Математическое моделирование в естественных науках

Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2012. – № 3. – С. 205–218.

4. Зубко И.Ю., Остапович К.В. Метод контроля температуры при исследовании упругих свойств материалов с кристаллической микроструктурой в статическом подходе при дискретноатомистическом моделировании // Известия Самар. науч. центра РАН. – 2014. – Т. 16, № 4–3. – С. 563–567.

МЕТОДЫ СТОХАСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ В МОДЕЛИРОВАНИИ МИКРОСТРУКТУРНОГО ПОВЕДЕНИЯ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

М.А. Ташкинов

(Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, m.tashkinov@pstu.ru)

Работа посвящена моделированию механического поведения многокомпонентных композитов на основе стохастического подхода с учетом особенностей их микроструктуры. Исследование поведения компонент микроструктуры композитов основано на концепции представительного объема материалов. В качестве характеристик процессов деформирования выступают статистические моменты (статистики) полей напряжений и деформаций в компонентах материала. Аналитические выражения для статистических характеристик локальных полей напряжений и деформаций получены с использованием решения краевой задачи теории упругости в стохастической постановке.

Ключевые слова: моментные функции, случайная микроструктура, статистические характеристики, многокомпонентные представительные объемы, локальные поля напряжений и деформаций, стохастическая краевая задача.

Проблема определения механических и физических свойств композиционных материалов остается крайне актуальной. Важной задачей является создание аналитических инструментов, позволяющих предоставить рекомендации для оптимального

431

проектирования композитов, наиболее соответствующих условиям эксплуатации конкретных приложений. При этом в отдельный класс можно выделить многокомпонентные композиты, состоящие их двух и более фаз, отличающихся по своим исходным свойствам.

Целью работы является разработка аналитического инструментария для анализа полей микроструктурных напряжений и деформаций в многокомпонентных средах, позволяющего учитывать геометрические и физико-механические свойства компонент. Используемый подход заключается в том, что поведение отдельных компонент микроструктуры при нагружении представительного объема оценивается с помощью статистических характеристик локальных полей напряжений и деформаций, таких как моменты первого и второго порядка, которые вычисляются с помощью решения стохастических краевых задач для неоднородных сред [1–5].

Для описания морфологии представительных объемов многокомпонентных материалов на микромасштабном уровне могут быть введены индикаторные функции λC (r ) . Значения

этих функций зависят от положения радиуса-вектора в представительном объеме λC (r ) = 1, если радиус-вектор находится

в компоненте C, и λC (r) = 0 в других случаях. В терминах статистического подхода локальные поля, такие как поля перемещений um , деформаций εij и напряжений внутри представительного

объема со случайной микроструктурой, как правило, считаются случайными функциями (зависят от радиус-вектора) и раскладываются на два слагаемых: среднее значение и флуктуацию [5–7]. Усреднение по ансамблю реализаций представительных объемов заменяется усреднением по объему в силу гипотезы эргодичности.

Для оценки пространственного взаимодействия между микроструктурными компонентами используется набор моментных функций различных порядков, построенных для флуктуаций

432

индикаторных функций в каждом компоненте [4, 5, 8]. Моментные функции чувствительны к таким параметрам, как распределение, ориентация и форма микроструктурных составляющих, и используются в качестве геометрических характеристик при получении статистик высоких порядков для микроскопических полей напряжений и деформаций. Значения моментных функций могут быть вычислены с помощью алгоритма, который разбивает представительный объем сеткой с фиксированным шагом и проверяет наличие фаз в каждом ее узле. Точность функций при этом зависит от шага сетки.

Распространенные модели для расчета микроструктурных характеристик композитов, как правило, используют моменты

ет собой средние значения, в то время как моменты второго порядка также называют дисперсиями.

Численный расчет статистик локальных полей связан с нахождением флуктуаций перемещений, которые могут быть найдены из решения краевой задачи в стохастической постановке. Для получения решения для флуктуации перемещений ui′(r )

в виде рекуррентного интегрально-дифференциального уравнения был использован метод функций Грина:

где Gim (r,r1 ) – функция Грина; Cmnkl′ (r1 ) – флуктуации тензора модулей упругости; ekl – заданный тензор макродеформаций, определяющий нагружение представительного объема; χ – порядок аппроксимации; V1 – рассматриваемый представительный объем.

433

Моменты полей деформаций могут быть определены с использованием флуктуаций перемещений и соотношения Коши.

Полученные аналитические выражения для статистик деформаций и напряжений зависят от свойств материала (через константы, входящие в функцию Грина) и формализованной информации о микроструктурной геометрии (посредством моментных функций различных порядков). Порядок необходимых моментных функций зависит от точности решения уравнения (1). С возрастанием его приближения, выражения, содержащие интегралы в уравнениях для статистик, включают моментные функции более высокого порядка.

Вкачестве частного случая были рассмотрены композиты

сметаллической матрицей с матрицей из титана (Ti), армированные включениями из карбида кремния (SiC). Микроструктурные составляющие представительного объема композитов были смоделированы как случайно расположенные, непересекающиеся сферы различных размеров. Были рассмотрены три фазы внутри представительного объема: Ti-матрица, армирующие SiC-частицы и пустоты (поры) в разных пропорциях. Для каждого частного случая были вычислены моменты первого и второго порядков полей напряжений и деформаций в компонентах.

Одним из возможных применений для самих статистик локальных микроструктурных полей является создание статистических моделей разрушения в компонентах, где они используются для обнаружения начала разрушения, а также для создания на их основе новых критериев прочности, которые могут адекватно отражать процессы деформация и разрушения.

434

Исследование возможных вариаций механических и геометрических свойств микроструктуры позволяет оценить их влияние на внутренние поля напряжений и деформаций. Эти результаты могут быть использованы при проектировании новых композитов с предопределенными свойствами и оптимизированной микроструктурой, которые могут быть пригодны для широкой области возможных применений.

Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых – кандидатов наук (МК-5172.2015.1) и гранта № 14-01-96024-

р_урал_а Российского фонда фундаментальных исследований.

Список литературы

1.Волков С.Д., Ставров В.П. Статистическая механика композитныхматериалов. – Минск: Изд-воБелорус. гос. ун-та, 1978. – 208 с.

2.Вильдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Механика неупругого деформирования и разрушения композиционных материалов. – М.: Наука, 1997. – 288 с.

3.Torquato S. Random heterogenous materials, microstructure and macroscopic properties. – Springer, 2001. – 701 p.

4.Buryachenko V. Micromechanics of heterogeneous materials. – New York: Springer, 2007. – 686 p.

5.Tashkinov M.A. Methods of Stochastic Mechanics for Characterization of Deformation in Randomly Reinforced Composite Materials // Mechanics of Advanced Materials. – 2015. – Р. 43–78. DOI: 10.1007/978-3-319-17118-0_3.

6.Tashkinov M.A., Vildeman V.E., Mikhailova N.V. Method of successive approximations in a stochastic boundary-value problem in the elasticity theory of structurally heterogeneous media // Composites: Mechanics, Computations, Applications. – 2011. – Vol. 2,

№1. – Р. 21–37.

7.Tashkinov M. Statistical characteristics of structural stochastic stress and strain fields in polydisperse heterogeneous solid

435

media // Computational Materials Science. – 2014. – Vol. 94. –

P.44–50. DOI: 10.1016/j.commatsci.2014.01.050.

8.Ташкинов М.А., Михайлова Н.В. Многоточечные приближения высших порядков в краевой задаче упругости полидисперсных композитов со случайной структурой // Вестник Нижегород. ун-та им. Н.И. Лобачевского. – 2011. – № 4–4. – C. 1799–1800.

ИССЛЕДОВАНИЕРОТАЦИЙКРИСТАЛЛИЧЕСКОЙРЕШЕТКИ ПРИИНТЕНСИВНЫХНЕУПРУГИХДЕФОРМАЦИЯХПОЛИКРИСТАЛЛОВ

М.А. Тельканов, П.С. Волегов, А.Ю. Янц

(Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, michaelperm@gmail.com)

Рассматривается двухуровневая математическая модель, описывающая неупругое деформирование представительного объема поликристаллического материала. Основным механизмом неупругих деформаций на мезоуровне считаются сдвиги дислокаций по кристаллографическим системам. В качестве определяющих соотношений на мезо- и макроуровнях используется закон Гука в скоростной релаксационной форме. Модель включает два различных механизма ротаций кристаллических решеток. С использованием модели проведены расчеты деформирования вплоть до достижения заданной интенсивности деформаций. Построены кривые деформирования и полюсные фигуры, анализируются полученные кристаллографические текстуры.

Ключевые слова: двухуровневая модель, физические теории пластичности, поликристалл, неупругое деформирование, ротация решетки, модель Тейлора, текстура.

Хорошо известно, что при интенсивных неупругих деформациях поликристаллов происходит формирование так называемой кристаллографической текстуры – появление выделенных направлений в ориентациях кристаллических решеток отдельных зерен. Текстура материала может порождать существенную анизотропию свойств на макроуровне, которую необхо-

436

димо учитывать при эксплуатации конструкции из данного материала. Специально для описания данных процессов создаются математические модели, учитывающие механизмы ротаций кристаллических решеток материала при интенсивных неупругих деформациях [1].

Целью данной работы является построение двухуровневой математической модели деформирования поликристалла, описывающей процессы ротаций кристаллических решеток зерен, ипоследующее изучение эволюции физико-механических свойств поликристалла, в том числе формирование кристаллографических текстур при интенсивных неупругих деформациях.

На макроуровне в данной модели рассматривается представительный объем поликристалла, состоящий из некоторого заранее определенного количества элементов мезоуровня (кристаллитов), в качестве которых выступают монокристаллические зерна с ОЦК-решеткой. Определяющим соотношением мезо- и макроуровней является закон Гука, записанный в скоростной релаксационной форме [2].

В качестве основного механизма неупругого деформирования элементов мезоуровня выступают сдвиги краевых дислокаций по кристаллографическим системам скольжения при достижении касательным напряжением некоторого критического значения. Скорости сдвигов описываются упруговязкопластическим соотношением Хатчинсона.

Модель макроуровня представляется следующими соотношениями:

437

где Σ – тензор напряжений Коши; П – тензор модулей упругости; D, Din – тензор деформации скорости, его упругая и неупругая составляющие; π(i) ,σ(i) ,din(i) ,ω(i) – тензоры модулей упру-

гости, напряжений, неупругой составляющей деформации скорости и спина i-го кристаллита; o(i) – его ортогональный

ориентационный тензор; N – число кристаллитов.

Используя кинематическую гипотезу Фойгта, тензоры скоростей деформаций всех зерен принимаются равными тензору деформации скорости представительного объема поликристалла [2]. Прочие параметры мезоуровня усредняются по объему и затем передаются на макроуровень.

Таким образом, мезоуровень двухуровневой модели описывается следующей системой соотношений:

где σ – тензор напряжений Коши; π – тензор четвертого ранга

упругих свойств кристаллита; d, de , din – тензор деформации скорости, его упругая и неупругая составляющие на мезоуровне;

γ(i) , τ(ci) – накопленный сдвиг и критическое напряжение сдвига

по i-й системе скольжения; γ0 и m – параметры вязкоупругого

закона; K – число систем скольжения для рассматриваемого типа решетки.

Ориентации всех кристаллитов описываются эйлеровыми углами и в начальный момент времени заданы случайным образом по равномерному закону.

438

Для описания процессов ротаций кристаллитов использованы два разных подхода: модель стесненного поворота по Тейлору и модель, учитывающая несовместность сдвигов в соседних зернах. В первом случае спин решетки определяется как разность тензора вихря и антисимметричной составляющей тензора пластических сдвигов [3]:

где ω – тензор спина кристаллита; w – тензор вихря; n(i) и b(i ) – соответственно вектора нормали и вектор Бюргерса для i-й СС.

Вторая модель связывает развороты решеток с вращательным моментом зерна, возникающим из-за появления на межзеренной границе дислокаций ориентационного несоответствия в результате перехода дислокаций из одного зерна в другое [4]. Реализация предполагает вычисление сперва эволюции поверхностного вращательного вектора-момента:

где λ – экспериментально определяемый параметр; N – внешняя для анализируемого зерна единичная нормаль к границе с соседним m-м зерном.

После этого вычисляется объемный вектор-момент:

V m=1

где i – анализируемое зерно; V i – его объем; Smi – площадь

плоского участка границы m, разделяющей соседние зерна; rm – радиус-вектор, проведенный от центра масс данного зерна к средней точке фасетки m.

439

В ходе работы была создана математическая модель деформирования поликристалла. Данная модель численно реализована по схеме интегрирования Эйлера без применения алгоритмов распараллеливания. Заданы необходимые входные параметры: схема деформирования на макроуровне, начальные критические напряжения повсемсистемамскольженияиупругиепараметрызерен. Сиспользованием модели и заданных параметров проведены расчеты деформирования представительного объема поликристалла вплоть до достижениянекоторойзаданнойинтенсивностидеформаций.

Для геометрического отображения кристаллографической текстуры материала используются так называемые полюсные фигуры. Проведен анализ и сравнение текстур, полученных при использовании описанных моделей ротаций, а также кривых деформирования поликристалла.

Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ № МК-4917.2015.1, гранта Российского фонда фундаментальных исследований № 14-01-96008 р_урал_а.

Список литературы

1.Трусов П.В., Волегов П.С., Кондратьев Н.С. Физические теории пластичности: учеб. пособие. – Пермь: Изд-во Пермского национального исследовательского политехнического университета, 2013. – 244 с.

2.Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности: приложение к описанию упрочнения в поликристаллах // Вестник Тамб. ун-та. Сер.: Естественные и технические науки. – 2010. – Т. 15, № 3–1n. – С. 983–984.

3.Трусов П.В., Волегов П.С., Нечаева Е.С. Многоуровневые физические модели пластичности: теория, алгоритмы, приложения // Вестник Нижегород. ун-та им. Н.И. Лобачевского. – 2011. – № 4–4. – С. 1808–1810.

4.Трусов П.В., Волегов П.С., Швейкин А.И. Конститутивная упруговязкопластическая модель ГЦК-поликристаллов: теория, ал-

горитмы, приложения. – LAP LAMBERT: Saarbucken, 2011. – 147 с.

440