Математическое моделирование в естественных науках

Исходные гидродинамические характеристики, необходимые для реализации модели в 3D-постановке, рассчитывались на основе 2D-гидравлической модели, реализованной для всего Камского водохранилища: р. Кама (пос. Тюлькино) – верхний бьеф Камской ГЭС. Построение модели 3D для всего рассматриваемого участка в настоящее время даже при использовании таких вычислительных средств, как кластер «Уран», не представляется возможным из-за очень больших размеров рассматриваемого участка речной системы.

Расчеты проводили для сценария гидрологического режима прохождения характерных расходов воды летне-осенней межени при поддержании НПГ на уровне 108,5 м в верхнем бьефе Камской ГЭС, а также для сценария пропуска весеннего паводка расходом 3700 м3/с.

Результаты вычислительного моделирования представлены на рис. 2, а, б.

Рис. 2. Интенсивность промывки подводных карьеров в р. Каме

врайоне Соликамско-Березниковского промузла для условий:

а– летней межени; б – при прохождении весеннего паводка. Минерализация воды: синий – менее 0,5 г/л; желтый – 10 г/л; зеленый – переходная зона

341

Таким образом, при скоростях течений, характерных для осеннего периода (см. рис. 2, а), не происходит промывки «линз», образовавшихся в отработанных подводных карьерах. При скоростях потока, характерных для прохождения весеннего паводка (см. рис. 2, б), наблюдается достаточно интенсивная промывка «линз», вынос накопившегося загрязнения. Выполненные численные эксперименты показали, что подводные карьеры, являющиеся неотъемлемой частью крупномасштабной добычи НСМ, в зонах активного техногенеза могут создавать своеобразные аккумуляторы загрязняющих веществ, превращаясь при определенных гидрологических условиях в дополнительный и весьма интенсивный источник загрязнения водного объекта.

Работа проведена при финансовой поддержке гранта Пре-

зидента РФ № МК-4310.2014.1.

Список литературы

1.Методические указания по разработке нормативов допустимого воздействия на водные объекты. Утв. Приказом МПР России от 12.12.2007 № 328 М.

2.Гидродинамическая модель реки Вятки в среднем течении: постановка задачи, результаты расчетов / А.П. Лепихин, Т.П. Любимова, А.А. Тиунов, Д.И. Перепелица // Водное хозяй-

ство России. – 2013. – № 3. – С. 11–33.

3.Численное моделирование разбавления и переноса высокоминерализованных рассолов в турбулентных потоках / Т.П. Любимова, А.П. Лепихин, Я.Н. Паршакова, А.А. Тиунов // Вычислительная механика сплошных сред. – 2010. – № 5. –

С. 68–79.

342

ВЛИЯНИЕ ВРАЩАТЕЛЬНЫХ ВИБРАЦИЙ НА ПРОЦЕСС НАПРАВЛЕННОЙ КРИСТАЛЛИЗАЦИИ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫХ СПЛАВОВ ГЕРМАНИЯ – КРЕМНИЯ

Я.Н. Паршакова1, Т.П. Любимова1,2

(1Институт механики сплошных сред УрО РАН,

Пермь, Россия, parshakova@icmm.ru,

2Пермский государственный национальный исследовательский университет, Пермь, Россия)

Приведены результаты численного исследования течений и тепломассопереноса при направленной кристаллизации высокотемпературных сплавов GeSi под действием вращательных вибраций. Исследовано влияние вращательных вибраций на порог возникновения морфологической неустойчивости системы германий – кремний. Получено, что вращательные вибрации оказывают дестабилизирующее действие. Для исследуемой системы германий – кремний при изменении уровня гравитации наблюдается перестройка режимов течения и тепломассопереноса, сопровождающаяся гистерезисом. Выполненные в рамках работы численные расчеты показали, что вращательные вибрации приводят к исчезновению области неоднозначности.

Ключевые слова: направленная кристаллизация, численное моделирование, германий, вращательные вибрации, устойчивость, гистерезис.

При движении фронта кристаллизации перед ним образуется избыток примеси, не успевающей перейти в кристалл, может возникнуть большой градиент концентрации перед фронтом.

Врезультате температура кристаллизации растет с удалением от фронта. Если скорость движения фронта, а значит, и градиент концентрации достаточно велики, то рост температуры кристаллизации происходит быстрее, чем рост температуры расплава.

Врезультате на небольшом расстоянии от фронта расплав оказывается переохлажденным, и малые возмущения фронта начинают нарастать. Возникает неустойчивость, получившая название морфологической неустойчивости [1]. В работе [2] проведено численное моделирование течений и тепломассопереноса и следова-

343

ние морфологической неустойчивости при выращивании высокотемпературных полупроводниковых расплавов.

Рассмотрим процесс направленной кристаллизации бинарного расплава с помощью вертикального метода Бриджмена (рис. 1). В этом методе расплав и кристалл находятся внутри ампулы, которая медленно вытягивается из печи, так что верхняя часть ампулы занята расплавом, а нижняя – кристаллом, при этом фронт кристаллизации практически неподвижен относительно нагревателя.

В работе [2] при исследовании течений и тепломассопереноса при выращивании кристаллов GeSi вертикальным методом Бриджмена было обнаружено, что при изменении уровня гравитации наблюдается перестройка режимов течения и тепломассопереноса, сопровождающаяся гистерезисными явлениями.

Рис. 1. Геометрия задачи

На рис. 2–3 представлены результаты численного исследования влияния вибраций на эти явления. На рис. 2 приведены бифуркационные диаграммы на плоскости: уровень гравитации – концентрация на оси симметрии для скорости движения ампулы Va = –0,0004 см/с в отсутствие вибраций и при наличии

344

вибраций с двумя разными значениями вибрационного параметра. В отсутствие вибраций в некотором интервале значений g/g0 (вблизи g/g0 = 0,0642) решение неоднозначно. Изолинии функции тока и концентрации примеси в расплаве, соответствующие двум различным устойчивым решениям, реализующимся при g/g0 = 0,0642 в отсутствие вибраций, приведены на рис. 3, а, б. Изолинии функции тока представлены в системе отсчета, связанной с ампулой (поэтому в кристалле скорость не равна нулю). На рис. 3, а положительные и отрицательные значения функции тока изображены через одинаковые интервалы 0,00005 см2/с, на рис. 3, б отрицательные значения функции тока изображены через интервал 0,00004 см2/с, положительные – через 0,0004 см2/с. Имеется также неустойчивая ветвь решений, лежащая между верхней и нижней ветвями устойчивых решений.

Как видно из рис. 2, при наличии вибраций с интенсивностью pv = 0,08 с–1, повышении g/g0, как и в отсутствие вибраций, наблюдается гистерезис, однако ширина области гистерезиса и скачок величины концентрации на оси симметрии при переходе с одной ветви на другую уменьшаются по сравнению со случаем, когда вибрации отсутствуют. При дальнейшем повышении интенсивности вибраций гистерезис исчезает.

Рис. 2. Бифуркационная диаграмма

345

Список литературы

1.Mullin V.V., Sekerka R.F. Stability of a planar interface during solidification of a dilute binary alloy // J. Applied Physics. – 1964. – Vol. 35, iss. 2. – P. 444–451.

2.Lan C.W., Chen F.C. A finite volume method for solute segregation in directional solidification and comparison with a finite element method // Comput. Methods Appl. Mech. Energ. – 1996. – Vol. 131. – P. 191–207.

ПЕРЕМЫЧКА МАГНИТНОЙ ЖИДКОСТИ МЕЖДУ ГОРИЗОНТАЛЬНЫМИ ПЛОСКОСТЯМИ В НЕОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Д.А. Пелевина, В.А. Налетова

(Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова,

Москва, Россия, pelevina.daria@gmail.com)

Теоретически и экспериментально исследована перемычка из магнитной жидкости между горизонтальными плоскостями при наличии цилиндрического ферромагнитного тела в вертикальном однородном магнитном поле.

Ключевые слова: магнитная жидкость, магнитное поле, свободная поверхность жидкости, клапан.

Перемычки и клапаны на основе конечных объемов магнитной жидкости (MF) в неоднородных магнитных полях экспериментально изучены в ряде работ. Статика перемычки между двумя конусами и цилиндром в магнитном поле линейного проводника с током была изучена теоретически в [1]. Теоретическое исследование фиксированного объема MF между горизонтальными пластинами в магнитном поле проводника с током было сделано в [2]. Неоднородное магнитное поле может быть создано при помощи ферромагнитного тела (концентратора) в однородном магнитном поле. В [3] теоретически и экспериментально исследована форма поверхности MF в однородном

347

вертикальном магнитном поле при наличии цилиндрического концентратора. В данной работе теоретически и экспериментально исследована форма поверхности MF между горизонтальными плоскостями при наличии цилиндрического концентратора в вертикальном однородном поле.

Экспериментальная установка. MF и не смешивающаяся сней немагнитная жидкость (NMF) помещаются в прямоугольную кювету из оргстекла (44 мм × 15 мм × 5 мм) и находятся между двумя горизонтальными плоскостями (расстояние между плоскостями d = 12 мм). В центре кюветы вклеена центральная часть ферритового цилиндра R = 4 мм. Ячейка помещается в однородное вертикальное магнитное поле. Однородное поле создается при помощи катушек Гельмгольца. Ток в катушках управляется при помощи виртуального прибора LabView, что позволяет задавать различные зависимости поля от времени. Рассмотрены постоянные и ступенчатые переменные магнитные поля. В исследованиях применялись две MF на водной основе с магнетитовыми частицами наноразмеров. В качестве NMF были рассмотрены трансформаторное и силиконовое масла, не смешивающиеся с MF. Плотности масел меньше плотностей MF.

Эксперимент. MF № 1. Начальная магнитная восприимчивость MF 1 χ0 = 0,011. MF 1 не смачивает стенку, угол смачивания стенки сосуда θb = 132,5°. В качестве NMF использовано трансформаторное масло.

В постоянных магнитных полях в некотором диапазоне полей получены различные устойчивые формы MF 1, состоящие из одного и двух объемов, в том числе перекрывающие зазор между плоскостями (рис. 1).

Рис 1. Форма MF 1 в постоянном поле H∞ = 350 Э

348

В переменных магнитных полях, когда в отсутствии поля

MF 1 разделена на два равных независимых объема, при увеличении магнитного поля MF 1 достаточного объема (V > 1,5 мл) поднимается над цилиндром и перекрывает зазор между плоскостями. При малом объеме (V < 1,5 мл) MF 1 не образует перемычку ни при каком поле. Исследовано образование перемычки в возрастающем поле и ее распад в убывающем поле. Получены скачкообразные изменения формы поверхности MF 1 в переменном магнитном поле. При изменении поля может изменяться количество объемов, из которых состоит MF 1. В экспериментах наблюдается гистерезис формы MF 1. Перемычка в возрастающем поле образуется при одном значении магнитного поля, а разрушается в убывающем поле при другом, меньшем, магнитном поле (рис. 2, а). Гистерезис формы связан с неоднозначностью формы поверхности.

Эксперимент. MF № 2. Начальная магнитная восприимчивость MF 2 χ0 = 0,03. MF 2 меняет угол смачивания в зависимости от процесса: при увеличении поля жидкость не смачивает стенки, при уменьшении – смачивает. Окружающая жидкость – силиконовое масло. В постоянном магнитном поле получены различные устойчивые формы MF 2, состоящие из одного, двух или трех объемов. В переменном магнитном поле для MF 2 по-

лучен гистерезис формы, связанный с неоднозначностью формы жидкости и с гистерезисом угла смачивания (рис. 2, б).

Теория. Теоретически исследована статика фиксированного объема MF 1. Намагниченность МЖ зависит от магнитно-

го поля: Mf = Mmf L (ξ), L (ξ) = cth (ξ) –1/ξ, ξ = mH/kT. Здесь

Mmf – намагниченность насыщения MF, T – температура, k – константа Больцмана, m – магнитный момент ферромагнитной частицы. Намагниченность окружающей среды Ms = 0. Намагниченность тела Mb = χbH, χb = const, χb >>1. В предположении Mb>>Mf, и в безындукционном приближении (H >>4πMf) жидкость не искажает магнитное поле вокруг цилиндра, величина которого вычисляется по формуле: H = ϕ, φ = H∞·r + A H∞·r / r2,

349