Математическое моделирование в естественных науках

дание остаточных напряжений, улучшающих эксплуатационные характеристики деталей и механизмов (обдувка дробью, обкатка валиками и пр.) [2].

Одной из наиболее типичных физических причин образования остаточных напряжений является пластическая деформация [3], точнее – несовместность пластических деформаций различно ориентированных зерен поликристалла.

Процессы неупругого деформирования и свойства поликристаллических материалов на макроуровне, как показывают многочисленные экспериментальные и теоретические исследования, существенным образом определяются состоянием эволюционирующей мезо- и микроструктуры материала. Под эволюцией мезоструктуры здесь понимаются процессы разворотов кристаллических решеток зерен или фрагментов зерен, а также их фрагментация и дробление. Под эволюцией микроструктуры в первую очередь понимаются изменения в дефектной структуре материала на микроуровне (уровне дислокационных субструктур, конгломератов точечных дефектов, границ зерен и т.д.) [4].

Существует большое количество теорий, предназначенных для описания деформирования металлов, наиболее известными являются математические макрофеноменологические теории, которые основаны на предсказании поведения материала исходя из предыстории деформирования; такие теории используют «тяжелые» операторные уравнения, в которых можно потерять физический смысл входящих переменных. Однако существует класс теорий, позволяющий путем внедрения внутренних переменных значительно упростить математические выражения, входящие в модель, разделить объект моделирования на несколько масштабных уровней, непосредственно описать механизмы деформирования. С этой точки зрения наиболее подходящим вариантом для описания деформирования представляются физические теории пластичности.

311

Для исследования остаточных мезонапряжений была использована двухуровневая модель деформирования ГЦК-поли- кристалла. Модели такого типа подробно описаны в литературе [5]. Такие модели позволяют исследовать остаточные напряжения на уровне каждого из кристаллитов, составляющих исследуемый представительный объем.

При построении модели, пригодной для оценки остаточных мезонапряжений, принципиально важной является реализация упругой разгрузки, которой предшествует процесс неупругого деформирования. С алгоритмической точки зрения процесс разгрузки характеризуется выполнением следующего условия на каждом шаге моделирования [6]:

где П – тензор упругих констант макроуровня; D, Din – тензор деформации скорости и его неупругая составляющая соответственно; Σ – тензор напряжений макроуровня; λ – характерная скорость разгрузки. Процесс разгрузки необходимо продолжать до тех пор, пока интенсивность Σ не станет равной нулю. В таком случае можно говорить о том, что напряжения внутри представительного объема уравновешены, что позволяет называть их остаточными мезонапряжениями.

В рамках работы были проведены численные эксперименты, в результате которых появляется возможность исследовать распределения остаточных мезонапряжений по кристаллитам, характерные ориентации зерен, а также оценивать численные параметры исследуемых объектов.

Из проведенных в работе исследований можно сделать вывод о том, что при деформировании представительного объема поликристалла в его зернах возникают значительные остаточные мезонапряжения, способные оказать существенное влияние на его дальнейшее поведение.

312

Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ № МК-4917.2015.1, гранта Российского фонда фундаментальных исследований № 14-01-96008 р_урал_а.

Список литературы

1.Давиденков Н.Н. Избранные труды: в 2 т. Т. 1. Динамическая прочность и хрупкость металлов. – Киев: Наук. думка. 1981. – 704 с.

2.Биргер И.А. Остаточные напряжения. – М.: Гос. науч.- техн. изд-во машиностроит. лит-ры, 1963. – 233 с.

3.Поздеев А.А., Няшин Ю.И., Трусов П.В. Остаточные напряжения: теория и приложения. – М.: Наука, 1982. – 109 с.

4.Трусов П.В., Волегов П.С., Кондратьев Н.С. Физические теории пластичности: учеб. пособие. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2013. – 244 с.

5.Ашихмин В.Н., Волегов П.С., Трусов П.В. Конститу-

тивные соотношения с внутренними переменными: общая структура и приложение к текстурообразованию в поликристаллах // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2006. –

№14. – С. 11–26.

6.Волегов П.С., Трусов П.В., Янц А.Ю. Остаточные мезонапряжения в двухуровневых физических теориях пластичности поликристаллов // Вестник Тамбов. ун-та. Сер.: Естественные и технические науки. – 2013. – Т. 18, № 4–2. – С. 1623–1624.

313

ОПИСАНИЕ ЗЕРНОГРАНИЧНОГО УПРОЧНЕНИЯ В ОЦК-ПОЛИКРИСТАЛЛАХ

В.С. Озерных, П.С. Волегов

(Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, ozernykh@yandex.ru)

Рассматривается явление зернограничного упрочнения при переходе дислокации из одного зерна поликристалла в другое, с помощью двухуровневой математической модели деформирования поликристалла с объемно-центрированной кубической (ОЦК) решеткой. В качестве определяющих соотношений на мезо- и макроуровне используется закон Гука в скоростной релаксационной форме. В работе изучаются процессы, происходящие на границах зерен при деформировании. Исследован процесс перехода дислокации из одного зерна в другое, описано явление зернограничного упрочнения при малоугловых разориентациях соседних кристаллитов. Анализируются полученные зависимости интенсивности напряжений от интенсивности деформаций.

Ключевые слова: физические теории пластичности, упрочнение, границы зерен, деформирование, поликристалл.

Прочность является одним из наиболее важных свойств материала: чем прочнее материал, тем при более высоких нагрузках его можно использовать. Повысить прочность можно путем увеличения предела текучести материала, например при финишной обработке при изготовлении. Под упрочнением на макроуровне обычно понимается явление повышения предела текучести материала.

Физические причины, приводящие к упрочнению, весьма разнообразны: упрочнение связывают с взаимодействием дислокаций между собой, со скоплениями дислокаций [1]. Также существенное влияние на упрочнение оказывает наличие границ зерен в поликристаллическом агрегате. В связи с этим возникает необходимость физически корректного описания различных эффектов, связанных со взаимодействием дислокаций, в первую

314

очередь таким мощным источником увеличения критических напряжений сдвига дислокаций как границы зерен.

Изменение физико-механических свойств образца в процессах обработки металлов является следствием существенной перестройки микро- и мезоструктуры материала. Описывать такие процессы невозможно без изучения и создания соответствующих математических моделей, в явном виде учитывающих физические механизмы эволюции микроструктуры материала при интенсивных деформациях [2].

Вработе используется двухуровневая математическая модель поликристалла, в которой элемент макроуровня представляет собой представительный объем поликристалла, состоящий из элементов мезоуровня – отдельных монокристаллических зерен с ОЦК-решеткой.

Вкачестве определяющих соотношений на мезо- и макроуровне используется закон Гука в скоростной релаксационной форме [3]. Совокупность математических соотношений для модели макроуровня выглядит следующим образом:

где Σ – тензор напряжений Коши; П – тензор модулей упругости; D, Din – тензор деформации скорости, его упругая и неупругая составляющая; o – тензор ориентации; π(i) ,din(i) ,ω(i) – тен-

зоры модулей упругости, напряжений, неупругой составляющей деформации скорости и спина i-го кристаллита.

Элемент мезоуровня (отдельно взятый кристаллит) характеризуется начальными критическими напряжениями по всем системам скольжения, упругими параметрами, парамет-

315

рами упруговязкопластического закона. Основным механизмом неупругих деформаций на мезоуровне считаются сдвиги дислокаций по кристаллографическим системам скольжения при достижении в последних критических касательных напряжений.

Совокупность математических соотношений для модели мезоуровня записывается следующим образом:

где σ – тензор напряжений Коши; π – тензор четвертого ранга упругих свойств кристаллита; d, de , din , ω – тензор деформации скорости, его упругая и неупругая составляющие на мезоуровне и тензор спина КСК; γ(i) , τ(ci) – накопленный сдвиг и критическое напряжение сдвига по i-й системе скольжения; γ0 и m – параметры вязкоупругого закона: γ0 – характерная скорость сдви-

гов при равенстве касательных напряжений на СС критическим напряжениям, m – константа скоростной чувствительности материала; H – функция Хэвисайда. Индекс r означает независящую от выбора системы отсчета производную [2].

При благоприятной разориентировке зерен дислокации проходят через границу; при этом в границе остается дислокация ориентационного несоответствия (ДОН), вектор Бюргерса

316

которой равен разности векторов вошедшей в границу из данного зерна дислокации и вышедшей из границы в соседнее зерно. ДОНы создают поля напряжений, препятствующие дальнейшему движению дислокаций в данной системе скольжения [2]. Чем больше дислокаций прошло через границу, тем более высокие поля напряжений создаются ДОНами на этой границе. Увеличение напряжения, необходимого для движения дислокации в направлении границы зерна, приводит к возникновению явления зернограничного упрочнения. Выражение для скорости увеличения критических напряжений сдвига дислокаций можно записать следующим образом:

где V – объем зерна; S – площадь соприкосновения соседнего зерна с данным; ξ( j) – мера разориентации текущего и соседнего

кристаллита. Меру разориентации определим следующим обра-

зом [4, 5]:

где N – внешняя нормаль к границе; b(i) , b( j) – векторы Бюр-

герса переходящих дислокаций из систем скольжения текущего и соседнего зерна. Мера разориентации учитывает геометрические особенности взаимного расположения систем скольжения соседних зерен.

В работе исследуется явление зернограничного упрочнения в бикристалле (образец, состоящий из двух монокристаллов) и поликристалле. Все зерна представляются в форме кубов, ориентация каждого плоского участка границы задается случайным образом. Рассматриваются малоугловые границы наклона (угол разориентации менее 15°), поскольку их свойст-

317

ва и структура являются функцией угла разориентации. Получены графики зависимости интенсивности напряжений от интенсивности деформаций для бикристалла и поликристалла из

1000 зерен.

Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ № МК-4917.2015.1, гранта Российского фонда фундаментальных исследований № 14-01-96008 р_урал_а.

Список литературы

1.Трусов П.В., Волегов П.С. Определяющие соотношения

свнутренними переменными, их применение для описания упрочнения в монокристаллах // Физическая мезомеханика. – 2009. – Т. 12, № 5. – С. 65–72.

2.Трусов П.В., Волегов П.С., Кондратьев Н.С. Физические теории пластичности: учеб. пособие. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2013. – 244 с.

3.Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности: приложение к описанию упрочнения в поликристаллах // Вестник Тамбов. ун-та. Сер.: Естественные и технические нау-

ки. – 2010. – Т. 15, № 3–1. – С. 983–984.

4.Трусов П.В., Волегов П.С., Янц А.Ю. Описание внутризеренного и зернограничного упрочнения моно- и поликристаллов // Науч.-техн. ведомости С.-Петерб. гос. политехн. ун-та.

Физ.-мат. науки. – 2010. – Т. 2, № 98. – С. 110–119.

5.Волегов П.С., Никитюк А.С., Янц А.Ю. Геометрия поверхности текучести и законы упрочнения в физических теориях пластичности // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2009. –

Т. 17. – С. 25–33.

318

ОБ ИДЕНТИФИКАЦИИ СИММЕТРИЙНЫХ СВОЙСТВ УПРУГИХ МАТЕРИАЛОВ

К.В. Остапович, П.В. Трусов

(Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, ostkirvad@gmail.com, tpv@matmod.pstu.ac.ru)

Рассматривается проблема определения упругих характеристик анизотропных материалов с априори неизвестной симметрией. Ставится задача симметрийной идентификации упругих свойств в качестве обратной задачи преобразования систем координат. С применением двухуровневых моделей, основанных на физических теориях упруговязкопластичности, в известных классах симметрии идентифицируются упругие свойства представительных макрообъемов неупруго деформируемых поликристаллов. В работе также исследуются вопросы, связанные со спектральным представлением тензоров упругих констант.

Ключевые слова: анизотропия, поликристалл, собственные модули упругости.

Многие используемые в современных конструкциях материалы характеризуются существенной анизотропией упругих свойств. При этом симметрийные свойства материалов деталей и конструкций, подвергаемых различной предварительной обработке, как правило, априори неизвестны. Информация о наличии этих свойств имеет важное практическое значении при их дальнейшей эксплуатации. Знание типа симметрии позволяет упростить вид определяющих соотношений при моделировании различных физико-механических процессов, что положительно влияет на производительность численной реализации модели. Таким образом, существует проблема идентификации симметрийных свойств материалов.

Объектом настоящего исследования является представительный макрообъем поликристалла [1]. Исследуемый материал полагается простым [2], деформируемым упруго по линейному закону. Целью работы является построение процедуры опреде-

319

ления упругих характеристик представительного объема макроуровня, при этом особое внимание уделяется установлению симметрийных свойств материала.

В работе рассматривается следующая задача идентификации симметрии упругих свойств. В лабораторной системе координат (с ортонормированными базисными векторами) полага-

к какому из известных классов симметрии данный материал может быть отнесен или приближен наилучшим образом.

Принимается симметрийная классификация, основанная на выделении ортотропии, кубической симметрии, трансверсальной изотропии и изотропии [3]. Для каждого из перечисленных случаев оказывается возможным построение ортонормированного базиса, в котором дистрибутив компонент ΠijklS соответствующего тензора ΠS упругих констант имеет

вполне определенный вид (S – идентификатор класса симметрии). Ориентация данного базиса относительно лабораторной системы координат задается с помощью трех независимых параметров α, β, γ . Наилучшее приближение тензора П

к симметрийному классу S предполагает определение значений независимых упругих констант и параметров ориен-

таций α, β, γ, доставляющих минимум некоторой тензорной норме ΠS − Π . Другими словами, для симметрийной иден-

тификации упругих свойств в каждом классе S необходимо решить задачу минимизации функционала невязки:

Найти ΠijklS ,α, β, γ :

2 (1) ΠS − Π (ΠijklS ,α, β, γ ) → min.

320