Математическое моделирование в естественных науках

Данная задача может рассматриваться как обратная по отношению к задаче преобразования системы координат.

В работе предлагается подход, позволяющий уменьшить набор параметров минимизации в задаче (1) до трех ( α, β, γ ) за

счет усложнения вида целевой функции. Суть данного приема состоит в построении гильбертова подпространства тензоров с заданными симметрийными свойствами, на которое проецируется аппроксимируемый тензор П.

Для этого вводится операция полного скалярного умножения тензоров « » действующая по следующему правилу (здесь и далее по повторяющимся индексам ведется суммирование):

A B = Aijkleie jekel Bmnpqemenepeq =

= Aijkl Bmnpq (ei em )(e j en )(ek ep )(el eq ) = Aijkl Bijkl , A,B 34 ,

где ei – базисные векторы трехмерного евклидового пространства 3 , 34 – пространство тензоров четвертого ранга над 3 . Относительно данной операции пространство 34 является гиль-

бертовым.

Далее рассматривается множество {Π aS } независимых уп-

ругих модулей, через которые линейно выражаются все компоненты тензора ΠS , и определяется соответствующий набор {HaS } тензор-значных коэффициентов, стоящих перед данными

модулями в полиадном разложении указанного тензора. Структура тензоров HaS получена в работе для всех перечисленных выше классов симметрии.

Линейная оболочка span{HaS } = {caHaS 34 | ca } образует(гильбертово) подпространствов 34 . Дляпроизвольноготензора Π 34 существует тензор ΠS span{HaS } (наилучшего приближе-

321

ния), минимизирующий норму ΠS − Π = (ΠS − Π) (ΠS − Π)

(для упрощения записи сохраняется обозначение нормы, соответствующее предыдущей задаче), независимые упругие модули ΠaS

которого удовлетворяют системе линейных алгебраических уравнений HaS HbS ΠaS = Π HbS [4]. Это позволяет переформулировать

задачу(1) следующимобразом:

При соответствующем выборе нормы задача (1) оказывается эквивалентной задаче (2).

Процедуры идентификации, основанные на решении задач

(1) и (2), были применены к исследованию симметрийных свойств тензоров упругих констант неупруго-деформированных поликристаллов, полученных с помощью двухуровневых моделей, основанных на физических теориях упруговязкопластичности [5]. Для различных случаев напряженно-деформированного состояния были определены степени несоответствия тензора упругих констант представительного объема поликристалла каждому из классов симметрии.

В работе также уделяется внимание возможности расширения принятой классификации симметрии свойств за счет включения в рассмотрение спектральных характеристик тензоров упругих констант. В этой связи формулируется задача о спектральном разложении тензора четвертого ранга, ставится задача определения собственных чисел и элементов тензоров упругих констант, соответствующих известным классам симметрии. В результате ее решения было показано, что тензор упругих констант П, компоненты которого удовлетворяют ус-

322

ловиям индексной симметрии Πijkl = Πijlk = Πklij , является алгебраически обратимым только для симметричных мер напря- женно-деформированного состояния. Спектральные задачи в аналогичных постановках рассматривались в работах [6, 7].

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 13-01- 96006 р_урал_а, 14-01-00069-а).

Список литературы

1.Трусов П.В., Келлер И.Э. Теория определяющих соотношений: Курс лекций Ч. 1. Общая теория. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2006. – 173 с.

2.Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. – М.: Мир, 1975. – 592 c.

3.Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного те-

ла. – М.: Наука, 1977. – 416 с.

4.Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – М.:

Наука, 1987.

5.Многоуровневые модели неупругого деформирования материалов и их применение для описания эволюции внутренней структуры / П.В. Трусов, А.И. Швейкин, Е.С. Нечаева,

П.С. Волегов // Физическая мезомеханика. – Томск, 2012. –

Т. 15, № 1. – С. 33–56.

6.Рыхлевский Я. О законе Гука // Прикл. математика

имеханика. – 1984. – Т. 48, № 3. – С. 420–435.

7.Рыхлевский Я. Математическая структура упругих тел. – М.: Изд-во Ин-та проблем механики АН СССР, 1983. – 113 с. – Препринт. № 217.

323

МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДОВ АТОМАРНОЙ СТАТИКИ ДЛЯ КОНТРОЛЯ ТЕМПЕРАТУРЫ

ПРИ ДИСКРЕТНО-АТОМИСТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ

К.В. Остапович1, И.Ю. Зубко2

(Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, 1ostkirvad@gmail.com, 2zoubko@list.ru)

микроструктурой. С помощью данного подхода исследуются объемные и поверхностные термоупругие свойства монокристаллов с идеальными гранецентрированными и объемно-центрированными кубическими решетками. Строятся зависимости упругих свойств от температуры. Оцениваются значения температур, соответствующие возможным полиморфным превращениям и фазовым переходам в монокристаллах.

Ключевые слова: метод атомарной статики, температура, дискретно-атомистический подход, термоупругость, кристаллы конечных размеров, поверхностные свойства твердых тел.

При исследовании термомеханических свойств тел малых размеров (наночастиц) широкое распространение получили методы дискретно-атомистического моделирования, в частности метод молекулярной динамики (МД) [1–3], основанный на численном интегрировании уравнений движения взаимодействующих частиц исследуемой системы. К преимуществам МД следует отнести возможность непосредственного вычисления температуры системы, к недостаткам – ресурсоемкость проведения расчетов на временных интервалах, достаточных для статистического осреднения вычисляемых свойств.

В настоящей работе развивается модификация [4] статических методов [5–6] дискретно-атомистического моделирования, позволяющая задавать температуру системы. Идея предлагаемого приема состоит в наложении на исследуемую систему случайных смещений (возмущений их положений в пространстве) с определенным законом распределения вероятностей.

324

При этом осреднение равновесных свойств на временном интервале заменяется статистическим осреднением по независимой повторной выборке возмущенных конфигураций анало-

гично [7–8].

С применением данного подхода в работе определяются объемные и поверхностные термоупругие свойства идеальных монокристаллов с гранецентрированными (ГЦК) и объемноцентрированными (ОЦК) кубическими решетками. В качестве объектов исследования выступают кубические образцы с дополнительными, присоединенными со стороны одной из граней, монослоями атомов, составляющими поверхностный слой. При моделировании учитываются парные центральные межатомные взаимодействия, описываемые потенциалом Леннард– Джонса [1–3]:

ϕ(r) = β (αr)12 − 2(αr)6 ,

где r – расстояние между взаимодействующими частицами; α и β – материальные параметры. Из условия минимума полной

потенциальной энергии вычисляются равновесные межатомные расстояния генерируемых образцов, на основе которых определяются размеры их представительных объемов (ПО). Для указанных объемов вычисляются упругие константы и исследуется их зависимость от температуры. При задании температуры направления тепловых смещений атомов генерируются по равномерному закону распределения, а величины смещений – по закону, справедливому длягармонического приближения системы:

325

Здесь A – амплитуда тепловых колебаний, связанная с температурой θ соотношением θ = γA2 . Параметр γ предполагается

зависящим от конкретноготипарассматриваемогоматериала.

В ходе численного исследования были найдены зависимости объемных (рис. 1) и поверхностных (рис. 2) упругих свойств ПО монокристаллов от температуры. Оценены значения температуры (точки пересечения кривых на рис. 1), соответствующие полиморфным превращениям ГЦК–ОЦК (рис. 1, а) и фазовым переходам твердая фаза–расплав (рис. 1, б, в). Получено, что при температурах, близких к температуре плавления, для поверхностного слоя имеет место частичное сохранение упругих свойств (рис. 2, б, в).

Рис. 1. Зависимость объемных механических свойств от амплитуды колебаний атомов: а – удельная энергия;

б – упругие модули ГЦК-решетки; в – модули ОЦК-решетки

Рис. 2. Зависимость поверхностных механических свойств от амплитуды колебаний атомов: а – удельная энергия; б – упругие модули ГЦК-решетки; в – модули ОЦК-решетки

326

Исследование проведено в рамках задания № 2014/152 на выполнение государственных работ в сфере научной деятельности в рамках базовой части госзадания Минобрнауки РФ (код проекта 1911).

Список литературы

1.Кривцов А.М. Деформирование и разрушение твердых тел с микроструктурой. – М.: Физматлит, 2007. – 304 с.

2.Метод молекулярной динамики в физической химии / под ред. Ю.К. Товбина. – М.: Наука, 1996. – 334 с.

3.Israilishvili J.N. Intermolecular and surface forces. – Academic Press: Harcourt Brace and Company, 1998. – 450 p.

4.Зубко И.Ю., Остапович К.В. Метод контроля температуры при исследовании упругих свойств материалов с кристаллической микроструктурой в статическом подходе при дискретноатомистическом моделировании // Известия Самар. науч. центра РАН. – 2014. – Т. 16, № 4–3. – С. 563–567.

5.Зубко И.Ю., Трусов П.В. Определение упругих постоянных ГЦК-монокристаллов с помощью потенциала межатомного взаимодействия // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2011. – № 1. – С. 147–169.

6.Вывод упругого закона монокристаллов металлов из потенциала межатомного взаимодействия / И.Ю. Зубко, О.В. Мелентьева, В.П. Морозова, В.И. Кочуров // Вестник Нижегород. ун-та им. Н.И. Лобачевского. – 2011. – №4, ч. 5. – С. 2181–2183.

7.Зубко И.Ю. Атомистический подход к определению зависимости от температуры потенциальной энергии и равновесных межатомных расстояний для монокристаллических образцов с ГПУ-решеткой // Известия Самар. науч. центра РАН. – 2012. – Т. 14, № 4 (5). – C. 1403–1409.

8.Зубко И.Ю., Кочуров В.И. Определение точки фазового перехода в материалах с кубической решеткой с помощью атомистического подхода // Вестник УГАТУ. – Уфа, 2013. – Т. 17,

№5 (58). – С. 237–244.

327

ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ГТД НА ОСНОВЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПОЛЕТНОГО ЦИКЛА САМОЛЕТА И ЕЕ ЦЕЛЕСООБРАЗНОСТЬ

Я.А. Остапюк1, Е.П. Филинов2

(Самарский государственный аэрокосмический университет им. академика С.П. Королева (национальный исследовательский университет), Самара, Россия, 1oya92@mail.ru, 2filinov.evg@gmail.com)

Рассмотрена модель оптимизации параметров рабочего процесса ГТД на основе моделирования полетного цикла самолета. Для оценки целесообразности учета полетного цикла было проведено две серии расчетов для дальностей полета от 3000 до 9000 км. В качестве само- лета-прототипа выбран дальнемагистральный Ил-96.

Ключевые слова: двигатель турбореактивный двухконтурный, самолет широкофюзеляжный, оптимизация, рабочий процесс, полетный цикл.

В настоящее время роль оптимизации параметров ГТД на основе критериев эффективности ЛА возрастает, так как, с одной стороны, устанавливаются более глубокие количественные зависимости и связи между различными характеристиками и параметрами силовой установки и планера, а с другой стороны, появляется возможность формулировать более обоснованные требования к системе «летательный аппарат – силовая установка» и находить оптимальные решения, используя возможности современных ЭВМ.

В качестве критериев эффективности ЛА обычно используются экономические и летно-технические, такие как: коммерческая нагрузка, суммарная масса СУ и топлива, удельные затраты топлива и др.

Вследствие этого возникает необходимость в проведении оптимизации на основе моделирования основных этапов полета, позволяющих более точно оценить значения критериев эффективности ЛА [1].

Для проведения оптимизации с учетом полетного цикла в CAE-системе «АСТРА» была создана модель, состоящая из

328

четырех основных блоков: завязка двигателя, моделирование полетного цикла (ПЦ), расчет массовых характеристик ЛА и показателей его эффективности [2]. Информационная модель представлена на рисунке. В блоке завязки двигателя рассчитываются взлетный, крейсерский и номинальный режимы работы двигателя.

В качестве расчетного принимается крейсерский режим работы двигателя, рассчитываемый с помощью модели проектируемого двигателя, а с использованием модели выполненного двигателя определены основные данные ТРДД на взлетном

иноминальном режимах при соответствующих значениях тяги.

Вблоке моделирования полетного цикла с помощью методов численного интегрирования рассчитываются участки набора высоты и крейсерского полета, а также затраты топлива

ивремени на этапах взлета, снижения и посадки.

Данная модель была апробирована на примере оптимизации параметров рабочего процесса ТРДД для двухдвигательного широкофюзеляжного самолета.

Однако модель данной оптимизации значительно сложнее, чем модель оптимизации без учета полетного цикла, что также сказывается на времени формирования модели и на времени расчета. Следовательно, учитывать основные этапы полетного цикла (ПЦ) не всегда целесообразно.

Для определения целесообразности учета ПЦ было проведено две серии расчетов параметров рабочего процесса ТРДД с тягой 350 кН для двухдвигательного самолета при различных дальностях полета. В качестве самолета-прототипа был выбран широкофюзеляжный дальнемагистральный самолет Ил-96. В качестве критерия эффективности ЛА в обоих сериях расчетов выбраны удельные затраты топлива Ст.км.

Первая серия расчетов параметров рабочего процесса ТРДД проводилась в CAE-системе «АСТРА» без учета ПЦ для дальностей 3000, 5000, 7000 и 9000 км. Используемая для расчета модель состояла из двух блоков: завязка, включающая блок

329