Математическое моделирование в естественных науках

XXIV Всероссийская школа-конференция молодых ученых и студентов «Математическое моделирование в естественных науках», организованная Пермским национальным исследовательским политехническим университетом, посвящена актуальным проблемам математического моделирования в механике, физике, экологии, биомеханике, технике и технологии по следующим направлениям: процессы получения новых материалов и прогнозирование их свойств, многоуровневые математические модели для описания физико-механических процессов при больших деформациях твердых тел, деформирование и разрушение неоднородных материалов, расширенная механика сплошных сред, модели пластичности и сверхпластичности, процессы и системы авиаракетной техники и высоких технологий, модели биомеханических процессов.

Оргкомитет конференции

Председатель оргкомитета: профессор П.В. Трусов (ПНИПУ) Ученый секретарь: доцент А.И. Швейкин (ПНИПУ)

Члены оргкомитета: профессор А.Н. Аношкин, профессор Р.В. Бульбович, профессор В.Э. Вильдеман, профессор М.Б. Гитман, доцент В.Н. Ашихмин, доцент Ю.В. Баяндин, доцент П.С.Волегов, доцент А.В. Зайцев, доцент И.Ю. Зубко, доцент Е.С. Макаревич,

доцент Н.Д. Няшина, доцент Т.В. Останина, старший преподаватель Н.С. Кондратьев, старший преподаватель А.Ю. Янц, аспирант Э.Р. Шарифуллина, аспирант Д.С. Грибов (ПНИПУ)

Научный программный комитет школы-конференции

Академик РАН В.П. Матвеенко, профессор О.Б. Наймарк, профессор Р.А. Степанов,

профессор П.Г. Фрик, профессор И.Н. Шардаков (ИМСС УрО РАН), профессор В.И. Астафьев (СамГУ), профессор Р.А. Васин (ИМех МГУ), профессор А.В. Вахрушев (ИМех УрО РАН), профессор М.П. Кащенко (УГЛТУ), профессор А.Г. Князева (ИФПМ СО РАН), профессор С.А. Лурье (ВЦ РАН), профессор Е.А. Митюшов (УПИ–УГТУ), профессор Б.Е. Победря (МГУ), профессор В.В. Стружанов (ИМашУрО РАН), профессор А.Б. Фрейдин (ИПМаш РАН).

Оргкомитет конференции считает своим долгом поблагодарить руководителей иколлективыследующихорганизаций, оказавшихфинансовуюподдержкуконференции:

МинистерствообразованияинаукиРоссийскойФедерации, Российскийфондфундаментальныхисследований, МинистерствообразованияинаукиПермскогокрая,

Пермскийнациональныйисследовательскийполитехническийуниверситет, ИнститутмеханикисплошныхсредУрОРАН.

Рецензенты: д-р физ.-мат. наук, проф. А.А. Роговой (ИМСС УрО РАН); кафедра механики композиционных материалов и конструкций ПНИПУ.

УЧЕТ ВЛИЯНИЯ ДИССИПАТИВНОЙ ФУНКЦИИ НА ПРОЦЕСС ПОЛУЧЕНИЯ ПОЛИМЕРНОЙ ПЛЕНКИ

Н.М. Аветисян, С.А. Зинович, И.Г. Пышнограй, И.В. Третьяков

(Алтайский государственный технический университет,

Барнаул, Россия, ivan262@bk.ru)

Рассматривается математическая модель формования полимерной пленки из расплава полимера. Модель получена в одномерном приближении. В ее основе лежит модифицированная реологическая модель Виноградова–Покровского. Уравнение теплопереноса записано при учете диссипативной функции.

Ключевые слова: расплавы полимеров, реологическое уравнение состояния, характеристические числа процесса.

Создание новых конструкционных и функциональных материалов различного назначения требует глубокого понимания поведения высокомолекулярных соединений в процессе их переработки. Это приводит к построению математических моделей, описывающих различные эффекты при течении растворов и расплавов линейных и разветвленных полимеров. В данной работе использована модифицированная реологическая модель Виноградова–Покровского, которая ранее проверялась на соответствие реальным течениям полимерных жидкостей, [1, 2] имеющая вид:

где σik – тензор напряжений; p – гидростатическое давление; η0 и τ0 – начальные значения сдвиговой вязкости и времени релаксации; νik – тензор градиентов скорости; aik – симметричный тензор дополнительных напряжений второго ранга; I – первый инва-

3

риант тензора дополнительных напряжений, I = ajj ; γik – сим-

метризованный тензор градиентов скорости, γik = 12 (νik + νki ) ;

κ,β – феноменологические параметры модели, учитывающие

вуравнениях динамики макромолекулы размеры и форму молекулярного клубка.

Впромышленности наиболее распространенный процесс

переработки полимерных материалов – это изготовление полимерной пленки. По технологии полимерный расплав продавливается через экструдер, и на выходе полученная пленка попадает на охлаждающий барабан. В результате движения пленки от экструдера до барабана происходит её охлаждение, а также изменение ширины и толщины. При этом пленка растягивается неравномерно, что приводит к появлению «эффекта шейки», заключающегося в существовании двух участков на зависимости ширины пленки от расстояния до выхода из экструдера. На первом участке происходит существенное изменение ширины пленки за счет интенсивного деформирования, в отличие от второго участка, на котором это изменение незначительно и материал движется как единое целое. Поскольку все эти процессы происходят одновременно, то при их математическом моделировании необходимо совместное решение уравнений для скоростей, напряжений и теплопереноса. Отметим, при формовании полимерной пленки напряжения играют важную роль и необходим их учет.

При всем при этом градиенты скорости неизвестны, и для замыкания системы уравнений (1) необходимо добавить уравнения сохранение массы и импульса:

4

где v1 , v2 и v3 – скорости вдоль осей Ox, Oy и Oz соответствен-

но; ρ – плотность.

В неизотермическом случае система (1), (2) должна быть дополнена уравнением переноса энергии:

λ – коэффициент теплопроводности, W – диссипативная функция, вид которой определён далее.

Рассмотрим стационарную задачу процесса формования полимерной пленки в одномерном приближении. Такая постановка учитывает, что толщина пленки достаточно мала и температуру по толщине пленки можно считать постоянной. Начало координат поместим в середине выходного отверстия экструдера, ось Ox направим вдоль движения пленки, а ось Оz направим вдоль щели экструдера, и будем искать зависящее только от переменной x решение системы (1), (2): vx = u(x) ; T = T(x).

Кинематику процесса при этом можно описывать в рамках одноосного растяжения.

представляет собой энергию, выделяющуюся в виде потока тепла за счёт вязкости. В одномерном случае имеем

W = 3τη0 (a11 − a22 )u′(x) .

0

5

Учет всех этих факторов приводит к следующей математической модели процесса формования полимерной пленки в одномерном приближении, которая следует из (1)–(3):

W – диссипативная функция, вид которой определён далее. В правой части последнего уравнения системы (4) второе слагаемое учитывает охлаждение пленки через ее поверхность. Эта модель отличается от используемой в [3] наличием диссипативной функции.

Для проведения численных расчётов удобно переписать систему уравнений (4) в безразмерном виде и дополнить граничными условиями. Тогда на основе модели (4) можно рассчитать зависимости скорости, температуры и напряжений от рас-

6

стояния до экструдера. В частности, было исследовано влияние параметров модели, таких как начальная сдвиговая вязкость, начальное время релаксации, коэффициент температуропроводности, коэффициент теплообмена, коэффициенты наведенной анизотропии и коэффициент анизотропии потока на вид получаемых зависимостей продольной скорости, температуры и компонент тензора напряжений от расстояния до выхода из экструдера. При этом показано, что модифицированная модель Виноградова–Покровского описывает эффект появления «шейки» в процессеформованияполимерных пленок.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 15-41-04003 а_сибирь).

Список литературы

1.Pokrovskii V.N., Altukhov Yu.A., Pyshnograi G.V. The mesoscopic approach to the dynamics of polymer melts: consequences for the constitutive equation // Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics. – 1998. – Т. 76, № 1–3. – С. 153–181.

2.Гусев А.С., Макарова М.А., Пышнограй Г.В. Мезоскопическое уравнение состояния полимерных сред и описание динамических характеристик на его основе // Инженерно-физи-

ческий журнал. – 2005. – Т. 78. № 5. – С. 55–61.

3.Пышнограй Г.В., Третьяков И.В., Алтухов Ю.А. Математическое моделирование процесса формования полимерных пленок в условиях двуосного растяжения с учетом теплопереноса // Прикладная механика и техническая физика. – 2012. – № 2. – C. 84–90.

7

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ СЛОЖНОГО УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ СТАЛИ ПО КРИВОЛИНЕЙНЫМ ТРАЕКТОРИЯМ

А.А. Алексеев, В.Г. Зубчанинов

(Тверской государственный технический университет,

Тверь, Россия, alexeew@bk.ru)

Приведены результаты численного моделирования процессов сложного упругопластического деформирования стали 45 по плоским криволинейным траекториям с использованием математической модели теории процессов, учитывающей в аппроксимациях функционалов кривизну траектории деформирования. Проведена верификация теоретических положений модели путем сопоставления расчетных результатов с данными экспериментальных исследований, полученных на автоматизированном испытанном комплексе СН-ЭВМ имени А.А. Ильюшина.

Ключевые слова: пластичность, сложное нагружение, векторные и скалярные свойства материалов, криволинейная траектория, моделирование процессов, испытательный комплекс СН-ЭВМ.

Для численного исследования процессов сложного упругопластического деформирования материалов в девиаторном пространстве А.А. Ильюшина по плоским траекториям, содержащим криволинейные участки, использованы определяющие соотношения теории процессов, учитывающие векторные и скалярные свойства материалов [1]:

где ϑ1 – угол сближения, функционал векторных свойств материала, характеризующий направление вектора напряжений σ

ккасательной к траектории деформирования в каждой ее точке;

σ– функционал процесса скалярных свойств материала,

σ= Ф(s, ϑ10 , κ1 ) ; s – длина дуги траектории деформирования;

8

ϑ10 – угол излома траектории в начальной точке криволинейного

аналитического участка траектории с кривизной κ1 ; M1 , dσ – ds

функционалы процесса, которые также должны зависеть от s, κ1, ϑ10 .

Для конкретизации функционалов в математической модели используются универсальные аппроксимации В.Г. Зубчанинова [1]:

σ(s) = Ф(s, ϑ10 , κ1 ) = Ф(s) + Af0p Ω − B sκ1,

где σ = Ф(s) – универсальная функция Одквиста–Ильюшина, принимаемая в качестве закона упрочнения при простом нагружении, а при сложном нагружении принимается σ(s) = Ф(s, ϑ10 , κ1) по (2);

нагружения, первая из них учитывает скалярный «нырок» напряжений и обобщенный эффект Баушингера при сложной разгрузке и последующем вторичном пластическом деформировании, а вторая – ориентацию вектора напряжений σ в процессе деформирования.

Для экспериментального определения материальных параметров b, A, B, γ, p, q для каждого материала предложена [1]

соответствующая методика на основе базовых опытов при простом нагружении и по типу веера двузвенных траекторий.

9

При заданных начальных условиях в точке излома траектории и компонентах Эk (k = 1, 3) вектора деформаций Э основные

уравнения математической модели (1) с учетом (2) приводятся к задаче Коши, для численного решения которой и определения компонент Sk (k = 1, 3) вектора напряжений σ и угла сближения

ϑ1 использовался метод Рунге–Кутты четвертого порядка точности в пакете прикладных программ MathWorks Matlab. Кроме численных результатов для предложенной математической модели рассмотрен и просчитан частный вариант, не учитывающий в аппроксимациях функционалов один из параметров сложного нагружения – кривизну κ1 .

Для оценки достоверности модели полученные численные результаты были сопоставлены с данными экспериментальных исследований, проведенных на автоматизированном испытательном комплексе СН-ЭВМ имени А.А. Ильюшина в лаборатории механических испытаний кафедры «Сопротивление материалов, теории упругости и пластичности» Тверского государственного технического университета. Материал образцов (тонкостенных цилиндрических оболочек) – сталь 45 с механи-

ческими характеристиками σт = 285 МПа, 2G = 1,577 105 МПа,

E = 2,05 105 МПа, μ = 0,3, где σт = 2 / 3σт , σт – предел теку-

чести при растяжении.

На рис. 1 приведена реализованная в испытании [2] на тонкостенном цилиндрическом образце двузвенная неаналитическая траектория деформирования в векторном пространстве деформаций Э1−Э3 , которая состоит из первого прямолинейно-

го участка 0K и второго участка окружности радиуса R = 1,75 % и постоянной кривизны κ1 ≈ 57,1. В точке K траектория изламывается на угол ϑ10 = 90 . На рис. 2 приведен отклик на реализованную траекторию деформирования в векторном пространстве напряжений S 1−S3 , а на рис. 3, 4 приведены результаты

10