Математическое моделирование в естественных науках

АНАЛИЗ ЦЕПОЧЕЧНЫХ СТРУКТУР В МНОГОЧАСТИЧНОЙ МОДЕЛИ МИКРОФЕРРОГЕЛЯ

А.В. Рыжков1, Ю.Л. Райхер1,2

(1Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, ryzhkov_alexandr@mail.ru,

2Институт механики сплошных сред УрО РАН,

Пермь, Россия, raikher@icmm.ru)

Рассматривается модель крупнозернистой молекулярной динамики микрообразца феррогеля – композита, состоящего из полимерной матрицы и внедренных наночастиц. Образующиеся в результате процесса намагничивания такой модельной системы цепочечные агрегаты вытянуты вдоль направления действия поля. Для анализа получившейся пространственной структуры из магнитных частиц и обнаружения одноосных образований применяется модифицированная функция радиального распределения, чувствительная к направлению. Данные представленного моделирования и анализа могут быть соотнесены с экспериментальными результатами малоуглового рассеяния.

Ключевые слова: феррогель, молекулярная динамика, радиальная функция распределения.

Многие современные отрасли науки и техники имеют дело с новыми поколениями умных функциональных материалов. Среди них выделяются композиционные системы, состоящие из мягкой полимерной матрицы-носителя и наполнителя из магнитоактивных наночастиц, так называемые феррогели. Они могут использоваться в наномедицине, производстве сенсоров и дистанционно управляемых приборов.

Известно, что характер пространственного расположения частиц магнитной фазы в магнитополимерных композитах, а именно наличие агрегатов и цепочечных структур, в значительной степени влияет на проявление магнитных и механических свойств при изменении внешнего воздействия. Наличие выделенного направления цепочек приводит к значительной анизотропии механических, магнитных и других свойств.

382

Для выявления особенностей внутренней структуры материалов используют различные дифракционные методы, в частности малоугловое рентгеновское или нейтронное рассеяние (МУР) [1]. По результатам экспериментов (дифракционной картины, зависимости интенсивности рассеяния от вектора рассеяния) решают задачу о восстановлении внутренней структуры материалов с диспергированными частицами. Использование же результатов численного моделирования структуры материала, например, методом молекулярной динамики позволяет, зная координаты частиц, учесть их распределение по расстояниям, а затем перейти в Фурье-пространство и получить зависимости интенсивности рассеяния от вектора рассеяния. Для описания межчастичных корреляций применяют радиальную функцию распределения (РФР). Она описывает, как меняется числовая плотность частиц в зависимости от расстояния относительно некоторой отчетной частицы, при этом процедура применяется с осреднением для всех частиц. При известных местоположениях всех частиц рассматриваемой системы для вычисления РФР подсчитывают количество частиц, попавших в сферическую окрестность, разбитую на слои по расстояниям.

Так как в феррогелях под действием магнитного поля образуются частичные агрегаты и цепочки, то для выявления анизотропных структур предлагается использовать модификацию РФР, чувствительную к направлению. Другими словами, подсчет частиц введется в области пространства, ограниченной поверхностью шарового сектора. Параметрами данной операции являются направление, вдоль которого выделен сектор и косинус угла полураствора конуса. Такой подход позволяет обнаружить цепочечные структуры, расположенные вдоль определенного направления, чаще всего совпадающего с приложенным магнитным полем. Таким образом, введенная модификация РФР способна зафиксировать не только наличие агрегатов (с чем вполне справляется обычная функция распределения по всей

383

сферической области), но и выступить неким индикатором наличия анизотропной структуры.

Была построена модель, состоящая из частиц двух типов: мономеров, связанных упругим потенциалом в цепочки, и магнитных частиц, взаимодействующих дипольными силами [2]. При этом магнитные частицы помещены в узлы полимерной сетки и жестко связаны с ней. Система в целом находится в состоянии с постоянной температурой (моделируется с помощью термостата Ланжевена). В результате расчета отклика данной модели методом крупнозернистой молекулярной динамики (с помощью ESPResSo [3]) были получены агрегаты из частиц, ориентированные вдоль поля (рисунок, а).

Кданным структурам была применена РФР, чувствительная

кнаправлению. По результатам данного анализа представлена зависимость значения РФР от расстояния (рисунок, б). Сравнение данных зависимостей вдоль разных направлений позволило зафиксировать предполагаемую анизотропию агрегатов. Наличие ярко выраженных пиков на графике говорит о максимально близком

Рис. Результат численного моделирования методом молекулярной динамики в пакете ESPResSo, после намагничивания вдоль оси Y появляются цепочечные агрегаты (а); график РФР вдоль направления намагничивания (оси Y) от расстояния в диаметрах магнитной частицы d (б)

384

расположении частиц вдоль выделенного направления. Анализ пиковых значений этой зависимости вдоль направления образования цепочек (на этих расстояниях наиболее высокая вероятность обнаружить частицу) показывает характерный размер частиц магнитной фазыи среднюю длину кластера.

Последующий анализ частичных корреляций позволит провести сравнение с результатами МУР и сделать вывод о применимости предложенного анализатора для описания и предсказания структуры реальных образцов.

Работа выполнена при поддержке проекта МИГ С26/617 МОН Пермского края «Функциональные магнитополимерные нанокомпозиты: структурное проектирование и компьютерное моделирование» и гранта Российского фонда фундаментальных исследований № 14-02-96003.

Список литературы

1.Свергун Д.И., Фейгин Л.А. Рентгеновское и нейтронное малоугловое рассеяние. – М.: Наука, 1986. – 280 с.

2.Coarse-grained molecular dynamics simulation of small ferrogel objects / A. Ryzhkov, P. Melenev, C. Holm, Y. Raikher // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. – 2015. – № 383. – P. 277–280.

3.ESPResSo: Extensible Simulation Package for Research on Soft matter [Электронный ресурс]. – URL: http://espressomd.org.

385

МОДЕЛЬ ДЛЯ ОПИСАНИЯ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ПЕРЕХОДА И РАЗРУШЕНИЯ МЕТАЛЛОВ ПРИ УДАРНО-ВОЛНОВОМ НАГРУЖЕНИИ

Н.В. Савельева, Ю.В. Баяндин, О.Б. Наймарк

(Институт механики сплошных сред УрО РАН,

Пермь, Россия, saveleva@icmm.ru)

Представлены результаты численной реализации модели для описания деформирования и разрушения материалов при ударноволновом нагружении. Моделирование проведено на основе статистической теории поведения твердого тела с дефектами, которая включает два параметра, характеризующих дефектную структуру материала: тензорный параметр порядка, совпадающий по смыслу с обусловленной дефектами деформацией, и параметр структурного скейлинга. Результаты численного моделирования позволили описать ключевые эффекты, проявляющиеся при высокоскоростном нагружении (релаксация упругого предвестника, рост откольной прочности при увеличении скорости деформации).

Ключевые слова: ударно-волновое нагружение, откольная прочность, тензор плотности дефектов.

Исследовано механическое поведение материалов при ударно-волновом нагружении с учетом влияния нелинейной кинетики дефектов на релаксационные свойства и разрушение. Разработанная структурно-феноменологическая модель твердого тела с дефектами основана на введении структурных переменных: тензора плотности дефектов и параметра структурного скейлинга [1]. Данные внутренние переменные имеют смысл независимых термодинамических переменных неравновесной системы «твердое тело – дефекты» и характеризуют многомасштабную поврежденность материала.

Постановка задачи [2] об ударно-волновом нагружении материалов соответствует эксперименту по плоскому соударению двух пластин и включает: законы сохранения импульса и массы; кинематическое соотношение для скоростей деформации в предположении малых величин деформаций; систему оп-

386

ределяющих уравнений, включающих закон Гука в скоростной форме; кинетические уравнения для тензора плотности дефектов и параметра структурного скейлинга. Условия эксперимента [3] и геометрия образцов позволили принять гипотезу о плоском деформированном состоянии твердого тела в процессе нагружения и рассматривать одномерную постановку задачи. Для численного решения сформулированной системы уравнений разработана программа для ЭВМ с использованием конечноразностного многошагового метода.

Моделирование поведения металлов в условиях ударноволнового нагружения включало изучение релаксационных свойств и закономерностей перехода от дисперсного к макроразрушению [4]. Расчет волновых фронтов на основе уравнений, учитывающих связь механизмов релаксации с кинетикой дефектов, позволил определить величину динамического предела упругости и описать релаксацию упругого предвестника [3].

Введенные структурные переменные [1] были использованы при формулировке критерия разрушения. В работе с разрушением связывается формирование локализованной области, в которой происходит интенсивный рост дефектов объемного типа (микротрещины). Результаты расчета профилей скорости свободной поверхности позволили провести оценку величины откольной прочности и построить зависимость последней от скорости деформации (рисунок).

Результаты моделирования откольного разрушения находятся в соответствии с экспериментальными данными [3, 5] и позволили установить рост откольной прочности с увеличением скорости деформации, что является следствием выраженной локализации поврежденности в условиях лавинообразной кинетики роста дефектов при слабой чувствительности кинетики роста поврежденности к нарастающей амплитуде нагрузки.

387

5. Zaretsky E.B., Kanel G.I. Tantalum and vanadium response to shock-wave loading at normal and elevated temperatures. Nonmonotonous decay of the elastic wave in vanadium // Journal of Applied Physics. – 2014. – Vol. 115, Iss. 24. – P. 243–502.

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА РЕШЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ БОЛЬЦМАНА ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССА ОСАЖДЕНИЯ ЧАСТИЦ

Э.Р. Сайфуллин1, А.Г. Князева2, А.Л. Куперштох3

(Национальный исследовательский Томский государственный университет,

Томск, Россия, 1ser_web@mail.ru, 2anna-knyazeva@mail.ru,

3Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН,

Новосибирск, Россия, skn@hydro.nsc.ru)

Рассматривается вопрос, связанный с применением метода решеточных уравнений Больцмана для моделирования процесса нанесения покрытия на твердое изделие. Представлены результаты проделанной работы.

Ключевые слова: метод решеточных уравнений Больцмана, осаждение покрытия.

Введение

В последние годы для моделирования течений газа и жидкости получил распространение метод решеточных уравнений Больцмана (Lattice Boltzmann Equation, LBE). Ме-

тод LBE впервые был предложен в 1988–1989 годы [1, 2]. Его преимуществами являются простота алгоритма, легкая реализация граничных условий и возможность параллельных вычислений. В данной работе использовался метод LBE в двумерной постановке. Моделировался процесс конденсации частиц из газовой фазы для нанесения покрытий на твердую поверхность изделия.

389

Метод LBE

В методе LBE сплошная среда заменяется эквивалентной дискретной моделью. Пространственные решетки, обладающие свойством симметричности, задаются общей формулой DiQj, где i – размерность пространства, j – число возможных векторов скоростей псевдочастиц ck .

В каждом узле состояние вещества характеризуется одночастичными функциями распределения Nk . Эволюция системы

при наличии объемных сил описывается решеточным уравнением Больцмана:

( ek = ck t ). Первое слагаемое в уравнении (1) отвечает за распро-

странение частиц из узла в соседние узлы, второе слагаемое – за изменение заселенности в столкновениях и последнее слагаемое – за действие внешних сил. Плотность и скорость вещества в узле

Оператор столкновений используют в виде BGK (Bhatnagar – Gross – Krook) приближения, которое представляет собой релак-

сацию к локальному равновесию [3]: Ωk = (Nkeq (ρ,u) − Nk ) / τ, где

τ – безразмерное время релаксации, определяющее кинематическую вязкость ν = θ(τ−1/ 2) t . В нашей постановке используется

изотермическая модель LBE, поэтому равновесную функцию распределения можно разложить в ряд по скорости u до второго

коэффициенты, θ – нормированная кинетическая температура псевдочастиц. Для модели D2Q9 имеем:

390