Математическое моделирование в естественных науках

противление, индуктивность, емкость) для получения матрицы [KCir ] будут моделироваться только емкостными элементами.

Полученные матрицы [KV ] и [KCir ] в свою очередь разделяются следующим образом: [KV ] – на [KB ] и [KG ]; [KCir ] – на

ляется по такому же принципу. Полученные таким образом матрицы [KB ] и [KG ] будут содержать только «геометрические»

коэффициенты, не содержащие информации о материале. При подстановке этих матриц в уравнение они будут домножены на соответствующие значения комплексных динамических моду-

лей. Единичные матрицы [KR ], [KL ] и [KC ] будут содержать

только коэффициенты 1 и –1 на соответствующих позициях. При подстановке в уравнение эти матрицы домножаются на соответствующие величины сопротивления, индуктивности и емкости. В итоге после применения данной процедуры будут получены все необходимые матрицы, входящие в уравнение (1), что позволит использовать реализованный на языке FORTRAN алгоритм метода Мюллера для получения комплексных собственных частот колебаний электровязкоупругого тела с внешними электрическими цепями.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты № 14-01- 96003-р_урал_а, № 15-01-03976-а).

Список литературы

1. Kligman E.P., Matveenko V.P. Natural Vibration Problem of Viscoelastic Solids as Applied to Optimization of Dissipative Properties of Constructions // International Journal of Vibration and Control. – 1997. – Vol. 3, № 1. – Р. 87–102.

271

2.Optimization of the dynamic characteristics of electroviscoelastic systems by means of electric circuits / V.P. Matveenko, E.P. Kligman, N.A. Yurlova, M.A. Yurlov // Advanced Dynamics and Model Based Control of Structures and Machines / eds. H. Irschik, M. Krommer, A.K. Belyaev. – Wien: Springer-Verlag, 2011. – P. 151–158.

3.Клигман Е.П., Матвеенко В.П., Севодина Н.В. Определение собственных частот колебаний кусочно-однородных вязкоупругих тел с использованием пакета ANSYS // Вычислительная механика сплошных сред. – 2010. – Т. 13, № 2. – С. 46–54.

4.Матвеенко В.П. Об одном алгоритме решения задачи

особственных колебаниях тел методом конечных элементов // Краевые задачи теории упругости и вязкоупругости. – Свердловск: Изд-во УНЦ АН СССР, 1980. – С. 20–24.

5.Матвеенко В.П., Севодин М.А., Севодина Н.В. Приложения метода Мюллера и принципа аргумента к задачам на собственные значения в механике деформируемого твердого тела // Вычислительная механика сплошных сред. – 2014. – Т. 7, № 3. –

С. 331–336.

СОВРЕМЕННЫЕ МОДЕЛИ ДИНАМИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ПОЛИМЕРОВ

Л.А. Мержиевский

(Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН,

Новосибирск, merzh@hydro/nsc.ru)

Рассматриваются и обсуждаются современные модели, описывающие свойства и поведение полимерных материалов при воздействии квазистатических и динамических нагрузок. Указывается, что основные подходы к построению моделей базируются на представлениях о упруговязком характере деформирования. Анализируются механизмы механической и структурной релаксации и способы их учета в многоуровневых моделях. Приводятся примеры решения конкретных задач квазистатического и динамического, в том числе ударно-волно- вого, деформирования.

272

Ключевые слова: полимеры, модели деформирования, вязкоупругая среда, время релаксации, диаграммы деформирования, ударноволновые процессы.

В процессе деформирования под действием внешней нагрузки полимерные среды демонстрируют сложное поведение, связанное с особенностями их строения. Эти особенности проявляются в многообразии структурных механизмов деформирования, реализующихся на разных структурных уровнях. Для аморфных полимеров различают три физических состояния – стеклообразное, высокоэластическое и вязкотекучее [1]. Каждому из перечисленных состояний соответствует свой набор микро-, мезо- и макроструктурных механизмов необратимого деформирования. При этом последовательно активируются механизмы деформирования, связанные не только с гибкостью макромолекул

иконформационными переходами, но и с перемещениями и перестройками надмолекулярных образований. В квазистатических процессах переход из одного физического состояния в другое происходит при изменении температуры и сопровождается изменением микроскопических и макроскопических свойств.

Традиционно для описания динамического деформирования полимеров используются традиционные модели упругопластического деформирования типа модели Джонстона–Кука [2, 3], в которых постулируется зависимость предела текучести от температуры и/или скорости деформации. Критический анализ применимости моделей такого типа проводится в работе [4]. В то же время известно, что с макроскопической точки зрения свойства

иповедение полимеров более адекватно описываются моделями вязкоупругой среды [5–8].

Наиболее широкое распространение получили реологические модели, учитывающие ярко выраженный релаксационный характер поведения полимеров при деформировании [5]. В этом случае за основу принимаются канонические модели Максвелла [9] и Фойгта [10], а для согласования получаемых результатов с экспериментальными данными в количественном плане строят-

273

ся модели, содержащие в качестве структурных элементов несколько последовательно и параллельно соединенных элементов упругости и вязкости [6–8]. Таким образом, формально в модель вводится несколько времен релаксации, каждое из которых соответствует определенному релаксационному механизму. По сути, это означает введение в модель дополнительных эмпирических постоянных (подгоночных констант). Этого удается избежать, если принять во внимание, что время релаксации касательных напряжений является не константой, а функцией, зависящей от параметров, характеризующих состояние среды. Такой подход реализован в развиваемой автором с сотрудниками модели вязкоупругого тела максвелловского типа, например, [11]. Принципы ее построения позволяют в рамках единого подхода сочетать преимущества макроскопического описания с учетом мезо- и микроструктурных механизмов необратимого деформирования. Принципиальной особенностью модели является включение в определяющие соотношения времени релаксации касательных напряжений в форме непрерывной зависимости от параметров, характеризующих состояние среды. Аналитический вид зависимости выбирается на основе учета микро- и мезоструктурных механизмов необратимого деформирования, необходимые для конкретизации параметры выбираются на основе минимизации расхождениярешениязадачио динамическомрастяжении тонкого стержня с экспериментальными диаграммами деформирования. Второй отличительной особенностью модели является уравнение состояния среды, включающее зависимость энергии от второго инварианта тензора деформаций. В качестве основы для его построения используются принципы уравнения Ми–Грюнай- зена. Такой подход позволяет получить единообразное математическое описание всех физических состояний полимеров. Подход был апробирован на моделях деформирования поликристаллических сред, для которых он показал хорошие результаты в описании ударно-волновых процессов.

274

С использованием построенных таким образом моделей ряда полимерных материалов решены конкретные задачи квазистатического и динамического, в том числе ударно-волнового, деформирования [11–16].

Расчеты корректно воспроизводят диаграммы деформирования, ударную адиабату и адиабаты разгрузки. Особое внимание уделено сравнению расчетов и экспериментальных данных для температуры ударно-сжатого материала и затухания ударной волны при взаимодействии с догоняющей и боковыми волнами разрежения. Сравнение результатов решения конкретных задач с соответствующими экспериментальными данными свидетельствуют об адекватности описания ударно-волновых процессов в полимерах с помощью построенной модели.

В заключение обсуждаются перспективы дальнейшего развития используемого подхода. Для учета наследственных свойств реальных полимеров и фрактальности их строения предполагается использовать аппарат производных и интегралов дробного порядка. Приводятся примеры определяющих соотношений с производными дробного порядка. Обсуждается влияние значения порядка производных на свойства определяющих соотношений. С использованием аппарата дробного дифференцирования сформулирована и решена задача о растяжении тонкого стержня из модельного материала.

Работа поддержана Интеграционным проектом СО РАН № 64 и грантом Российского фонда фундаментальных исследо-

ваний № 12-01-00726.

Список литературы

1.Бартенев Г.М., Френкель С.Я. Физика полимеров. – Л.:

Химия, 1990. – 432 с.

2.Johnson G.R., Cook W.H. Proc. of 7th Symposium on Ballistics. – Hague, 1983. – P. 541–547.

275

3.Chen W., Zhou B. Constitutive Behavior of Epon 828/T-403 at Various Strain Rates // Mechanics of time-dependent materials. – 1998. – № 2. – P. 103–111.

4.Мержиевский Л.А. Модели деформирования при интенсивных динамических нагрузках (обзор) // Физика горения и взры-

ва. – 2015. – Т. 51, № 2. – С. 144–160.

5.Степанов В.А., Песчанская Н.Н., Шпейзман В.В. Прочность и релаксационные явления в твердых телах. – Л.: Наука, 1984. – 246 с.

6.Mulliken A.D., Boyce M.C. Mechanics of the ratedependent elastic–plastic deformation of glassy polymers from low to high strain rates // International Journal of Solids and Structures. – 2006. – Vol. 43, № 5. – P. 1331–1356.

7.Boyce M.C., Socrate S., Llana P.G. Constitutive model for the finite deformation stress-strain behavior of poly (ethylene terephthalate) above the glass transition // Polymer. – 2000. – Vol. 41, iss. 6. – P. 2183–2201. DOI: 10.1016/S0032-3861(99)00406-1

8.Constitutive Modeling of Polycarbonate During High Strain Rate Deformation / K.H. Safari, J. Zamani, F.J. Ferreira, R.M. Guedes // Polymer engineering and science. – 2012. – P. 1–10. – DOI 10.1002/pen

9.Максвелл Д.К. Строение тел // Статьи и речи. – М.:

Наука, 1968. – С. 182–192.

10.Voigt W. Ueber innere Reibung fester Korper, insbesondere der Metalle // Annalen der Physik. – 1892. – Vol. 283 – P. 671–693.

11.Мержиевский Л.А., Воронин М.С. Моделирование ударно-волнового деформирования полиметилметакрилата //

Физика горения и взрыва. – 2012. – T. 48, № 2. – C. 113–123.

12.Воронин М.С., Мержиевский Л.А. Модель квазистатического и динамического деформирования эластомеров // Ученые записки Забайкал. гос. гум.-пед. ун-та им. Н.Г. Чернышевского. Сер.: Физика, математика, техника, технология. – 2011. – №3. – С. 53–59.

13.Мержиевский Л.А., Воронин М.С. Моделирование деформирования и разрушения полимеров на основе максвелловского подхода // Известия АГУ. Сер.: Метематика и механика;

276

управление, вычислительная техника и информатика; физика. – 2012. – № 1/1. – С. 95–98.

14.Воронин М.С., Мержиевский Л.А. Моделирование ударно-волнового деформирования эпоксидной смолы // Ученые записки Забайкал. гос. гум.-пед. ун-та. Сер.: Физика, математика, техника, технология. – 2013. – № 3. – С. 26–31.

15.Воронин М.С., Мержиевский Л.А. Моделирование ударно-волнового деформирования политетрафторэтилена // Ученые записки Забайкал. гос. гум.-пед. ун-та. – 2013. – Т. 50,

№3. – С. 14–21.

16.Температура ударного сжатия полимерных материалов / С.А. Бордзиловский, М.С. Воронин, С.М. Караханов, Л.А. Мержиев-

ский// ДокладыАН. – 2014. – Т. 455, №6. – С. 646–650.

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОГО КОНТАКТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ УДАРНИКА И СЛОИСТОЙ ПРЕГРАДЫ

Т.Г. Мехоношина1, М.А. Соковиков2, О.Б. Наймарк2, Ю.В. Баяндин2

(1Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, tatyana92.92.92@mail.ru,

2Институт механики сплошных сред УрО РАН, Пермь, Россия)

Проводилось исследование разрушения слоистой преграды. В трехмерной постановке решалась задача о пробивании двухслойной преграды (керамика + сплав алюминия) стальным ударником с плоской передней частью по нормали к поверхности преграды. Трение между ударником ипреградой не учитывается. В результате моделирования оценивается энергия, затраченнаянаразрушениепреграды.

Ключевые слова: удар, слоистая преграда, керамика, хрупкое разрушение, численное моделирование.

Работа посвящена исследованию разрушения слоистой преграды при высокоскоростном соударении [1, 2].

В данной работе рассмотрено разрушение преграды с наружным керамическим слоем из корундовой керамики Al2O3, в качестве подложки используется слой сплава алюминия Д16.

277

Системаисходныхуравненийдляописаниядеформациибазируетсянафундаментальныхзаконахсохранениямассыиимпульса.

Рассматриваемая задача соударения двух деформируемых твердых тел в общем случае опишется системой уравнений, в которой для описания динамического воздействия используются: линейный закон Гука; уравнение неразрывности; уравнение движения и условие аддитивности упругой и пластической деформации:

σ = ∏:(ε − εp ),

∂ρ + div(ρv ) = 0,

∂t

ρdv = σ,

dt

ε = εp + εe .

Для решаемой задачи принимается предположение об аддитивности деформаций, так как упругие деформации малы, а пластическиедеформацииимеютгидродинамический характер.

Система основных уравнений дополняется необходимыми начальными и граничными условиями. Начальные условия для взаимодействующих тел задавались исходя из того, что их материалы в момент начала движения не деформированы. Все частицы преграды находятся в покое, а точки ударника движутся с одинаковой начальной скоростью. Ударник соударяется с преградой по нормали. Таким образом, в начальный момент времени все точки ударника имеют осевую скорость v0 .

Граничные условия ставятся следующим образом: на границах, свободных от напряжений, выполняются условия σn = τn = 0 .

На участке контакта между телами ставится условие идеального скольжения иусловиенепроникания понормали.

Схема нагружения исследуемой преграды представлена на рисунке. Соударение происходит по нормали к поверхности.

278

Предполагается отсутствие трения между ударником и преградой при их взаимодействии.

Параметры материалов модели приведены в таблице.

Рис. Схема к задаче о пробивании:

1 – стальной ударник; 2 – слойAl2O3; 3 – слой Д16

Параметры материалов

* Данные для Al2O3 взяты из учебного пособия А.М. Салахов «Введение в технологию конструкционных материалов» [3].

Задача решалась в трехмерной постановке в программном комплексе Abaqus. Жесткое закрепление мишени достигалось путем ограничения перемещений на торцах преграды.

В результате численного моделирования были получены различные степени разрушения преграды в зависимости от скорости соударения и толщины преграды. Проведена оценка энергии, затраченной на разрушение преграды.

279

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект № 14-19-01173).

Список литературы

1.Герасимов А.В., Пашков С.В., Михайлов В.Н. Соударение длинных стержней по нормали и под углом с многослойными и разнесенными преградами // Краевые задачи и математическое моделирование: сб. ст. 9-й Всерос. науч. конф. – Новокуз-

нецк, 2008. – Т. 1. – С. 22–26.

2.Кобылкин И.Ф., Селиванов В.В. Материалы и структуры легкой бронезащиты: учебник. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Бау-

мана, 2014. – 191 с.

3.Салахов А.М. Введение в технологию конструкционных материалов: учеб. пособие. – Казань, 2014. – 149 с.

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ИМПЕДАНСА АЭРОЗОЛЯ РАСТВОРА ХЛОРИДА НАТРИЯ

Я.В. Мишланов

(Пермский государственный национальный исследовательский университет,

Пермь, Россия, sconymare@yandex.ru)

Рассматривается движение в трубке аэрозоля, полученного при помощи медицинского ультразвукового небулайзера из раствора хлорида натрия. Обсуждается возможность применения измерений электрического импеданса для исследования потоков аэрозоля в медицинских целях. Предлагаются возможные модели, объясняющие экспериментально наблюдаемые зависимости значений импеданса от свойств потока аэрозоля.

Ключевые слова: аэрозоль, электрический импеданс, модели электрической проводимости.

Интерес к исследованию свойств потока аэрозоля, полученного при помощи медицинского ультразвукового небулайзера из раствора хлорида натрия, основан на работах [1, 2]. В них об-

280