2619

y′

=

2x ln x + x2

1

.

y

x

Отсюда

y′ = (2 ln x +1)xx2 +1 .

б) Логарифмируя правую и левую часть, имеем

y′

lny = sin2xlnx.

Откуда

= 2cos 2x ln x +

sin 2x

или

y

x

′

sin 2 x

sin 2x

y

= x

(2cos 2x ln x +

x) .

в) Логарифмируя правую и левую часть, имеем

lny = 2ln(x - 1)+

1

ln(x+2) - 3ln(x - 3).

3

y′

2

1

3

Отсюда

=

+

−

или

y

x −1

3(x +

2)

x −3

y′ =

(x −1)2 3 x + 2

2

+

1

−

3

2

.

(x −3)

−1

3(x +

2)

x −3

x

г) Логарифмируем правую и левую часть

lny = 2lnx + x3 + lnsin3x + lnthx.

Берем производные

y′

=

2

+ 3x2 +

3cos3x

+

1 1

.

y

sin 3x

thx ch2 x

x

2

x3

2

2

2

Откуда

y = x

e

sin 3x thx

+3x

3ctg3x +

.

sh2x

x

2.4. Найти производные функций: а) y=log x e;

б)

y=log cosx sinx;

в)

y = log

x

3 xx .

Решение.

а)

Перейдем

к

натуральному

логарифму

1

′

1

y = ln x , тогда

y

= − x ln2 x .

б) Представим функцию в виде y =

ln sin x

, тогда

ln cos x

cos x

sin x

y′ =

ln cos x +

ln sin x

=

ctg ln cos x + tgx ln sin x

.

sin x

cos x

ln2 cos x

ln2 cos x

в) Перейдем к натуральному логарифму

y =

x ln x

=

x

,

3

3ln x

1

отсюда

y′ =

.

3

первой производной и обозначается y" или f"(х), или

d 2 y

.

dx2

20. Вторая

производная

от

неявной функции

d 2 y

dx2

находится

дифференцированием

функции

y′ = ϕ(x, y)

по

переменной х,

учитывая при этом, что у

есть функция от х.

30. Вторая производная от функции у по х, заданной

параметрически, равна

y′′xx = ( y′x )′x =

( yt′)′t

=

y x

− x y

.

x′

x2

t

В

последнем

выражении

точки

означают

дифференцирование по t.

′′

′

Третья производная

′′′

=

( yxx )t

и т. д.

yxxx

xt′

40. Производную п-го порядка от произведения двух

функций удобнее находить по формуле Лейбница

(n)

(n)

n

(n−1)

′

n(n −1)

(n−2)

′′

(uv)

= u

v +1!u

+

2!

u

v

+... +

v

+

n(n −1)(n −k +1)

u

(n−k )

v

(k )

′

(n−1)

+ nv

(n)

=

k !

+... + nu v

n

= ∑Cnk u(n−k )vk ,

k =0

n!

k

где

Cn

=

биномиальные коэффициенты,

k!(n − k)!

u(0) = u,

v(0) = v.

50. Приведем некоторые общие формулы для производных

любого порядка

1.

y = xα ,

y(n) = α(α −1)...(α − n +1)xα −n . Если α = - 1 , то

1

n

=

(−1)n n!

Если α = −

1

1 (n)

=

(−1)n (2n −1)!!

.

, то

.

xn +1

2

(2x)n

x

x

x

8. y = eax sin bx;

y(n)

n

= (a2 +b2 )2 eax sin(bx + nϕ), где

sinϕ =

b

; cosϕ =

a

a2 + b2

a2 + b2 .

y(n) = (−1)n−1(n −1)!

1

1

9. y = arctgx;

sin n arctg

,

(1+ x2 )

n

2

x

где arctg

1

=

π

− y.

2

x

3.1. Для данных функций найти производные указанного

порядка:

а) y =

x2 −1

,

y′′? ;

б) y = arctg

x

, y′′′?;

x

a

в)

s = sin2 ϕ, s(4) ? ;

г) y = ln x, y(n) ? ;

д)

y = e−x sin x, y(4) ?

1

2xx

− x2 −1

2

y′ =

x2 −1

.

x2

− 2x x

2 −1 − x2

1

2x

2 −3x2

( y′)′x = y′′ =

2

x2 −1

=

.

x4 (x2 −1)

x3 (x2 −1)32

б) Находим первую производную

y

′

1

1

a

=

x

2

a = a2 + x2 .

1+

a

Дифференцируя у' по x, находим

вторую производную

y′′ =

− 2ax

.

(a2 + x2 )2

Дифференцируя еще раз по х, находим третью

производную

′′′

(a2

+ x2 )2 − 2x(a2 + x2 )2x 2a(3x2 − a2 )

y

= −2a

(a2 + x2 )4

= (a2 + x2 )3 .

y′

=

1

=

x

−1

;

y′′

= −1 x

−2

;

y′′′

=1

2x

−3

;

y

(4)

= −1 2 3x

−4

x

и т.д.

Отсюда y(n)

= (−1)n−1(n −1)!x−n

(См. 3. пункт 5°).

д) Поскольку функция у представляет произведение двух

функций

u = e−x ;v = sin x ,

то

применяя

формулу

Лейбница

y

(4)

= (uv)

(4)

= u

(4)

v +

′′′ ′

+

′′

′′

+

′

′′′

+ uv

(4)

(4) ,

4u v

6u v

4u v

получим

y(4)

= e−x sin x − 4e−x cos x − 6e−x sin x + 4e−x cos x + e−x sin x

3.2. Найти производные указанного порядка:

а)

e

y

+ xy = e, y′′? ;

б) y = x + arctg

y

, y′′?;

2

в)

y

3

= x

3

+

3xy,

x

′′

?;

г) cos(xy) = x

2

′′

, x ?;

д)

x

3

+ y

3

=

1, y

′′′

?;

e)

x = tg(x + y),

′′′

?

x

Решение. а) Дифференцируем правую и левую часть по х

e

y

y

′

+ y + xy

′

y

′

y

= 0,

откуда

= − ey + x.

Дифференцируем еще один раз по х

′

y

+ x) − y(e

y

y

′

+1)

y′′

= −

y

(e

.

(ey + x)2

Подставляя в последнее выражение значение у', получим

y

(e

y

+ x) + y(−e

y

y

+1)

2 y −

y2ey

y

′′

ey + x

ey + x

ey

+ x

=

(ey + x)2

=