Математическое моделирование в естественных науках

Список литературы

1.Иванова А.А. Вибрационная механика неоднородных гидродинамических систем. Экспериментальное исследование: дис. … д-ра физ.-мат. наук. – Пермь, 2000. – 237 c.

2.Вяткин А.А. Экспериментальное исследование тепломассопереноса во вращающихся полостях: дис. … канд. физ.-мат.

наук. – Пермь, 2011. – 125 c.

3.Чернатынский В.И. Численное исследование конвекции

взазоре между горизонтальными коаксиальными цилиндрами // Гидродинамика: сб. ст. – Пермь, 1976. – Вып. VIII. – С. 84–92.

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ МЕЗОСКОПИЧЕСКИХ МЕХАНИЗМОВ ДЕФОРМАЦИИ И РАЗРУШЕНИЯ МАТЕРИАЛА

С БОРИДНЫМ ПОКРЫТИЕМ С.А. Мартынов

(Институт физики прочности и материаловедения СО РАН,

Томск, Россия, martynov@ispms.tsc.ru)

Исследованы особенности локализации деформации и разрушения композита «стальная подложка – боридное покрытие» при растяжении, сжатии и динамическом воздействии на поверхность покрытия. Установлено, что место разрушения зависит от прочности покрытия. Показано, что характер растрескивания покрытия зависит от скорости деформирования. Выявлена зависимость характера растрескивания, места зарождения разрушения и объемной доли разрушенного материала покрытия от скорости распространения полосы Чернова–Людерса в стальной подложке. Выявлены параметры кривизны границы раздела, влияющие на оптимальную толщину покрытия.

Ключевые слова: механика сред со структурой, криволинейные границы раздела, локализация деформации, разрушение, численное моделирование.

Существует множество способов упрочнения поверхности металлов и нанесения однослойных и многослойных покрытий. В их числе такие технологии, как ультразвуковая обработка, ла-

261

зерное напыление, газодинамическое напыление, обработка электронными пучками, диффузионное борирование и др. [1–5]. Большинство из них позволяют получать высокопрочные покрытия с характерной для каждой из них кривизной границы раздела «основной материал – покрытие». Композиты, полученные с помощью технологии диффузионного борирования, наиболее удобны для проведения фундаментальных исследований механизмов деформирования на мезоуровне, так как данные материалы обладают ярко выраженной игольчатой формой границы раздела «основа – покрытие». Цель настоящей работы – методами математического моделирования изучить мезоскопические механизмы деформации и разрушения композита «стальная подложка – боридное покрытие» при различных видах воздействия.

Постановка задачи и результаты моделирования

При моделировании деформации материала с покрытием решается общая система уравнений механики, включающая законы сохранения массы, количества движения, соотношения для деформаций и определяющие уравнения, характеризующие среду [1–7]. В данном случае введены модели упругопластического поведения стальной подложки с учетом деформационного упрочнения, скоростной чувствительности и возможности распространения полос типа Чернова–Людерса, а также модель хрупкого разрушения покрытия. Краевая динамическая задача решается численно методом конечных разностей в постановке плоской деформации.

При анализе общего характера деформирования обнаружено, что эволюция концентраций напряжений в покрытии

вобласти границы раздела связана со сменой механизмов локализации пластического течения в подложке на разных стадиях деформирования. Показано, что на стадии развитого пластического течения локализация напряженного состояния развивается

внелинейном режиме, причем в том месте, где на более ранних стадиях локализация была, наоборот, подавлена и концентрация напряжений была минимальной. Таким образом, установлено,

262

что место действия максимальных концентраций напряжений различно для разных стадий и, следовательно, место разрушения может зависеть от прочности покрытия.

При изучении влияния вида нагружения выявлено, что локальные области объемного растяжения расположены в различных местах при внешнем растяжении и сжатии композита – типа А и С (рисунок, а) соответственно, поэтому трещины при внешнем растяжении и сжатии зарождаются в разных местах и распространяются в разных направлениях.

Исследование влияния скорости нагружения показало, что при низких скоростях динамического сжатия композита трещины зарождаются только в областях объемного растяжения и распространяются в направлении приложения нагрузки (рисунок, б), а при высоких скоростях воздействия разрушение происходит по смешанному механизму и развивается преимущественно в направлении действия максимальных касательных напряжений (рисунок, в).

Рис. Схема нагружения композита «сталь – боридное покрытие» при ударном нагружении (а), разрушение покрытия при скорости воздействия на поверхность (б) 20 и (в) 80 м/с

Определены диапазоны скоростей распространения полосы Чернова–Людерса, при которых: а) движение полосы Черно- ва–Людерса сопровождается разрушением покрытия; б) разрушение покрытия происходит перед фронтом движущейся полосы на упругой стадии деформирования основы; в) разрушение

263

покрытия происходит за фронтом полосы Чернова–Людерса на стадии пластического течения подложки.

Изучено влияние толщины покрытия dс (рисунок, б). Геометрия игольчатой границы раздела оставалась неизменной. Установлено, что при малых dс с увеличением толщины покрытия величина концентрации напряжений в области границы раздела «покрытие – подложка» нелинейно уменьшается до некоторого значения и далее не меняется. Данный эффект оптимальной толщины наблюдается на упругой стадии деформирования и усиливается на стадии пластического течения в подложке.

Для исследования влияния параметров кривизны границы раздела «покрытия – подложка» на прочность композита использовалась модельная структура с синусоидальным профилем данной границы. Была проведена серия расчетов, в которой варьировались амплитуда (20–120 мкм) и период (100–160 мкм) синусоиды, а также толщина сплошного слоя покрытия d = 10…190 мкм. Установлено, что при увеличении амплитуды, величина максимальных относительных концентраций напряжений в области границы раздела «покрытие – подложка» увеличивается. Вместе с тем обнаружено, что амплитуда синусоидальной границы раздела «покрытие – подложка» не влияет на оптимальную толщину покрытия. Показано, что при увеличении периода оптимальная толщина сплошного слоя увеличивается. При этом величина максимальных относительных концентраций меняется слабо. Данные зависимости носят экспоненциальный характер.

Исследование формирования деформационного рельефа на поверхности материала с покрытием при растяжении показало, что деформационный рельеф на поверхности упругого покрытия, вызванный наличием синусоидальной границы раздела «стальная подложка – боридное покрытие», имеет форму циклоиды, амплитуда которой экспоненциально уменьшается с увеличением толщины покрытия.

Сравнительный анализ образцов с промежуточным слоем между подложкой и покрытием и без него показывает, что наличие упруго-хрупкой прослойки, обладающей средними меха-

264

ническими свойствами, может являться отрицательным фактором при определенных условиях, в результате чего макроскопическая прочность материалов с покрытием снижается.

Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда (проект № 14-19-00766).

Список литературы

1.Мезомеханика границы раздела в материалах с поверхностным упрочнением и покрытиями / С.В. Панин, И.Ю. Смолин, Р.Р. Балохоное, Н.А. Антипина, В.А. Романова, Д.Д. Моисеенко, В.Г. Дураков, Ю.П. Стефанов, А.Ю. Быдзан // Известия вузов. –

Физика. – 1999. – №3. – С. 6.

2.Экспериментальное и теоретическое исследование мезоcкопической деформации и разрушения при сжатии образцов малоуглеродистой стали с напыленными покрытиями, оплавленными в условиях мощных ультразвуковых колебаний / В.А. Клименов, С.В. Панин, Р.Р. Балохонов, О.Н. Нехорошков, В.И. Кузьмин, Ж.Г. Ковалевская, З. Шмаудер // Физическая ме-

зомеханика. – 2003. – Т. 6, № 2. – С. 99–110.

3.Numerical simulation of deformation and fracture in lowcarbon steel coated by diffusion borating / R.R. Balokhonov, S.V. Panin, V.A. Romanova, P.V. Makarov, S. Schmauder // Theoretical and Applied Fracture Mechanics. – 2004. – Т. 41, № 1–3. – С. 9–14.

4.Mesoscale analysis of deformation and fracture in coated materials / R.R. Balokhonov, V.A. Romanova, E. Schwab, S. Schmauder // Computational Materials Science. – 2012. – Т. 64. – С. 306–311.

5.Makarov P.V., Romanova V.A., Balokhonov R.R. Plastic deformation behavior of mild steel subjected to ultrasonic treatment // Theoretical and Applied Fracture Mechanics. – 1997. – Т. 28, № 2. – С. 141–146.

6.Simulation of meso-macro dynamic behavior using steel as an example / R.R. Balokhonov, V.A. Romanova, P.V. Makarov,

S. Schmauder // Computational Materials Science. – 2003. – Т. 28, № 3–4, Spec. iss. – С. 505–511.

265

7. Mesomechanical analysis of the elasto-plastic behavior of a 3d composite-structure under tension / V.A. Romanova, R.R. Balokhonov, E. Soppa, S. Schmauder // Computational Mechanics. – 2005. – Т. 36, № 6. – С. 475–483.

ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕНЗОРА УПРУГИХ СВОЙСТВ В ЗАКОНЕ ГУКА, ОРИЕНТИРОВАННОГО

НА ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НЕСИММЕТРИЧНЫХ МЕР

Е.С. Маскалева1, Т.В. Останина2

(1Пермский государственный национальный исследовательский университет,

Пермь, Россия, katka.chyda@yandex.ru,

2Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, tv-ostanina@yandex.ru)

Рассматривается структура тензора упругих свойств для закона Гука, использующего несимметричные меры напряженно-деформиро- ванного состояния. Получены компоненты тензора упругих свойств для различных типов кристаллических решеток.

Ключевые слова: модифицированный закон Гука, несимметричные меры напряженного и деформированного состояния.

Структура матрицы компонент тензора упругих свойств для классического закона Гука определяется свойствами симметрии тензоров напряжений и деформаций, наличием упругого потенциала, а также симметрийными свойствами кристаллической решетки. В работе П.В. Трусова* обоснована необходимость модификации закона Гука, заключающейся в использовании несимметричных мер напряжений и деформаций. В качестве меры напряжения в этой работе используется несимметричный тензор напряжений Коши, меры скорости деформаций – градиент отно-

* Трусов П.В. О несимметричных мерах напряженного и деформированного состояния и законе Гука // Вестник Пермского национального технического университета. Механика. 2014. № 2. С. 220–239.

266

сительной скорости перемещений (скорости перемещений относительно жесткой подвижной системы координат, отвечающей за квазитвердое движение элементарного объема).

В настоящей работе исследованы ограничения, которые накладываются на матрицу упругих свойств в силу симметрийных свойств кристаллов, для несимметричных мер напряжений и деформаций. Получен вид матрицы компонент тензора упругих свойств в законе Гука, ориентированного на использование несимметричных мер. Для различных типов кристаллических решеток показано, что матрица модулей упругости в случае модифицированного закона Гука имеет большее (по сравнению с матрицей упругих свойств для классического закона Гука) число ненулевых компонент.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 15-08-06866-а).

ОСОБЕННОСТИ ЧИСЛЕННОЙ РЕАЛИЗАЦИИ ЗАДАЧИ

ОСОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИХ ЭЛЕКТРОВЯЗКОУПРУГИХ ТЕЛ

СВНЕШНИМИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИМИ ЦЕПЯМИ

В.П. Матвеенко, Д.А. Ошмарин, Н.В. Севодина, Н.А. Юрлова, М.А. Юрлов

(Институт механики сплошных сред УрО РАН,

Пермь, Россия, oshmarin@icmm.ru)

Представлен подход, позволяющий использовать матрицы, формируемые в программном комплексе ANSYS, для определения комплексных собственных частот колебаний кусочно-однородных электровязкоупругих тел с присоединенными к ним внешними электрическими цепями. Описаны особенности численной реализации задачи о собственных колебаниях подобных конструкций.

Ключевые слова: электровязкоупругость, собственные колебания, внешние электрические цепи.

267

Пьезоэлектрические элементы, соединенные шунтирующей цепью и присоединенные к механической конструкции, являются устройствами, на которых происходит диссипация энергии и тем самым осуществляется дополнительное демпфирование колебаний за счет преобразования части энергии колебаний в электроэнергию, которая, благодаря пьезоэлектрическому эффекту, рассеивается во внешней электрической цепи. Для определения динамических характеристик системы, представляющей собой конструкцию, выполненную из упругого или взякоупругого материала с присоединенными к ней пьезоэлементами и внешними электрическими цепями, наиболее эффективным является модальный анализ.

Математическая постановка задачи о собственных колебаниях такой системы [1–3] приводит к нестандартной проблеме собственных значений. Основное разрешающее уравнение для задачи о собственных колебаниях электровязкоупругого тела в матричном виде после применения процедуры метода конечных элементов имеет вид [1–3]

(−ω2 [M ]+ G(k ) [KG ]+ B(k ) [KB ]+ [KP ]−

электрического элемента цепи в виде емкости. G(k ) , B(k ) – комплексные динамические модули вязкоупругого тела, R, L, С – величины сопротивления, индуктивности и емкости внешней электрической цепи соответственно; ω = ωR + iωI – искомая

268

комплексная собственная частота колебаний системы (ωR – собственно частота колебаний системы; ωI – коэффициент демпфирования (затухания) колебаний системы).

Условием существования нетривиального решения является

det (−ω2 [M ]+ G(k ) [KG ]+ B(k ) [KB ]+ [KP ]−

Для решения полученной алгебраической задачи комплексных собственных значений (2) может быть использован метод Мюллера [4–5] с различными сценариями выбора начальных приближений.

Для использования преимуществ конечно-элементного программного комплекса ANSYS при построении модели рассматриваемой конструкции и снижения трудоемкости реализации полного программного алгоритма определения комплексных собственных частот ее колебаний предлагается воспользоваться возможностью использования матриц жесткости и масс, получаемых в ANSYS, с последующим их использованием в программе, реализующей алгоритм решения методом Мюллера.

При решении задачи о собственных колебаниях электровязкоупругих тел с внешними электрическими цепями в ANSYS возникает две серьезные проблемы, не позволяющие напрямую использовать математический аппарат модального анализа данного пакета:

–невозможность учета вязкоупругих свойств материала, описываемых комплексным динамическим модулем в его стандартной формулировке;

–невозможность использования элементов индуктивности

исопротивления при моделировании внешней электрическойцепи. Последняя проблема обусловлена наличием в уравнении (1)

перед матрицами [KR ] и [KL ] множителей, зависящих от частоты.

269

Для преодоления данных сложностей был предложен специальный алгоритм, реализованный на языке APDL. Использование пакета ANSYS при рассмотрении задачи о собственных колебаниях электровязкоупругих тел с внешними электрическими цепями приводит к алгебраической проблеме собственных значений вида

где [K] – матрица жесткости всей системы, состоящей из вязко-

упругих и пьезоэлектрических элементов, в которую также входят коэффициенты от емкостных элементов внешней цепи; [M ] – матрица масс системы; [D] – матрица демпфирования

для вязкоупругих элементов. Получить из ANSYS в готовом виде можно только эти три матрицы. Матрица демпфирования [D]

формируется из матриц [K] или [M ], домноженных на соответ-

ствующие коэффициенты, в зависимости от выбранного механизма демпфирования.

Таким образом, для получения всех матриц, входящих в уравнение (1), необходимо разработать алгоритм разделения полученной из ANSYS матрицы жесткости [K] на матрицы

[KG ], [KB ] и [KP ], а также алгоритм получения матриц [KR ],

[KL ] и [KC ].

Сначала необходимо разделить исходную матрицу жесткости [K] на матрицы [KV ], [KP ] и [KCir ]. Матрица [KV ] будет

содержать коэффициенты только для вязкоупругой части конструкции, [KP ] – коэффициенты для пьезоэлектрической части

конструкции, [KCir ] – коэффициенты для элементов внешней

электрической цепи.

В силу того, что ANSYS не позволяет использовать резистивные и индуктивные элементы в модальном анализе при моделировании внешней электрической цепи, все ее элементы (со-

270