Математическое моделирование в естественных науках

В ходе проделанной работы установлено влияние факторов корреляционной обработки (скорость съемки, время испытания, исследуемая область и размер подмножества) при реализации сложных режимов нагружения на экспериментальные данные, полученные при использовании метода КЦИ и Vic-3D.

Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых – кандидатов наук (МК-5172.2015.1), при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 13-08-00304-а, 14-08-31387-мол).

Список литературы

1.Третьякова Т.В., Спаскова Е.М. Экспериментальное исследование напряженно-деформированных состояний квазихрупкого материала с использованием метода корреляции цифровых изображений // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2013. –

№2. – С. 186–198.

2.Третьякова Т.В. Особенности использования программного обеспечения Vic-3D, реализующего метод корреляции цифровых изображений, в приложении к исследованию полей неупругих деформаций // Вычислительная механика сплошных сред. – 2014. – Т. 7, № 2. – С. 162–171.

3.Вильдеман В.Э, Третьякова Т.В, Лобанов Д.С. Методика экспериментального исследования закритического деформирования на образцах специальной усложненной конфигурации с применением метода корреляции цифровых изображений // Вестник Пермского государственного технического университе-

та. Механика. – 2011. – № 4. – С. 15–28.

422

ИНВАРИАНТНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ТЕНЗОРА УПРУГИХ МОДУЛЕЙ В ПОДХОДЕ АТОМАРНОЙ СТАТИКИ

С.С. Стволова, И.Ю. Зубко

(Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, zoubko@list.ru)

Получено инвариантное представление упругих модулей в виде сумм, построенных при использовании различных потенциалов межатомного взаимодействия. Вид потенциалов не конкретизируется, появляющиеся производные выражаются через силы межатомного взаимодействия, что позволяет исследовать возможности потенциалов для описания анизотропии и симметричности упругого отклика кристаллического материала. Также с помощью полученного инвариантного представления анализируется возможность применения потенциалов для исследования упругих свойств материалов с несимметричным тензором напряжений Коши.

Ключевые слова: дискретно-атомистическое моделирование, несимметричная упругость, прогнозирование упругих модулей кристаллов.

Работа посвящена исследованию структуры тензоров напряжений и упругих модулей с помощью потенциала межатомного взаимодействия. В общем виде потенциальная энергия системы атомов [1] представляется как

i=1 j=i+1 k = j+1

где Ri – радиус-вектор, задающий положение i-го атома, M – полное число атомов образца, Φ1(Ri ) – часть потенциальной

энергии атомов, которая не зависит от их взаимодействия, а определяется полем некоторой внешней силы, Φ2 (R j − Ri ) – по-

тенциальная энергия парного взаимодействия или двухчастичный потенциал, Φ3 (R j − Ri ,Rk − Ri ,Rk − R j ) – трехчастичный

423

потенциал взаимодействия атомов. Двухчастичный потенциал межатомного взаимодействия характеризует изменение потенциальной энергии при изменении расстояния между парами атомов. Этот потенциал с помощью некоторой функциональной зависимости описывает, что при сближении два атома начинают отталкиваться, а при удалении притягиваться. Поскольку атомы нельзя сдвинуть бесконечно близко, то в ноле такая функция стремится к бесконечности. При увеличении расстояния между парой атомов эта функция выходит на горизонтальную асимптоту, а сила взаимодействия, модуль которой равен тангенсу угла наклона касательной к графику функции Φ2 (R j − Ri ) стремится

к нулю. Трехчастичный потенциал учитывает не только расстояние между двумя атомами, как в случае двухчастичного потенциала, но влияние конфигурации ближайших атомов. Например, трехчастичный потенциал может использоваться для описания ковалентной связи между соседними атомами в решетке графена или графита [2], находящимися в состоянии sp2-гибридизации. Силы взаимодействия каждого выбранного атома со всеми остальными атомами образца, вычисляемые с помощью двухчастичного потенциала, аддитивны. Для многочастичных потенциалов аддитивности сил взаимодействия нет. В рассматриваемом случае действие внешних сил не рассматривается, поэтому далее Φ1(Ri ) = 0 .

Для определения деформаций системы атомов необходимо задать две ее конфигурации: начальную и текущую. Для исследования механических свойств образца с кристаллической микроструктурой рассматриваются его конфигурации с однородным распределением атомов, каждая из которых характеризуется набором параметров межатомного расстояния (для простых решеток это один параметр, для сложных решеток параметров может быть несколько). Принимается, что отсчетная конфигурация является равновесной и может быть определена из условия минимума потенциальной энергии всего набора взаимодействующих атомов по параметрам решетки. Однородной

424

деформацией кристалла будем называть изменения длин и углов между прямыми линиями, соединяющими атомы, и линиями, описываемые тензором второго ранга, который соответствует однородному аффинору F (или тензору деформационного градиента, хотя для дискретной системы он не равен градиенту ка- кого-либо непрерывного поля), используемому в механике сплошных сред. В текущей конфигурации положение i-го атома задается вектором ri = F Ri (правило Коши–Борна).

Для расчета упругих модулей кристаллических систем в рамках статического подхода [2–4] принимается, что плотность упругой энергии и плотность потенциальной системы взаимодействующих атомов кристалла в текущей конфигурации совпадают. Тогда производные от плотности потенциальной энергии дискретной системы атомов по мерам деформации дадут выражения для вычисления компонент тензоров напряжений (с помощью первых производных) и компонент тензора линейно-упругих

свойств (вторые производные). Пусть Φˆ (F) – потенциальная

энергия однородно-деформированного кристаллического образца в текущей конфигурации. Энергия в отсчетной конфигурации, которая соответствует системе атомов с заданной кристаллической структурой и минимальным значением потенциальной энер-

ο

гии по параметрам решетки, равна Φ = Φˆ (I) . Относя изменение полной потенциальной энергии при деформировании кристалли-

фигурации, будем получать соответствующую плотность энергии деформаций. Она используется для вычисления тензора напряжений Пиолы–Кирхгофа:

Тензор напряжений Коши σ получается с использованием связи

σ = J −1F P1 ,

425

гии в случае учета только двухчастичного взаимодействия, используя для простоты вместо набора векторных аргументов, соединяющих различные пары атомов, обозначение R в отсчетной конфигурации или r в текущей:

В первом случае существует возможность учета направления связи между различными парами атомов, во втором случае учитывается только расстояние между ними. Производная по тензору деформационного градиента F в этих двух случаях приводит к выражениям:

f ( r), который определяется конкретным потенциалом межатомного взаимодействия:

Для двухчастичных потенциалов векторы f ( r) и r коллинеарны, что вызывает симметрию тензора напряжений Коши. Для многочастичного взаимодействия (как в методе погруженного атома) направление силы f ( r) может не совпадать с направлением вектора r, соединяющего атомы, что приведет

кнесимметричности тензора напряжений Коши.

2.Производная Φˆ ′( r ) по скалярному аргументу является скалярной величиной, что приводит к выражению:

426

Следовательно, для тензора напряжений Коши получим

т.е. тензор напряжений Коши будет симметричным для любого потенциала межатомного взаимодействия.

В случае учета только парного межатомного взаимодействия, когда потенциальная энергия представляется в виде

частичный потенциал, получим:

а) Φˆ ′ = iM=1−1 Mj=i+1 ϕ′(rj − ri ) ,

σ= Ωˆ −1 iM=1−1 Mj=i+1(rj − ri )ϕ′(rj − ri ) = Ωˆ −1 iM=1−1 Mj=i+1(rj − ri )f(ij) ,

причем в общем случае из этого представления следует, что

σT ≠ σ;

б) Φˆ ′ = iM=1−1 Mj=i+1 ϕ′( rj − ri ), σ= Ωˆ −1 iM=1−1 Mj=i+1(rj − ri )f(ij) ,

но в этом случае сила f(ij) = ϕ′( rj − ri )(rj − ri )rj − ri парного

межатомного взаимодействия действует по линии, соединяющей атомы, и получаемый тензор напряжений Коши состоит из суммы симметричных диад вида α(ij) (rj − ri )(rj − ri ) , т.е. являет-

ся симметричным σT = σ.

При учете многочастичного взаимодействия в методе погруженного атома потенциальная энергия системы определяется выражением, в котором учтено, что отталкивание всех атомов описывается согласно закону парного взаимодействия, а притяжение описывается нелинейной функцией γ (), задающей влияние окружения произвольного атома (функция погружения). Окружение определяетсямножествомномеров соседних атомов Si:

427

Функции ϕ± (rj − ri ) могут зависеть как только лишь от

расстояний между атомами, так и от расстояний и направлений действия межатомных сил в окрестности выбранного атома. Производная от первого слагаемого даст выражение, аналогичное полученной ранее сумме. Для второго слагаемого при использо-

Тогда тензор напряжений Коши можно представить в виде:

Поскольку вектор f(−ij) не обязательно направлен вдоль вектора r(ij) , то в результате получаемый тензор может быть не-

симметричным.

Для вычисления упругих модулей при малых деформациях необходимо найти производную от тензора напряжений Коши (5):

∂σ∂FT = ∂Ωˆ −1∂FT ( iM=1−1 Mj=i+1(ϕ+ )′ r(ij) −1 r(ij)r(ij ) +

Рассмотрим производные этого выражения по отдельности:

428

где en – ортонормированный базис внешней системы координат. Второе и третье слагаемые содержат следующие производные

+(ϕ+ )′ ((en r(ij) + r(ij)en )R(ij)en ), r(ij)

+(ϕ+ )′ r(ij) −1 ((en r(ij) + r(ij)en )R(ij)en )}+

+Ωˆ −1 iM=1 j Si {γ′′ (r(ij)f(−ij) R(ij)f(−ij) )+

+γ′ (en f(−ij) + r(ij)G(ij) en )R(ij)en }.

429

При условии малости деформаций F → I получим строение тензора линейно-упругих модулей для кристаллического материала в виде выражения:

В общем случае данное выражение не обладает симметрией внутри пар первых и вторых диад, которая возможна только в случае коллинеарности векторов с векторами . В слу-

чае их коллинеарности и тождественной функции погружения γ для метода погруженного атома γ′ = 1, γ′′ = 0 тензор четвертого

ранга (6) становится изотропным.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 14-01-00069,

грант № 15-01-08678).

Список литературы

1.Clayton J. Nonlinear Mechanics of Crystals. – London: Springer, 2011. – 715 p.

2.Зубко И.Ю. Вычисление упругих модулей монослоя графена в несимметричной постановке с помощью энергетиче-

ского подхода // Физическая мезомеханика. – 2015. – Т. 18,

№2. – С. 37–50.

3.Симонов М.В., Зубко И.Ю. Определение равновесных параметров решетки различных ГПУ-монокристаллов с помощью потенциала межатомного взаимодействия Ми // Вестник

430