Математическое моделирование в естественных науках

повреждения, помогают при разработке изделия и выборе материала. Чувствительность к повреждениям, вызванным сосредоточенными поперечными силами, является одной из главных проблем проектирования конструкций.

Для решения вышеописанных проблем существуют методики оценки живучести композиционных материалов, главной задачей которых является оценка способности образца сохранять свои прочностные свойства после ударных нагрузок.

Получение новых данных о поведении образцов из композиционных материалов под воздействием низкоскоростных ударных нагрузок и анализ степени влияния первичного динамического воздействия на остаточные свойства материала являлись главными целями данной работы.

Объектом исследования являлись углепластиковые образ- цы-пластины с последовательной укладкой 15 слоев ориентацией [0/45/0…0] с геометрическими характеристиками 150×100×4 мм.

Для фиксирования кривой сила – перемещения во время удара использовался тензометрический датчик, встроенный в боек электромеханического копра Instron CEAST 9350. [1–2] Удар производился по геометрическому центру образца. Оценка живучести образцов-пластин включает в себя предварительное ударное воздействие и последующее сжатие до полного разрушения образцов. Испытания на сжатие после удара производились на электромеханической системе Instron 5882.

Подготовка образцов заключалась в механической обработке образцов-пластин для снижения трения между поверхностями образца и приспособления.

Оценка влияния первичного динамического воздействия на остаточные прочностные характеристики образцов производилась с различными уровнями потенциальной энергии удара. Все образцы были разделены на 6 групп по 6 образцов: 0–25 Дж с шагом в 5 Дж, масса молота при этом оставалась постоянной 5,01 кг. Сжатие производилось со скоростью 1,25 мм/мин до полного разрушения (рис. 1–2).

541

сийского фонда фундаментальных исследований (проекты № 13-08-00304-а, 13-08-96016-р_урал_а).

Список литературы

1.Экспериментальные исследования свойств материалов при сложных термомеханических воздействиях / В.Э. Вильдеман, М.П. Третьяков, Т.В. Третьякова, Р.В. Бульбович, С.В. Словиков, А.В. Бабушкин, А.В. Ильиных, Д.С. Лобанов, А.В. Ипатова; под ред. В.Э. Вильдемана. – М.: Наука. Физматлит, 2012. – 204 с.

2.Алин И.А, Староверов О.А. Экспериментальное исследование поведения материалов при низкоскоростных ударных воздействиях // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – Пермь: Издво Перм. нац. исслед. политех. ун-та, 2012. – № 2. – С. 204–213.

МЕХАНИКА ОТСЛОЕНИЯ ПОКРЫТИЙ

К.Б. Устинов

(Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН,

Москва, Россия, ustinov@ipmnet.ru)

Рассматриваются модели, описывающие работу покрытий и их разрушение вследствие образования отслоений. Подробно обсуждаются модели, описывающие механическое поведение отслоившихся участков покрытия в терминах теории балок, пластин и оболочек, при этом особое внимание уделяется постановке граничных условий. Рассматривается влияние различия упругих свойств основания и покрытия на процесс отслоения. Рассматривается влияние кривизны поверхности. Обсуждаются методы определения наиболее адекватных граничных условий для пластин, моделирующих отслоения. Обсуждаются феноменологические особенности отслоения покрытий. Приводятся примеры решения конкретных задач квазистатического отслоения покрытий.

Ключевые слова: отслоение покрытия, интерфейсная трещина, потеря устойчивости, скорость высвобождения энергии, коэффициент интенсивности напряжений.

543

Интерес к изучению эффектов, связанных с отслоением покрытий, вызван важностью данной задачи, имеющей приложения в технике на самых разных масштабных уровнях: от многослойной брони до тонких покрытий в оптике, микро- и наноэлектронике, а также в биологии и медицине. Вопросам исследования

имоделирования отслоения покрытий посвящено большое количество экспериментальных и теоретических работ [1–13].

Процесс отслоения происходит путем образования и роста трещин, которые могут проходить как по границе между основанием и покрытием, так и внутри одной из этих фаз. Особое внимание заслуживает исследование интерфейсных трещин. Этот вопрос интересен как с точки зрения описания явления, так

ис позиции математического описания [14].

При наличии контакта упругое решение в общем случае может зависеть от полного набора упругих параметров контактирующих сред. Если два контактирующих тела изотропны, то число независимых упругих параметров – четыре (например, модули Юнга и коэффициенты Пуассона каждого из тел). Однако на один из модулей решение всегда может быть отнормировано, что приводит к зависимости вида распределения полей лишь от трех параметров. Более того, было показано, что характер распределения полей напряжений и деформаций для большого ряда задач, в том числе и для задач об интерфейсных трещинах, определяется лишь двумя комбинациями упругих параметров, называемых параметрами Дундурса [15]. Наличие двух параметров существенно усложняет анализ по сравнению со случаем трещины в однородной изотропной среде, где в плоском случае поле напряжений не зависит от упругих свойств.

Вторым фактором, усложняющим анализ роста интерфейсных трещин, является появление осцилляций полей напряжений и смещений вблизи вершины трещины [14]. Исследованию математических аспектов данного факта и путей преодоления данной «нефизичности» было уделено достаточное внимание. Вместе с тем следует понимать, что наличие осцилляций в решении, рав-

544

но как и наличие бесконечно возрастающих напряжений в решении о трещине в однородной упругой среде, вызвано математической постановкой задачи, в частности, предположениями о линейной упругости для любых напряжений, континуальности на сколь угодно малых масштабах, нулевому радиусу закругления в вершине трещины. В действительности все эти условия выполняются лишь приближенно. Поэтому и полученные решения справедливы лишь для тех масштабов и в той степени, для которых справедливы указанные условия. В общем случае решения линейных упругих задач с особенностями можно рассматривать как внешние асимптотики для внутренних задач, решения последних при этом дадут необходимый критерий разрушения.

При исследовании возможности дальнейшего роста трещин, в особенности интерфейсных, большую роль играет не только амплитуда сингулярности напряжений, но и распределение по модам (коэффициенты интенсивности напряжения КI, KII, KIII), определяемое полем внешних напряжений, геометрией, упругими параметрами. В частности, известно, что с относительным уменьшением первой моды рост трещин замедляется.

При достаточно протяженных отслоениях, когда размеры интерфейсных трещин в плане становятся много больше толщины покрытия, для описания отслоившихся участков становится притягательным использование теории пластин (либо для криволинейных поверхностей, оболочек) [1]. Если основание достаточно жесткое, пластина, моделирующая отслоение, обычно рассматривается как жестко закрепленная [1]. В этом случае достаточно легко получить основные параметры роста отслоения [5]. Более точные решения получены с использованием в качестве граничных условий не жесткой, а простой упругой заделки, когда производная от прогиба в точке заделки пропорциональна действующему моменту [8]. Данное условие применяется при использовании уравнений Бернулли–Эйлера (в двумерном случае) или уравнений Софи-Жермен (в трехмерном) для расчета малых прогибов.

545

В случае более сильного изгиба и учета действия продольных сил обычно применяют теорию изгиба фон Кармана. Для соответствия точности граничных условий точности применяемой модели их следует ставить в форме обобщенной упругой заделки: пропорциональности угла поворота и продольного (вдоль границы отслоения) смещения в точке заделки действующему изгибающему моменту и продольной силе (посредством матрицы коэффициентов 2×2) [4–6].

При наличии кривизны поверхности модель еще более усложняется, поскольку становятся существенными смещения отслоения в точках заделки по нормали: для уравнения изгиба используются уравнения Муштари–Власова, а граничные условия ставятся в виде обобщенной упругой заделки с расширенной матрицей. При этом продольное и поперечное смещения в точке заделки предполагаются зависящими от продольной и поперечной силы и изгибающего момента посредством матрицы 3×3 [7].

Компоненты данных матриц не могут быть рассчитаны, исходя из элементарных соображений. Для их вычисления могут быть использованы метод конечных элементов [6], численные методы решения интегральных уравнений [4], асимптотические аналитические методы [10–13].

При образовании отслоений возникает множество других эффектов, таких как искривление фронта отслоения, вытягивание отслоения в форме вала, его искривление в форме «варикоза». Либо «шеврона» [2–5]. Некоторые из данных явлений были к настоящему времени промоделированы, описание других может являться направлением дальнейших исследований.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фондафундаментальныхисследований (проект №14-01-00855 А).

Список литературы

1. Kachanov L.M. Delamination Buckling of Composite Materials. – Kluwer.1988. – 95 p.

546

2.Hutchinson J.W. Delamination of compressed films on curved substrates // J. Mech. Phys. Solids. – 2001. – Vol. 50. – P. 1847–1864.

3.Buckling delamination in compressed multilayers on curved substrates with accompanying ridge cracks / S. Faulhaber, C. Mercer, M.-Y. Moon, J.W. Hutchinson, A.G. Evans // J. Mech. Phys. Solids. – 2006. – Vol. 54. – P. 1004–1028.

4.Yu H.-H., Hutchinson J.W. Influence of substrate compliance on buckling delamination of thin films // Int. J. Fract. – 2002. – Vol. 113. – P. 39–55.

5.Hutchinson J.W., Suo Z. Mixed mode cracking in layered materials // Advan. Appl. Mech. – 1992. – Vol. 29. – P. 63–191.

6.Cotterell B., Chen Z. Buckling and cracking of thin film on compliant substrates under compression // Int. J. Fracture. – 2000. – Vol. 104. – № 2. – P. 169–179

7.Ustinov K.B. On influence of substrate compliance on delamination and buckling of coatings // Engineering Failure Analysis. – 2015. – Vol. 48B. – P. 338–344. DOI: 10.1016/j.engfailanal. 2013.09.022.

8.Гольдштейн Р.В., Устинов К.Б., Ченцов А.В. Оценка влияния податливости подложки на напряжения потери устойчивости отслоившегося покрытия // Вычислительная механика сплошных сред. – 2011. – Т. 4, № 3. – С. 48–57.

9.Устинов К.Б., Каспарова Е.А. Оценка влияния кривизны и податливости основания на параметры отслоения покрытия // Деформация и разрушение материалов. – № 3. – 2015. – С. 28–35.

10.Салганик Р.Л., Устинов К.Б. Задача об упругозаделанной пластине, моделирующей частично отслоившееся от подложки покрытие (плоская деформация) // Известия РАН. МТТ. – 2012. – № 4. – С. 50–62.

11.Устинов К.Б. Еще раз к задаче о полуплоскости, ослабленной полубесконечной трещиной, параллельной границе Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2013. – № 4. – С. 138–168.

547

12.Устинов К.Б. О сдвиговом отслоении тонкой полосы от полуплоскости // ИзвестияРАН. МТТ. – 2014. – № 6. – С. 141–152.

13.Устинов К.Б. Об отслоении слоя от полуплоскости; условия упругой заделки для пластины, эквивалентной слою //

Известия РАН. МТТ. – 2015. – № 1. – С. 75–95.

14.Malyshev B.M., Salganik R.L. The strength of adhesive joints using the theory of crack // Int. J. Fract. Mech. – 1965. – Vol. 1,

№2. – C. 114–128.

15.Дундурс Дж., Комниноу М. Обзор и перспектива исследования межфазной трещины // Механика композиционных материалов. – 1979. – № 3. – С. 387–396.

ПОСТРОЕНИЕ ПОРОУПРУГОЙ КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОЙ МОДЕЛИ МЕЖПОЗВОНОЧНОГО ДИСКА В ПОЯСНИЧНОМ ОТДЕЛЕ

Д.В. Хорошев

(Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, horosh-den@mail.ru)

Приведены исследования свойств, состава и питания межпозвоночного диска на основе анализа литературных источников. Построена конечно-элементная модель межпозвоночного диска L4-L5 в поясничном отделе. Проведена постановка задачи на основе пороупругой модели теории Био. Приведен анализ данных по расчету напряженно-деформирован- ногосостояниясиспользованиемпрограммного пакетаAnsys.

Ключевые слова: межпозвоночный диск, пороупругая модель, поясничный отдел.

Как показывает врачебная практика, более половины населения периодически испытывают боли в спине и около 80 % из них приходятся на поясничный отдел. Эта боль может возникать независимо от возраста человека. Почти в половине случаев боль в поясничном отделе связана с протрузией межпозвоночного диска L4-L5.

548

В работе рассматривается построение пороупругой ко- нечно-элементной модели межпозвоночного диска в поясничном отделе в сагиттальной плоскости. Материал считается изотропным. Задача решается как пороупругая задача теории упругости (рисунок).

Рис. Расчетная схема

Рассматривается напряженно-деформированное состояние межпозвоночного диска L4-L5. Предполагается, что верхняя поверхность замыкательной пластинки на позвонке L5 лежит горизонтально. Угол наклона всего сегмента относительно горизонтали не учитывается. Влияние связок на межпозвоночный диск учитывается с помощью внутридискового давления. Позвонок L5 представлен закрепленным в жесткой заделке. На верхнюю часть позвонка L4 действует распределенная нагрузка P2 = 166,5 кН/м, что соответствует нагрузке в 200 кг.

Проведено решение поставленной задачи с использованием программного пакета Ansys. Получены распределения перемещений, напряжений и деформаций. Проведено сравнение полученных результатов с известными фактическими данными.

549

Список литературы

1.Жарнов А.М., Жарнова О.А. Биомеханические процессы

вмежпозвонковом диске шейного отдела позвоночника при его движении // Российский журнал биомеханики. – 2013. – Т. 17. –

С. 32–40.

2.Тверье В.М., Миленин А.С. Биомеханика моделирования диска височно-нижнечелюстного сустава как пороупругого тела // Российский журнал биомеханики. – 2014. – Т. 18. – С. 294–310.

3.Jamie R.W., Raghu N.N., Gunnar B.J. Inclusion of regional poroelastic material properties better predicts biomechanical behavior of lumbar discs subjected to dynamic loading // Journal of Biomechanics. – 2007. – Vol. 40. – C. 1981–1987.

4.Jeanne M.S. Encyclopaedia of Occupational Health and Safety: The body, health care, management and policy, tools and approaches. – 4-th ed. – Geneva.: International Labour Organization, 1998. – Vol. 1. – C. 6.6–6.10.

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОУПРУГИХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ В СОЕДИНИТЕЛЬНОМ КАНАЛЕ МОДЕЛЬНОГО ДВУХСТУПЕНЧАТОГО ЦЕНТРОБЕЖНОГО НАСОСА

П.В. Писарев, В.Я. Модорский

(Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, pisarev85@live.ru)

В рамках работы проведены численные эксперименты в связанной постановке по моделированию потока в соединительном канале с различной толщиной стенок, а также с учетом прилегающих свободных объемов. Построены зависимости максимальных напряжений в стенках соединительного канала от их толщины. В рамках вычислительных экспериментов рассматривались расчетные варианты при угле сдвига фаз φ = 0, π/2, π, 2π/3.

Ключевые слова: двухступенчатые центробежные насосы ТНА, гидроупругость, численное моделирование, связанные задачи, соединительныйканал, колебательные процессы, влияниеугласдвигафаз φнаНДС.

550