Математическое моделирование в естественных науках

7. Гитман М.Б., Гитман Е.К., Тебеньков К.А. Методика применения современных механизмов и инструментов контроля сформированности инновационной компетентности при подготовке научно-педагогических кадров высшей квалификации // Теория и практика общественного развития. – 2013. – № 12.

С. 215–224.

8. О концепции разработки новых федеральных государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования / Е.К. Гитман, М.Б. Гитман, В.Ю. Столбов, И.Д. Столбова // Высшее образованиев России. – 2014. – №5. – С. 46–54.

О МЕХАНИЗМЕ РАЗВИТИЯ ТЕПЛОВОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ ВБЛИЗИ ЛОКАЛЬНОГО ИСТОЧНИКА ТЕПЛА

И.О. Сбоев, А.Н. Кондрашов, П.Д. Дунаев

(Пермский государственный национальный исследовательский университет,

Пермь, Россия,ivan-sboev@yandex.ru)

В результате проведенных исследований установлено существование двух сценариев развития теплового пограничного слоя вблизи круглого источника тепла. Показано, что в численной модели, не учитывающей температурные зависимости физических свойств рабочих жидкостей, роль безразмерного параметра, отвечающего за границу между наблюдаемыми сценариями развития теплового плюма, выполняет аналог критического числа Рэлея. Для различных условий подогрева и свойств жидкости определена граница между этими сценариями на плоскости (Ra, Pr).

Ключевые слова: тепловая конвекция, плоский горизонтальный слой, локальный источник тепла, температурный пограничный слой.

Исследование частных задач тепловой конвекции, как отмечается в [1, 2], позволяет изучить вопросы, связанные с реализуемостью тех или иных форм течений, а также определить условия их отбора как наиболее оптимальных. К тому же резуль-

531

таты исследования механизмов развития конвективных структур, а также смены сценариев режимов конвекции могут найти применение при описании некоторых задач геофизики, астрофизики и техники [3, 4].

Внатурном эксперименте невозможно рассмотреть бесконечный слой или использовать в качестве рабочей жидкости среду с неизменными (сохраняющимися с температурой) свойствами. Кроме того, лабораторные исследования всегда осложняются наличием внешних условий, а это ведет к изменению конвективных структур внутри полости.

Нет сомнений в том, что размеры источника тепла и свойства жидкостей играют важную роль в образовании неустойчивости температурного пограничного слоя вблизи нагревателя. Ранее задача объединения и взаимодействия нескольких плюмов рассматривалась в работах некоторых авторов [5–8]. Однако отличительной чертой тех исследований является то, что формирование двух

иболее тепловых плюмов достигается либо за счет использования дискретного набора локализованных источников тепла, либо при подогреве одной из стенок полости. Впервом случае каждый отдельный нагреватель формирует в жидкости один факел, в то время как в настоящей работе образование двух тепловых струй в узком слоевызванодействием одиночного нагревателя.

Исследование можно упростить, рассматривая бесконечный слой с осевой симметрией относительно вертикальной оси Z. Для этого составляется приближенная к лабораторным условиям численная модель, результаты которой в дальнейшем сопоставляются с натурным экспериментом.

Вработе численными методами исследуется изменение поля температуры со временем для различных размеров и температур нагревателя в цилиндрическом слое с твердыми грани-

цами высотой h = 150 мм и радиусом поперечного сечения l = 100 мм. Математически течение в полости описывается известной системой дифференциальных уравнений свободной тепловой конвекции в приближении Буссинеска. На твердых гра-

532

ницах выполняется условие прилипания. На верхней грани задается постоянная температура T0, а боковая поверхность полости считается теплоизолированной. Нижнее основание цилиндра лежит в плоскости z = 0. Распределение температуры в этой плоскости моделируется ступенчатой функцией, имеющей локальный максимум вблизи начала координат.

Результатом численного моделирования является обнаружение различных сценариев эволюции температурного пограничного слоя вблизи круглого нагревателя — теплопроводного

иконвективного, реализуемость которых обусловлена механизмом переноса тепла от локального источника тепла. Показано, что для круглого нагревателя, имеющего постоянный диаметр,

ивыбранной жидкости по мере увеличения степени нагрева наблюдается переход от одного механизма к другому. Численными методами для случая идеальных жидкостей найдена граница,

разделяющая эти механизмы на плоскости чисел Рэлея Ra и Прандтля Pr. В настоящей работе критическое число Рэлея Raкр, определенное, исходя из результатов численной модели с относительной погрешностью 7 %, не имеет зависимости от числа Прандтля рабочей жидкости. Хотя численная модель допускает введение некоторого критического параметра, разделяющего два механизма теплопереноса, его значение не согласуется с полученным в эксперименте значением. Показано, что ввести управляющий параметр, по аналогии с числом Рэлея, в лабораторных условиях затруднительно, в силу существенной зависимости гидродинамической системы к внешним условиям.

Список литературы

1.Гетлинг А.В. Конвекция Рэлея–Бенара. Структуры и динамика. – М.: Эдиториал УРСС, 1999. – С. 248 с.

2.Гетлинг А.В. Формирование пространственных структур конвекции Рэлея–Бенара // Успехи физических наук. – 1991. – Т. 161, № 9. – С. 1–80.

533

3.Xi H.D., Lam S., Xia K.Q. From laminar plumes to organized flows: the onset of large-scale circulation in turbulent thermal convection // Journal of Fluid Mechanics. – 2004. – Vol. 503. – P. 47–56.

4.Thermal instabilities in a yield stress fluid: Existence and morphology / A. Davaille, B. Gueslin, A. Massmeyer, E. Di Giuseppe

//Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics. – 2013. – Vol. 193. – P. 144–153.

5.Гаврилов К.А., Демин В.А., Попов Е.А. Режимы всплытия тепловых плюмов в вертикальном слое // Вычислительная механика сплошных сред. – 2013. – Т. 6, № 3. – С. 261–268.

6.Pera L., Gebhart B. Laminar plume interactions // Journal of Fluid Mechanics. – 1975. – Vol. 68, № 2. – P. 259–271.

7.Lappa M. Some considerations about the symmetry and evolution of chaotic rayleigh–b´enard convection: The flywheel mechanism and the “wind” of turbulence // Comptes Rendus M´ecanique. – 2011. – Vol. 339, no. 9. – P. 563–572.

8.The dynamics and interaction of laminar thermal plumes / E. Moses, G. Zocchi, I. Procaccia, A. Libchaber // EPL (Europhysics Letters). – 1991. – Vol. 14, no. 1. – P. 55–60.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ АТОМА УГЛЕРОДА В ГРАФЕНЕ

С.Н. Сибирцев, И.Ю. Зубко

(Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, zoubko@list.ru)

Предложен вид потенциала атома углерода, находящегося в состоянии sp2-гибридизации, характерной для кристаллической структуры графена и графита. Строение электронной оболочки, определяющее характер ковалентной связи, учитывается в записи потенциала с точки зрения геометрии в инвариантном векторном виде, обеспечивающем минимум потенциальной энергии в неизогнутом состоянии монослоя графена, в структуре которого углы между ковалентными связями атомов составляют 120°. Предложенный потенциал содержит дополнительный параметр, отвечающий за изгибную жесткость слоя графе-

534

на. Предложенный потенциал позволяет получать значения этой характеристики для монослоя графена с высокой точностью соответствия ее экспериментальным значениям.

Ключевые слова: дискретно-атомистическое моделирование, четырехчастичный потенциал атома углерода в графене, изгибная жесткость монослоя графена.

В общем виде потенциальная энергия системы атомов [1] может быть представлена в виде

i=1 j=i+1 k = j+1

где Ri – радиус-вектор, задающий положение i-го атома, M – полное число атомов образца, Φ1 (Ri ) – часть потенциальной энергии атомов, которая не зависит от их взаимодействия, а определяется полем некоторой внешней силы, Φ2 (R j − Ri ) – по-

тенциальная энергия парного взаимодействия или двухчастичный потенциал, Φ3 (R j − Ri ,Rk − Ri ,Rk − R j ) – трехчастичный

потенциал взаимодействия атомов и так далее. Двухчастичный потенциал межатомного взаимодействия характеризует изменение потенциальной энергии при изменении расстояния между парами атомов. Этот потенциал с помощью некоторой функциональной зависимости описывает, что на малых расстояниях при сближении два атома начинают отталкиваться, а при удалении притягиваться. Поскольку атомы нельзя сдвинуть бесконечно близко, то в ноле такая функция стремится к бесконечности. При увеличении расстояния между парой атомов эта функция выходит на горизонтальную асимптоту, а сила взаимодействия, модуль которой равен тангенсу угла наклона касательной к графику функции Φ2 (R j − Ri ), стремится к нулю. Трехчастичный

535

потенциал учитывает не только расстояние между двумя атомами, как в случае двухчастичного потенциала, но и влияние конфигурации ближайших атомов. Например, четырехчастичный потенциал может использоваться для описания ковалентной связи между соседними атомами в решетке графена или графита [2], находящимися в состоянии sp2-гибридизации (рис. 1). Силы взаимодействия каждого выбранного атома с остальными атомами образца, вычисляемые с помощью двухчастичного потенциала, аддитивны. Для многочастичных потенциалов аддитивности сил взаимодействия нет. В данном случае внешних сил нет, поэтому Φ1(Ri ) = 0.

Рис. 1. Геометрическая модель:

а– листа графена; б – гексагонального α-графита

Вработе [2] показано, что использование простейших двухчастичных потенциалов семейства Ми при наложении дополнительных условий на учет ковалентной связи между соседними атомами позволяет получать в расчетах оценки упругих модулей неизогнутого слоя графена, которые соответствуют их экспериментальным значениям с наибольшей точностью по сравнению с применением всех других известных потенциалов.

536

Основным недостатком использования потенциалов семейства Ми является заниженное значение изгибной жесткости монослоя графена, предсказываемое с их помощью. Для устранения этого недостатка, но при сохранении достоинств потенциала Ми на его основе предлагается вид потенциала ковалентной связи, который при отсутствии изгиба монослоя графена сводится к варианту потенциала Ми из работы [2]. Как и во многих других работах, принимается, что все атомы углерода отталкиваются один от другого, и этот вид взаимодействия может быть описан

двухчастичным потенциалом Φ+ ( R j − Ri ) . Следуя [2], будем

представлять эту функцию в виде Φ+ (r ) = β n (α / r )m / (m − n)

слагаемого потенциала Ми, где α – равновесное расстояние для изолированной пары атомов, β – энергия, соответствующая глубине потенциальной ямы при взаимодействии двух таких атомов. Для описания взаимодействия атомов, соединенных ковалентной связью, в работе предложен феноменологический четырехчастичный потенциал Φloc (R j − Ri ,Rk − Ri ,Rl − Ri ) ,

учитывающий геометрическую структуру sp2-гибридизирован-

− β m(m − n)−1 (α−2 (a a + b b + c c))− n/2 , n > 2,

где – перестановочный тензор третьего ранга Леви–Чивиты,– полная свертка тензоров, abc – объем, построенный на векторах a, b, c. Четная степень в первом слагаемом обеспечивает его минимум в «нуле», который соответствует неизогнутому состоянию монослоя графена, т.е. если векторы a, b, c лежат

537

в одной плоскости, то четная степень объема принимает минимальное значение, равное нулю, и первое слагаемое не дает вклада в потенциальную энергию. Параметр γ имеет смысл энергии, отвечающей за локальный «изгиб связей». Параметры α и β имеют обычный смысл для потенциала Ми. Часть второго слагаемого a b + a c + b c при условии, что векторы a, b, c лежат в одной плоскости и имеют одинаковую длину, дает минимум в состоянии, когда углы между парами этих векторов равны между собой и составляют 120°, третье слагаемое не оказывает влияния на это решение и описывает притяжение атомов. Для атомов, лежащих на стороне образца и имеющих только двух соседей, связанных с ними ковалентной связью, в качестве третьего векторного аргумента принимается нулевой вектор c = 0 .

Вэтом случае предложенный потенциал принимает вид

βm(m − n)−1 (α−2 a b − n/2 − (α−2 (a a + b b))− n/2 ),

который имеет минимум при условии a b . При вырождении введенного четырехчастичного потенциала в двухчастичный, т.е. когда векторы b и c исчезают, получим слагаемое потенциа-

ла Ми Φ− (a) = − β m α−1a − n / (m − n) , отвечающее за притяжение

пары атомов.

Рассматривая случай расположения четырех атомов с пространственным распределением, соответствующим структуре графена (см. рис. 1, а), представим единичные векторы a, b, c

c = {0;− cosθ;sin θ}, ψ [0;π / 2) , θ (−π / 2;π / 2) . Подстановка

этих векторов в предложенный феноменологический потенциал

(2) дает функцию от углов ψ и θ, описывающую поверхность, представленную на рис. 2, а. Эта функция имеет абсолютный минимум в точках {ψ = π / 6;θ = 0} и {ψ = 5π / 6;θ = 0} , которым

538

соответствует расположение векторов a, b, c в одной плоскости при том, что все углы между ними равны и составляют 120°, что соответствует неискаженной решетке графена. При любом фиксированном значении угла θ ≠ 0 , т.е. при «изгибе» ковалентных связей предложенный потенциал достигает минимума также при значениях угла ψ = π / 6 или ψ = 5π / 6 (рис. 2, б). Для нееди-

ничных векторов a, b, c зависимость введенного потенциала (2) от межатомных расстояний подобна зависимости, которую задает модификация потенциала Ми из работы [2].

Рис. 2. Представление потенциала: а – как функции углов ψ и θ; б – угла ψ при θ ≠ 0

Таким образом, в работе на основании строения sp2-гибри- дизированной оболочки атома углерода предложен феноменологический потенциал (2), наследующий основные достоинства модификации потенциала Ми из [2] и позволяющий дополнительно описывать реалистичные значения изгибной жесткости листа графена за счет независимого энергетического параметра, отвечающего за «изгиб» ковалентной связи.

Работа выполнена в рамках задания №2014/152 на выполнение государственных работ в сфере научной деятельности в рамках базовой частигосзадания Минобрнауки РФ(код проекта – 1911).

539

Список литературы

1.Clayton J. Nonlinear Mechanics of Crystals. – Springer, London, 2011. – 715 p.

2.Зубко И.Ю. Вычисление упругих модулей монослоя графена в несимметричной постановке с помощью энергетического

подхода // Физическая мезомеханика. – 2015. – Т. 18, № 2. –

С. 37–50.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО УДАРНОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ НА ОСТАТОЧНЫЕ ПРОЧНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

О.А. Староверов

(Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, cem_staroverov @mail.ru)

Представлены результаты экспериментального исследования влияния предварительного ударного нагружения на остаточные прочностные характеристики образцов-пластин КМ. Исследование проводилось с использованием цифровой оптической системы Vic-3D для анализа полей перемещений и деформаций на поверхности образцов. Выявлено снижение остаточныхпрочностныххарактеристик после удара.

Ключевые слова: ударное нагружение, цифровая оптическая система Vic-3D,композиционные материалы, живучесть.

Сегодня проектировщики в качестве основных элементов конструкций все чаще применяют композиционные материалы, которые по сравнению с металлическими сплавами имеют меньший вес при относительно равных физико-механических свойствах. В процессе эксплуатации композиционные конструкции подвергаются воздействию интенсивных внешних динамических нагрузок. В результате нагружения возникают волны напряжений, которые могут привести к расслоению, сколам и другим дефектам, нарушающим нормальную эксплуатацию конструкции. Знание таких свойств, как стойкость к повреждениям и допустимые

540