5.2. Методы начисления простых и сложных процентов
В зависимости от условий проведения расчетов оценки эффективности инвестиционных проектов как дисконтирование, так и наращение осуществляются с применением простых и сложных процентов.
Простые проценты в практике используются в краткосрочных финансовых операциях сроком менее одного года, когда используется наиболее упрощенная система расчетных алгоритмов.
Базой для исчисления процентов за каждый плановый период при простых процентах является первоначальная (исходная) сумма сделки. Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление.
1. Будущая стоимость вклада Кб с учетом начисленной суммы процента через t лет определяется по формуле
где Р – сумма процента за обусловленный период времени в целом;
К – первоначальная сумма денежных средств;
t - количество интервалов, по которым осуществляется расчет
процентных платежей;
i – процентная ставка.
Множитель (1+ t х i) называется множителем наращения суммы простых процентов. Его значение всегда должно больше единицы.
Сумма простого процента в процессе наращения стоимости капитала рассчитывается по формуле:
Р = К x t x i.
Пример. Определить будущую стоимость вклада и сумму простого процента за год при следующих условиях:
первоначальная сумма вклада – 5000 руб.;
процентная ставка, выплачиваемая ежеквартально, – 3%.
Решение:
сумма процента составит
Р = 5000 х4х0,03 = 600 руб.;
Будущая стоимость вклада составит
К = 5000(1+4х0,03) = 5600 руб.
Пример. Определить период начисления при годовой процентной ставке i = 0,1, за который первоначальный капитал 100 тыс. руб. вырастет до 140 тыс. руб. по простым процентам.
Решение:
Кб = К(1+ i х t),
отсюда
t =
года.
Пример. Рассчитать простую ставку процентов i, при которой первоначальный капитал (К) в размере 200 тыс. руб. достигнет 230 тыс. руб. через 2 года.
Решение:
2. Настоящая стоимость денежных средств Кн с учетом начисленной суммы простого процента определяется по формуле:
Множитель
называется дисконтным множителем суммы
простых процентов, значение которого
всегда должно быть меньше единицы.
Сумма простого процента в процессе дисконтирования стоимости определяется по формуле
где D – величина дисконта за обусловленный период времени в целом;
К – первоначальная сумма денежных средств;
Пример. Определить настоящую (текущую) стоимость вклада и сумму дисконта по простому проценту за год при следующих условиях:
конечная сумма вклада – 5000 руб.;
дисконтная ставка, выплачиваемая ежеквартально, – 3%.
Решение:
настоящая стоимость вклада составит
руб.;
Начисленная сумма дисконта составит
D
руб.
Сложные проценты широко применяются в долгосрочных финансовых операциях со сроком более одного года. Для расчета по сложным процентам используется более обширная система расчетных алгоритмов.
Базой для исчисления процентов за каждый плановый период при сложных процентах являются первоначальная (исходная) сумма сделки и к этому времени накопленные проценты.
1. При расчете будущей суммы вклада в процессе его наращения по сложным процентам используется следующая формула:
где Кб – будущая стоимость вклада по сложным процентам;
К – первоначальная сумма вклада;
t - количество интервалов, по которым осуществляется расчет
процентных платежей;
i – процентная ставка.
Соответственно начисленная сумма процента Р определяется по формуле
Р = Кб – К.
Таким образом, если инвестиция осуществлена на условиях сложного процента, то годовой доход по определенной годовой ставке исчисляется не с исходной величины инвестированного капитала, а с общей суммы, включающей ранее начисленные и невостребованные инвестором проценты. В этом случае происходит капитализация процентов по мере их начисления, т.е. исходная база все время возрастает.
Использование в расчетах сложного процента в случае многократного его начисления значительно выгоднее, поскольку вложенный капитал постоянно возрастает.
Проценты
Годы
Рис. 5.2. Доходы по простым и сложным процентам
Рисунок 5.2 показывает, что за период менее 1 года выгодно вкладывать капитал по простым процентам. За период более 1 года – по сложным процентам. На период 1 год – одинаково.
Формула сложных процентов используется при оценке эффективности инвестиционных проектов. Выражение (1+i)t называют мультиплицирующим множителем или множителем наращения сложных процентов.
Экономический смысл множителя состоит в следующем: он показывает будущую стоимость вложенного капитала через n лет при заданной процентной ставке i.
Пример. Определить будущую стоимость вклада и сумму сложного процента за весь период инвестирования при следующих условиях:
первоначальная стоимость вклада – 5000 руб.;
процентная ставка, выплачиваемая ежеквартально, – 3%;
общий период инвестирования – 1 год.
Решение:
будущая стоимость составить
руб.
начисленная сумма процента равна
Р = 5627,5 – 5000 = 627,5 руб.
При вложении капитала на депозитный счет может быть ситуация, когда срок операции составляет не целое число лет. В этом случае кредиторы используют смешанный порядок начисления процентов: сложные проценты начисляются на период, измеренный целыми годами, а проценты за дробную часть срока начисляются по простой процентной ставке. Тогда будущая (наращенная) стоимость вложенного капитала определяется по формуле
где n – число полных лет в составе продолжительности операции;
n - число дней в отрезке времени, приходящемся на неполный год;
k – временная база.
Пример. Инвестор вкладывает 100 тыс. руб. на депозитный счет банка под 12% годовых. Действие договора распространяется на период с 1 го июня 2006 г. по 31 декабря 2009 г. Определить будущую стоимость первоначального капитала по формуле сложных процентов и по формуле, предусматривающей смешанный порядок исчисления процентов.
Решение:
в случае начисления сложных процентов за весь срок договора
тыс.
руб.;
при смешенном способе
тыс. руб.
Таким образом, при смешанном методе начисления процентов инвестор получит на 3,6 тыс. руб. больше.
2. При расчете настоящей стоимости денежных средств в процессе дисконтирования (Кн) по сложным процентам используется следующая формула:
где Кб – будущая стоимость вклада;
t - количество интервалов, по которым осуществляется расчет
процентных платежей;
i – процентная ставка.
Соответственно начисленная сумма дисконта D определяется по формуле:
D = К – Кн.
Пример. Определить настоящую стоимость денежных средств и сумму дисконта по сложным процентам за 1 год при следующих условиях:
будущая стоимость вклада – 5000 руб.;
процентная ставка, выплачиваемая ежеквартально, – 3%.
Решение:
настоящая стоимость составить
руб.
начисленная сумма дисконта
D =5000 - 4440,0 = 560,0 руб.
3. При определении процентной ставки, используемой в расчетах стоимости денежных средств по сложным процентам, применяется следующая формула
где i –процентная ставка;
Кб – будущая стоимость вклада при его наращении по сложным
процентам;
К – первоначальная сумма денежных средств;
t - количество интервалов, по которым осуществляется расчет
процентных платежей.
Пример. Определить годовую ставку доходности облигации при следующих условиях:
номинал облигации, подлежащей погашению через 3 года, составляет 5000 руб.;
цена, по которой облигация реализуется в момент ее эмиссии, составляет 3000 руб.
Решение:
годовая ставка доходности составит
Пример. Инвестор имеет 300 000 руб. и желает получить через 2 года 400 000 руб. Каково в этом случае должно быть минимальное значение годовой процентной ставки?
Решение:
пользуемся формулой
Следовательно, для того чтобы получить необходимую сумму нужно вложить денежные средства по годовой ставке не ниже 8%.
4. Эффективная процентная ставка в процессе наращения стоимости денежных средств по сложным процентам рассчитывается по формуле
где iэ – эффективная среднегодовая процентная ставка при наращении
стоимости денежных средств по сложным процентам;
i – процентная ставка, используемая при наращении стоимости
денежных средств по сложным процентам.
Пример. Определить эффективную среднегодовую процентную ставку при следующих условиях:
денежная сумма 5000 руб. помещена в коммерческий банк на депозит сроком на 2 года;
годовая процентная ставка, по которой ежеквартально осуществляется начисление процента, составляет 12%.
Решение:
эффективная среднегодовая процентная ставка составит
Результаты расчетов показывают, что условия размещения вклада на 2 года под 12% годовых при ежеквартальном начислении процентов равнозначны условиям начисления этих процентов 1 раз в год под 12,5% годовых.
При оценке стоимости денег во времени по сложным процентам надо иметь в виду, что на результат оценки оказывает влияние не только ставка процента, но и число интервалов выплат в течение одного и того же общего платежного периода.
Пример. Если вклад в сумме 100 000 руб. хранить в банке 2 года, то при годовой ставке 12% в зависимости от частоты начисления процентов накопленная сумма составит:
а) при начислении процента 1 раз в год
100 000(1+0,12)2 = 125440,0 руб.;
б) при полугодовом начислении процентов
100 000(1+0,12/2)2х2 = 100 000(1+0,06)4 = 126247,69 руб.;
в) при ежеквартальном начислении процентов
100 000(1+0,12/4)2х4 = 100 000(1+0,03)8 = 126677,0 руб.;
г) при ежемесячном начислении процентов
100 000(1+0,12/12)2х12 = 100 000(1+0,01)24 = 126973,46 руб.
Пример. Перед инвестором стоит задача разместить 100 тыс. руб. на депозитный вклад сроком на 1 год. Первый банк предлагает инвестору выплачивать доход по сложным процентам в размере 3% в квартал; второй - в размере 7% 2 раза в год, третий - 13% 1 раз в год. Определить? какой вариант лучше. Результаты расчетов приведены в табл. 5.1.
Таблица 5.1
Варианты |
Настоящая стоимость вклада |
Процентная ставка |
Будущая стоимость вклада в конце периода |
|||
1 - го |
2 - го |
3-го |
4 - го |
|||
1 - й |
100 000 |
3% |
103000 |
106 090 |
109272 |
112550 |
2 - й |
100 000 |
7% |
107000 |
114490 |
|
|
3 - й |
100 000 |
13% |
113000 |
|
|
|
Второй вариант лучший.
Временные периоды, которым соответствуют определенные по величине денежные потоки, обычно предполагаются равными. Одновременно предполагается, что денежные поступления имеют место либо в начале, либо в конце периода, т.е. они не распределены внутри периода, а сконцентрированы на одной из его границ, в начале или в конце года.
Поступления в начале года называются потоком пренумерандо, или авансом, в конце года - постнумерандо.
Разница между ними состоит в том, что в первом случае поступление денежных средств происходит параллельно с вложением инвестиций.
На практике относительно большее распространение получил поток постнумерандо, поскольку финансовые результаты определяются обычно по окончании очередного отчетного года. Именно этот поток положен в основу методик анализа эффективности инвестиционных проектов. Поток пренумерандо имеет значение при анализе различных схем накопления денежных средств для последующего их инвестирования.