Математическое моделирование в естественных науках

Список литературы

1.Bagley R.L., Torvik P.J. A theorical basis for the application of fractional calculus to viscoelasticity // J. Rheol. – 1983. – Vol. 27, № 3. – P. 201–210.

2.Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Equations // North-Holland Mathematics Studies. – Amsterdam: Elsevier, 2006. – Vol. 204. – 523 p.

3.Uchaikin V.V. Fractional derivatives for physicists and engineers // Nonlinear Physical Science. – Berlin: Springer, 2013.

4.Сергеева Е.М. Об одной математической модели деформируемого твердого тела с памятью // МНСК-2015: Математика: материалы 53-й Междунар. науч. студ. конф. – Новосибирск: Изд-во Новосиб. гос. ун-та, 2015. – С. 94.

5.Сергеева Е.М., Огородников Е.Н. Об одном дробном аналоге реологической модели Фойхта на основе производной неопределенного порядка // Математическая физика и ее приложения: материалы 4-й Междунар. конф. – Самара: Изд-во Самар.

гос. техн. ун-та, 2014. – С. 324–325.

6.Сергеева Е.М. О дробных аналогах реологических мо-

делей Фойхта и Максвелла // Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики: материалы XII школы молодых ученых. – Нальчик, 2014. – С. 61–63.

7.Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. – М.: Наука, 1966. –

С. 672.

8.Огородников Е.Н., Яшагин Н.С. Некоторые специальные функции в решении задачи Коши для дробного осцилляционного уравнения // Вестник Самар. гос. ун-та. Сер.: Физ.-мат.

науки. 2009. – № 1 (18). – С. 276–279.

411

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ПОВРЕЖДЕНИЙ НА СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ КОЛЕБАНИЙ ЭЛЕМЕНТОВ КОМПОЗИТНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Г.С. Сероваев1,2, В.В. Корепанов1,2

(1Институт механики сплошных сред УрО РАН,

Пермь, Россия, serovaev@icmm.ru,

2Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, serovaev@icmm.ru)

Работа посвящена исследованию влияния размера и местоположения дефектов (трещин и расслоения) на собственные частоты колебаний балочных и пластинчатых элементов композитных конструкций. Численно проведен анализ изменения спектра собственных частот конструкции и установлена величина сдвига той или иной собственной частоты при последовательном увеличении размеров и изменении местоположения повреждения. Продемонстрировано, что изменение спектра собственных частот колебаний конструкции дает возможность установить предвестников ее разрушения.

Ключевые слова: дефектоскопия, композитные материалы, собственные частоты колебаний, трещина, расслоение.

Оценка механического состояния конструкции или ее элементов в процессе эксплуатации на основе выявления внутренних повреждений (дефектоскопия) становится особенно важной в таких быстроразвивающихся сферах производства, как машиностроение, аэрокосмическая индустрия и т.д., важнейшей особенностью которых является применение новых типов материалов.

Дефекты в конструкциях, особенно выполненных из композиционных материалов, могут возникать как на стадии производства, так и в процессе эксплуатации. Они оказывают существенное влияние на несущую способность конструкции и могут послужить причиной разного вида поломок и аварий, представляющих угрозу жизни людей. Существует большое количество конструкций (или их элементов), доступ к которым либо ограничен, либо невозможен (космические спутники, авиадвигатели и т.п.). Однако оценка состояния таких элементов является задачей первостепенной важности, так как часто от их состояния

412

зависит целостность всей конструкции. В качестве дефектов (или повреждений) рассматриваются любые структурные изменения конструкции, негативно влияющие на ее эксплуатационные свойства [1].

Одним из важнейших подвидов неразрушающего контроля являются глобальные вибрационные методы дефектоскопии, использующие модальные параметры (собственные частоты, собственные формы, кривизна собственной формы и т.д.) для оценки состояния исследуемого объекта [1–3].

Известно, что появление дефекта в определенном месте конструкции сказывается на локальной жесткости в данной зоне, что, в свою очередь, приводит к изменению собственных частот конструкции. Таким образом, собственные частоты колебаний являются индикатором изменения состояния объекта.

Применение идеи идентификации повреждений по изменению собственных частот ограничивает необходимость наличия данных о собственных частотах колебаний проектной конструкции в исходном, неповрежденном состоянии до начала эксплуатации. Однако данное ограничение можно устранить применением современных методов моделирования, которые предоставляют возможность точного вычисления собственных частот колебаний конструкции на различных этапах: на этапе проектирования выявить места наиболее вероятного возникновения повреждений в конструкции и промоделировать заранее ситуации с возможными появлениями повреждений. Затем на этапе эксплуатации периодически получать необходимую информацию о спектре частот колебаний конструкции и сравнивать его с эталонным (полученным на этапе проектирования и перед началом эксплуатации объекта).

Данная работа посвящена исследованию влияния размера и местоположения дефектов на собственные частоты колебаний балочных и пластинчатых элементов композитных конструкций. Авторами рассмотрены два наиболее часто встречающихся вида дефектов: трещины, которые могут возникать при усталостном

413

разрушении материала, при нагрузках, превышающих предельно допустимые, и расслоение, которое является одним из самых распространенных дефектов в конструкциях, выполненных из композитных материалов, имеющих слоистую структуру.

Возникновение расслоения приводит к тому, что в области расслоения объект разделяется на несколько частей, которые начинают воспринимать нагрузки независимо друг от друга. При этом жесткость каждой из частей значительно ниже жесткости объекта, работающего как единое целое [4]. Возникновение расслоения могут инициировать дефекты, появившиеся

впроцессе производства изделия, химические процессы, проходящие между волокном и связующим, либо внешние воздействия в процессе эксплуатации, например, ударное воздействие и т.д. [5]. Наличие расслоения очень сложно установить визуально, так как чаще всего оно возникает внутри композитного материала, из которого выполнена конструкция.

Для оценки влияния размера и местоположения дефекта

ввиде трещины принималась упрощенная модель трещины, предложенная в работе [6]. На рисунке представлены относительные изменения трех первых изгибных частот в зависимости от положения трещины на примере консольной балки, выполненной из упругого материала. Из графика видно, что для первой частоты наибольшее относительное изменение наблюдается

вокрестности места закрепления. Вторая и третья частоты имеют две и три зоны наибольших изменений соответственно. Принятая в работе геометрическая модель расслоения предполагает, что смежные поверхности тех объемов, между которыми располагается расслоение, имеют одинаковое геометрическое расположение, но связь между ними отсутствует.

При анализе собственных колебаний объекта отсутствует внешнее воздействие, однако при натурных экспериментах анализ спектра собственных частот осуществляется с помощью ударного воздействия, отклик системы на которое регистрируется с помощью чувствительного элемента. Затем с помощью

414

3.Quaranta G., Carbonu B., Lacarbonara W. Damage detection by modal curvatures: numerical issues // Journal of Vibration and Control. – 2014. – Р. 1–15.

4.Tsouvalis N.G., Garganidis G.S. Buckling strength parametric study of composite laminated plates with delaminations // Ships and Offshore Structures. – 2011. – Vol. 6, № 12. – Р. 93–104.

5.Calloglu H., Atlihan G. Vibration analysis of delaminated beams using analytical and FEM models // Indian Journal of Engineering and Materials Sciences. – 2011. – Vol. 18, № 2. – Р. 7–14.

6.Morassi A., Vestroni F. Dynamic Methods for Damage Detection in Structures. – New York, 2008. – 221 p.

ИССЛЕДОВАНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ХИРУРГИЧЕСКИХ СИНТЕТИЧЕСКИХ ШОВНЫХ МАТЕРИАЛОВ В УСЛОВИЯХ БИОДЕГРАДАЦИИ

С.В. Словиков1, А.С. Янкин2

(Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, 1sslovikov@ya.ru, 2yas.cem@yandex.ru)

Рассмотрены основные методики определения механических характеристик медицинского хирургического шовного материала, проверена применимость данных методик, проанализирована возможность использования современного испытательного оборудования, проведены экспериментальные исследования, намечены основные задачи дальнейших исследований.

Ключевые слова: экспериментальная механика, медицинские материалы, активная биологическая среда, сложные режимы нагружения, шовные материалы, нити, механические характеристики.

Данная работа направлена на изучение закономерностей механического поведения функциональных материалов, используемых в медицинских целях. Актуальность темы обоснована необходимостью разработки методик и получения результатов сложных экспериментальных исследований реологических и прочностных

416

свойств, выявления влияния температуры на механические характеристики, построения математических моделей механического поведения современных хирургических шовных рассасывающихся материалов, создания рекомендаций по их оптимальному использованию в клинической практике.

В механике твердого тела одной из основных механических характеристик является предел прочности, этот термин обычно относят к материалу. При этом нить в общем не материал, а конструкция. Отсюда возникают проблемы использования параметра, относящегося к характеристикам материалов. То же самое относится и к модулю упругости. В связи с этим необходимо говорить о жесткости, отнесенной к выбранному характерному размеру (например, средний диаметр нити или относительной несущей способности). Важным также является учет анизотропии свойств с практической невозможностью прямого определения некоторых характеристик, например, модуля упругости и предела прочности в поперечном направлении. Сложность представляет и определение коэффициента Пуассона.

На практике нить в основном испытывает совокупное воздействие двух видов нагрузки: статической и переменой во времени, связанной с жизнедеятельностью человека. В механике твердого тела существует большое количество монографий, направленных на исследование механики текстильной нити. В рамках исследований показано, что использование в моделях теории вязкоупругости дает наиболееприближенные к эксперименту результаты.

Наложение шва, необходимого для сращивания тканей, подразумевает нахождение нити в деформированном состоянии. Следовательно, представляется необходимым получение функций релаксации. В свою очередь, нагрузка не постоянна во времени, а циклически изменяется по закону близкому к гармоническому. Исходя из этого, необходимо определение усталостных параметров шовного материала при одновременном воздействии статической и гармонической нагрузки.

Подводя итог вышесказанному, можно выделить следующие механические характеристики, которые необходимо иссле-

417

довать для построения моделей поведения медицинских нитей: функция удельной жесткости, функция динамической удельной жесткости, функция вязкостной удельной жесткости, функция ползучести, функция релаксации. Вследствие того что исследование направлено на изучения поведения рассасывающихся нитей, необходимо для всех механических параметров определение функции биодеградации механических свойств нити под воздействием биологических жидкостей.

В ходе работы также были рассмотрены методики определения механических характеристик применительно к объекту исследования, проверена применимость данных методик, проанализирована возможность использования имеющегося на базе Центра экспериментальной механики современного испытательного оборудования, проведены экспериментальные исследования [1], намечены основные задачи дальнейших исследований.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 15-08-08247).

ВОПРОСЫ ОБЕСПЕЧЕНИЯ ТРЕБУЕМОЙ ТОЧНОСТИ ПРИ РАБОТЕ С ЦИФРОВОЙ ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ VIC-3D

Е.М. Спаскова

(Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, cem.spaskova@mail.ru)

Представлены особенности использования цифровой оптической системы Vic-3D и метода корреляции цифровых изображений КЦИ на примере проведения испытаний при сложных режимах нагружения. В ходе постобработки зарегистрированных фотографий выделены основные факторы, влияющих на результат. Рассмотрены вопросы обеспечения требуемой точности при работе с видеосистемой.

Ключевые слова: корреляция цифровых изображений КЦИ, цифровая оптическая система Vic-3D, точность, напряженно-дефор- мированное состояние.

418

Целью данной работы является установление влияния различных факторов корреляционной обработки при реализации сложных режимов нагружения на экспериментальные данные, полученные при использовании метода корреляции цифровых изображений КЦИ и цифровой оптической системы Vic-3D.

Механическое нагружение проводилось на универсальной электромеханической испытательной системе Instron 5989 с максимальным усилием 600 кН с реализацией «жесткого» нагружения при комнатной температуре 23 °С совместно с Vic-3D, математический аппарат которой основан на методе КЦИ. Метод КЦИ – это бесконтактный оптический метод регистрации полей перемещений и деформаций на поверхности объектов и элементов конструкций [1–2].

В ходе испытаний реализовывались разные виды сложного режима нагружения: первый с 9 выдержками (5, 10, 15, 20, 30, 20, 15, 10, 5 с), второй с одной выдержкой (30 с), нагружение производилось до нагрузки 150 кН. В ходе постобработки зарегистрированных фотографий были выделены факторы, влияющие на результат. Одним из факторов является скорость съемки. Ниже представлены графики зависимости времени испытания от перемещения, на которых видна существенная разница на первой ступени, где время выдержки составляло 5 с, на последующих ступенях 10, 15, 20, 30 с влияние не выявлено. Зависимости для разных скоростей съемки (рис. 1) смещены относительно друг друга во времени в связи с большей наглядностью разницы в перемещениях на первой ступени.

При установке камер особое влияние оказывает площадь исследуемой области. Если образец крупный Sраб ≥ 0,0115 м2, а анализ эволюции полей перемещений и деформаций будет проводиться на области Sраб ≤ 0,0025 м2, то имеет смысл не рассматривать целый образец, а рассмотреть интересующую область. Для оценки влияния исследуемой области было проведено два испытания с областью 0,0025 м2 и 0,0115 м2. Регистрация продольной и поперечной деформаций осуществлялась с ис-

419

пользованием дополнительного модуля программного обеспечения видеосистемы «виртуальный экстензометр». Принцип его действия аналогичен навесному экстензометру и заключается в отслеживании взаимного смещения между двумя точками поверхности образцов в соответствии с прикладываемым усилием. Основными преимуществами использования «виртуального экстензометра» являются: бесконтактная регистрация деформаций, благодаря чему исключается механическое воздействие на поверхность образца; возможность использования нескольких экстензометров на одном образце, что, в свою очередь, повышает точность регистрируемых данных [3].

Рис. 1. Диаграмма зависимости перемещения от времени: 1 – скорость съемки 10 кадров/с; 2 – скорость съемки 2 кадра/с

На рис. 2 представлены графики зависимости времени испытания от перемещения, данные получены с экстензометров с базой 0,04 м.

На следующем этапе осуществлялась оценка влияния вычислительных параметров корреляционной обработки, а именно размера подмножества на полученные экспериментальные данные при реализации сложных режимов нагружения. На рис. 3 представлены графики зависимости времени испытания от перемещения, где кривые 1 и 2 полностью совпадают, следовательно, в данном случае влияние размера подмножества не выявлено.

420