
																4
			4 4 4												15									4 4 4
f (4) (x) = −			1	3		7			11			x−			15			;	f (4) (x) = −							1		3			7	11		.
			1	3		7			11						4											1		3			7	11
															4											4 4
			4 4 4 4																							4 4				4 4

243

По формуле (1) имеем

4 x =1+

(x −1)

−

1 3 (x −1)2

1 3 7 (x −1)

1 3 7 11 (x −1)

−

+ R

4 4

f (5) (c)

где

R =

(x −1)

; c =1+θ(x −1) ; 0

<θ <1.

15.5.Написать разложение функции: а) ecos x до члена с

x4 ; б) ln cos x до x6 .

Решение. а) Пользуясь уже известным разложением (15.1. а) и принимая cos x за новую переменную, запишем

e	cos x			=1+cos x +													cos2 x										+				cos3 x									+		cos4 x				+O(cos								4		x) .
e				=1+cos x +															2								+							6						+			24			+O(cos										x) .
																			2															6									24			x2				x4
Так как по формуле (15.1. в) cos x =																																													1−	x2	+			x4			+O(x				5	) , то
Так как по формуле (15.1. в) cos x =																																													1−	2	+		24				+O(x					) , то
окончательно имеем																																														2			24
окончательно имеем																																												2
		cos x											x		2						x	4								1										x	2			2				x	2						4
e		cos x											x								x									1										x								x			x
					=1+ 1−													+									+							1			−								+ 1−											+
					=1+ 1−									2				+		24							+			2				1			−			2					+ 1−		2					24				+
														2						24										2										2							2					24
			1				x	2		3				1									x			2		2					x		4
+			1	1−			x					+		1				1		−			x										x				+
+			6	1−								+		2				1		−												24					+
			6			2								2										2								24
			1						x		2	4															x		2			3				x		4
+			1			1−			x				+ 4 1−														x									x					+O(x5 ) =
+						1−							+ 4 1−																												+O(x5 ) =
			24							2																		2								24
			24							2																		2								24
			1							32x				2					61				x		4					+O(x									5
=					65 −											+																								) .
=			24		65 −											+			6																					) .
			24																6
б) Представим логарифм в виде ln cos x = ln(1+(cos x −1))
и воспользуемся разложением (15.1. д),																																													принимая cos x −1 за
новую переменную																			1																						1
ln cos x = cos x −1−																			1		(cos x −1)2 +																				1			(cos x −1)3 +O(x6 ) .
ln cos x = cos x −1−																			2		(cos x −1)2 +																							(cos x −1)3 +O(x6 ) .
																			2																						2

244

Здесь остаточный член Rn = O(x6 ) , так как бесконечно малые

x и sin x		эквивалентны														и,		следовательно,																	1−cos x = 2sin									2	x
x и sin x		эквивалентны														и,		следовательно,																	1−cos x = 2sin									2
одного порядка с x2 .																																												2
одного порядка с x2 .											1								1										1
		cos x −1 = −									1		x			2 +			1				x4			−			1			x6 +O(x7 ) .
		cos x −1 = −									2		x			2 +		24					x4			−		720				x6 +O(x7 ) .
Отсюда											2							24										720
Отсюда							1					1											1									1 1							1
ln cos x =					−		1	x	2	+		1				x	4	−					1			x		6		−		1 1			x	4		−	1	x	6		+

							2				24										720													4					24
							2				24										720											2		4					24
	1		1			6						6							1					2				1			4			1			6				6
+		−		x			+O(x							)		= −						x			−					x		−			x			+O(x				) .
+	3	−	8	x			+O(x							)		= −			2			x			−		12			x		−	45		x			+O(x				) .
	3		8																2								12						45
15.6. Вычислить с точностью 0,001 приближенные зна-
чения следующих чисел: а) sin 20°; б) cos 45°.
Решение. а) Воспользуемся формулой разложения sin x
по степеням x (15.1,б), подставляя в нее радианную меру
																x =						π				20 = π
																x =				180						20 = π
sin π					π			π3								π5				180											9						x2m−1
			≈		π		−	π3				+				π5				−... +(−1)m−1																	x2m−1						+ R .
			≈		9		−	3!93				+			5!95					−... +(−1)m−1													(2m −1)!92m−1										+ R .
		9			9			3!93							5!95																		(2m −1)!92m−1										n

При определении числа первых членов в данном разложении, необходимых для обеспечения требуемой точности вычислений, оценим величины последовательных остаточных членов

R	≤	π3	≤ 0,006 ,	R	≤	π5	≤ 0,00003 .


1		3!93		2		5!95

Поскольку R2 <10−3 , то для получения требуемой точ-

ности достаточно взять первые два члена разложения, предшествующих R2

sin	π	=	π	−	π3	= 0,3491−0,0071 = 0,342 .
	9		9		3!93

Здесь значение числа π ≈ 3,14159 и результатов промежуточных вычислений взяты с одним лишним знаком, т. е. с точностью до 10−4 .

245

б) Представим функцию cos x по формуле Тейлора в виде

x −a

(x −a)2

cos x = cos a +cos a +

+cos a + 2

(x −a)n

+.... +cos a

+ n

+ Rn ,

π (x −a)n+1

Rn = cos a +θ(x −a) +(n +1)

, 0 <θ <1.

2 (n +1)!

Поскольку

cos a

≤1, то

≤

(x −a)n+1

и по мере увели-

(n +1)!

чения числа членов погрешность неограниченно убывает, стремясь к нулю. Причем чем меньше по абсолютной величине разность x −a , тем меньше потребуется первых членов разложения для обеспечения требуемой точности вычислений.

Пусть a = 60° или в радианной мере a = 180π 60 , тогда

x −a =

(65

−60)

, отсюда

180

π3

cos 65° =

−

1 π

+... + R .

1!36

2 2!362

3!362

Поскольку R4 <10−4 , то для получения требуемой точ-

ности достаточно взять первые три члена разложения, тогда cos 65° = 0.4221 .

246

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Приступая к изучению высшей математики, необходимо знать, что математику нельзя изучать пассивно, нужно стараться глубоко вникать в смысл математических понятий и теорем, пытаться самостоятельно решать математические задачи. Результатами изучения курса высшей математики должны быть развитие аналитического мышления, овладение навыками решения математических задач, выработка умения самостоятельно ставить задачи и выбирать или разрабатывать методы их решения.

Материал практикума предоставляет возможность студентам самостоятельно освоить основные положения одного из важнейших разделов в курсе высшей математики - дифференциального исчисления. Позволяет приобрести и закрепить практические навыки решения простых типовых задач, а также познакомится с методикой построения приложений производных к задачам механики и физики. Наиболее эффективный результат может быть достигнут, если использовать пособие, как для аудиторных занятий, так и для самостоятельной работы.

Несколько слов о том, как работать с этой книгой. Прежде, чем приступать к изучению методов решения задач, необходимо повторить основные определения и теоремы, относящиеся к данному разделу, постараться понять и запомнить наиболее часто используемые формулы. После этого можно переходить к изучению разобранных примеров. Некоторые типовые задачи и методы рассмотрены в пособии, как в общем виде, так и на примерах. Весьма полезно изучить и то и другое. Это поможет вам не только отработать навыки решения задач, но и лучше понять и усвоить теоретический материал.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Бугров Я.С. Дифференциальное и интегральное исчисление / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. М.: Наука, 1984.

2.Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа / Л. Д. Кудрявцев. – Альфа, т. 1, 1998. - 687с., т. 2, 1998. – 584с.

3.Архипов Г.И. Лекции по математическому анализу / Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков. – М.: Высшая школа, 1999. - 695с.

4.Пискунов П.С. Дифференциальное и интегральное исчисление / П.С. Пискунов. – М.: Наука, т. 1, 2001. — 415с.,

т.2, 2001. — 544с.

5.Демидович Б.П. Основы вычислительной математики / Б.П. Демидович, И.А. Марон. – М.: Наука, 1986.

6.Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике: Учебное пособие для втузов / В.П. Минорский. — М.:

Наука, 1987.

7.Щипачев B.C. Высшая математика / В.С. Щипачев. — М.: Высш.школа, 2003.

8.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: Полный курс / Д.Т. Письменный. – М.: Айрис-

пресс, 2008.

9.Гусак А.А. Высшая математика / А.А.Гусак. — Мн.: «ТетраСистемс», 2003. Т. 1. - 543 с.

10.Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т. Я. Кожевникова, Ч. 1, 2.

—М.: ОНИКС 21 век, Мир и образование, 2003.

11.Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа / Г.Н. Берман. — М.: Наука, 1985.

12.Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике / К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный. – М.: Рольф, 2007.

248

247

ОГЛАВЛЕНИЕ		2.9. Основные теоремы о дифференцируемых
		2.9. Основные теоремы о дифференцируемых
ВВЕДЕНИЕ ………………………………………………..	3	функциях………………………………………	64
I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ……. 4		2.10.Правило Лопиталя……………………………	70
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТАНАЛИЗА…………. 4		2.11.Возрастание и убывание функций…………..	73
1.1. Логическая и математическая символика………. 4		2.12.Экстремумы функции…………………………	75
1.2. Множества………………………………………..	7	2.13.Выпуклость, вогнутость графика функции,
1.3. Функции………………………………………….	9	точки перегиба………………………………..	78
1.4. Пределы функции на бесконечности…………… 13		2.14.Асимтоты……………………………………..	80
1.5. Предел функции в трчке………………………… 18
1.6. Бесконечно малые функции и их свойства…….	23	II. ПРАКТИКУМ ПО ОСНОВАМ МАТАНАЛИЗА	86
1.7. Бесконечно большие функции, их свойства		1. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ…….. 86
и связь с бесконечно малыми функциями……… 25		1.1. Множества и операции над ними………………	86
1.8. Основные теоремы о пределах………………….. 26		1.2. Логическая символика……………………………..	88
1.9. Сравнение бесконечно малых функций.		1.3. Понятие функции………………………………….	89
Эквивалентные бесконечно малые функции…… 30		1.4. Вычисление пределов. Раскрытие
1.10.Непрерывность функции в точке.		неопределенностей…………………………….…..	98
Точки разрыва…………………………………… 34		1.5. Непрерывность и точки разрыва функции……….	111
2. ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИ………………………………………… 38		2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
2.1. Понятие производной, ее геометрический и		ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ………………….. 124
механический смысл…………………………….. 38		2.1. Вычисление производной………………………… 124
2.2. Производные некоторых		2.2. Производные функций, не являющихся
элементарных функций…………………………... 42		явно заданными…………………………………… 137
2.3. Основные правила дифференцирования………... 45		2.3. Производные высших порядков……..…………… 142
2.4. Производные обратных тригонометрических и		2.4. Дифференциал функции…………………………… 153
гиперболических функций………………………. 49		2.5. Приложения производной к задачам
2.5. Дифференцирование функций, заданных		геометрии и физики……………………………… 162
неявно. Логарифмическое дифференцирование.. 51		2.6. Теоремы о среднем………………………………	173
2.6. Функции, заданные параметрически, и их		2.7. Раскрытие неопределенностей по
Дифференцирование……………………………. 53		правилу Лопиталя……………………………….	178
2.7. Дифференциал функции………………………… 56		2.8. Возрастание и убывание функций……………….	183
2.8. Производные и дифференциалы		2.9. Максимум и минимум функции…………………	188
высших порядков………………………………..	60	2.10. Наибольшее и наименьшее значение функции… 195
249		250

2.11.Решение задач на максимум и минимум………. 200

2.12.Направление выпуклости кривой.

Точки перегиба…………………………………… 213

2.13.Асимптоты кривой……………………………… 217

2.14.Исследование функций и построение графиков…………………………….. 225

2.15.Формула Тейлора и Маклорена…………………. 238

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………. 247

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК……………… 248

251

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 2525

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20221.93 Mб22612.pdf
#
15.11.20221.94 Mб42614.pdf
#
15.11.20221.94 Mб12616.pdf
#
15.11.20221.94 Mб12617.pdf
#
15.11.20221.95 Mб02618.pdf
#
15.11.20221.95 Mб22619.pdf
#
15.11.20221.95 Mб12623.pdf
#
15.11.20221.95 Mб32624.pdf
#
15.11.20221.96 Mб12626.pdf
#
15.11.20221.96 Mб12627.pdf
#
15.11.20221.96 Mб82628.pdf