- •Раздел 1 Начисление процентов 6
- •Глава 1. Простые проценты 6
- •Глава 2. Сложные проценты 22
- •Глава 3. Конверсия платежей. Эквивалентность процентных ставок 41
- •Раздел 2 Потоки платежей 51
- •Глава 4. Постоянные финансовые ренты 51
- •Глава 10. Форфейтная операция 137
- •Глава 11. Облигации 148
- •Глава 12. Измерение эффективности инвестиций 168
- •Предисловие
- •Раздел 1 Начисление процентов Глава 1. Простые проценты
- •1.1. Время как фактор в финансовых расчетах
- •1.2. Проценты, виды процентных ставок
- •1.3. Наращение по простой процентной ставке
- •1.4. Погашение задолженности частями
- •1.5. Наращение и выплата процентов в потребительском кредите
- •1.6. Дисконтирование и учет по простым процентным ставкам. Рост по учетной ставке
- •1.7. Ставка наращения и учетная ставка. Прямые и обратные задачи
- •1.8. Определение срока ссуды и величины процентной ставки
- •1.9. Конверсия валюты и наращение процентов
- •Глава 2. Сложные проценты
- •2.1. Начисление сложных годовых процентов
- •2.2. Рост по сложным и простым процентам
- •2.3. Наращение процентов т раз в году; номинальная и эффективная ставки
- •2.4. Дисконтирование по сложной ставке процента
- •2.5. Операции со сложной учетной ставкой
- •2.6. Сравнение интенсивности процессов наращения и дисконтирования по разным видам процентных ставок
- •2.7. Непрерывное наращение и дисконтирование — непрерывные проценты
- •2.8. Определение срока платежа и процентных ставок
- •2.9. Кривые доходности
- •2.10. Конверсия валюты и наращение сложных процентов
- •2.11. Наращение процентов, налоги и инфляция (простые и сложные проценты)
- •Глава 3. Конверсия платежей. Эквивалентность процентных ставок
- •3.1. Финансовая эквивалентность обязательств
- •3.2. Консолидирование задолженности
- •3.3. Общая постановка задачи изменения условий выплаты платежей
- •3.4. Эквивалентность процентных ставок
- •3.5. Средние процентные ставки
- •Раздел 2 Потоки платежей Глава 4. Постоянные финансовые ренты
- •4.1. Виды потоков платежей и их основные параметры
- •4.2. Наращенная сумма постоянной ренты постнумерандо
- •4.3. Современная стоимость постоянной ренты постнумерандо
- •4.4. Определение параметров постоянных рент постнумерандо
- •4.5. Наращенные суммы и современные стоимости других видов постоянных рент
- •4.6. Взаимоувязанные, последовательные потоки платежей
- •4.7. Постоянная непрерывная рента
- •Глава 5. Переменные потоки платежей
- •5.1. Ренты с постоянным абсолютным приростом платежей
- •5.2. Ренты с постоянным относительным приростом платежей
- •5.3. Непрерывные переменные потоки платежей
- •5.4. Конверсии постоянных аннуитетов
- •5.5. Изменения параметров ренты
- •Раздел 3 Практические приложения количественного финансового анализа Глава 6. Страховые аннуитеты
- •6.1. Финансовые ренты в страховании
- •6.2. Страхование жизни
- •6.3. Пенсионное страхование
- •6.4. Расчеты тарифов и размеров пенсий
- •6.5. Сберегательное (трастовое) обеспечение пенсий
- •Глава 7. Планирование погашения долгосрочной задолженности
- •7.1. Расходы по обслуживанию долга
- •7.2. Планирование погасительного фонда
- •7.3. Погашение долга в рассрочку
- •7.4. Льготные займы и кредиты
- •7.5. Реструктурирование займа
- •Глава 8. Ипотечные ссуды. Погашение потребительского кредита
- •8.1. Виды ипотечных ссуд
- •8.2. Расчеты по стандартным ипотечным ссудам
- •8.3. Нестандартные ипотеки
- •8.4. Погашение потребительского кредита
- •Глава 9. Анализ кредитных операций
- •9.1. Полная доходность
- •9.2. Баланс финансово-кредитной операции
- •9.3. Доходность ссудных и учетных операций с удержанием комиссионных
- •9.4. Доходность купли-продажи финансовых инструментов
- •9.5. Доходность потребительского кредита
- •9.6. Долгосрочные ссуды
- •9.7. Сравнение коммерческих контрактов
- •9.8. Определение предельных значений параметров контрактов
- •Глава 10. Форфейтная операция
- •10.1. Сущность операции а форфэ
- •10.2. Анализ позиции продавца
- •10.3. Анализ позиций покупателя и банка
- •Глава 11. Облигации
- •11.1. Виды облигаций и их рейтинг
- •11.2. Измерение доходности облигаций
- •11.3. Дополнительные сведения по измерению доходности облигаций
- •11.4. Характеристики поступления средств от облигации и измерение риска
- •11.5. Оценка займов и облигаций
- •11.6. Возмещение премии и накопление дисконта облигаций
- •11.7. Портфель облигаций
- •11.8. Изменение структуры портфеля облигаций. Метод "бабочки"
- •Глава 12. Измерение эффективности инвестиций
- •12.1. Инвестиционный процесс как объект количественного финансового анализа
- •12.2. Чистый приведенный доход
- •12.3. Основные измерители эффективности капиталовложений
- •12.4. Измерение эффективности сложных систем. Моделирование инвестиционного процесса
- •12.5. Аренда оборудования
- •Приложение. Таблицы для финансовых расчетов
11.4. Характеристики поступления средств от облигации и измерение риска
Для обоснованного выбора облигации недостаточно сравнить данные об их доходности. Необходимо как-то оценить и риск. Последний, очевидно, связан со сроком облигации — чем больше срок, тем выше риск. Однако непосредственное сравнение сроков не приведет к правильным выводам, поскольку при этом не учитываются особенности распределения доходов во времени ("профиль" поступлений доходов). Ясно, что облигации с нулевым купоном более рискованны, чем облигации с периодическими выплатами процентов при одном и том же их сроке. Для характеристики облигаций под этим углом зрения применяют средний срок (average life) и показатель, который занял видное место в современном финансовом анализе. Последний мы условно назвали средней продолжительностью платежей (duration).
Средний срок. Этот показатель обобщает сроки всех видов выплат по облигации в виде средней взвешенной арифметической величины. В качестве весов берутся суммы выплат. Иначе говоря, чем больше сумма выплаты, тем большее влияние на среднюю оказывает соответствующий срок. Для облигаций с ежегодной оплатой купонов и погашением номинала в конце срока получим
tj = 1, 2, ..., n, (11.19)
где T — средний срок;
ti — сроки платежей по купонам в годах;
Sj — сумма платежа;
g — купонная норма процента;
п — общий срок облигации.
Поскольку для tj = 1, 2, ..., п
то вместо (11.19) можно применить
(11.20)
У облигации с выплатой купонного дохода T < п. Нетрудно понять, что чем больше купонный процент, тем меньше средний срок. У облигаций с нулевым купоном T = n.
Пример 11. 9. Найдем средний срок для облигаций с выплатами по купонам 5 и 10% от номинала, срок облигаций — 10 лет. По формуле (11.20) получим
Пусть теперь купоны оплачиваются р раз в году, например по полугодиям или ежеквартально, тогда необходимая нам сумма сроков платежей находится как
, t = 1/р, 2/р, ..., n,
откуда вместо (11.20)
(11.21)
Очевидно, что переход от годовой выплаты процентов к выплатам по полугодиям или по кварталам несколько снижает средний срок облигации.
Несколько слов о содержании полученной средней. Предварительно вспомним понятие "кредитная услуга", под которым обычно понимают произведение некоторой суммы денег на срок кредита ("рубле-годы"). В числителе формулы (11.19) показан полный размер кредитной услуги по облигации — все ожидаемые поступления умножены на соответствующие сроки. Средний срок указывает на момент в сроке облигации, который уравнивает размеры кредитных услуг. Сумма кредитной услуги до среднего срока равна кредитной услуге, после этого момента:
(11.22)
где rj, rk — временные интервалы от даты платежа до среднего срока, (j — платежи, производимые до среднего срока, k — после этого срока).
Для иллюстрации обратимся к облигации из примера 11.4. Ее средний срок равен 4,43 года. Размер кредитной услуги на эту дату равен примерно 62. Кредитная услуга для оставшегося срока равна такой же величине. Механический аналог среднего срока — точка равновесия платежей во времени. Чем меньше средний срок, тем скорее получает отдачу от облигации ее владелец и, следовательно, меньше риск.
Средняя продолжительность платежей. Обсуждаемый показатель также представляет собой среднюю взвешенную величину срока платежей, однако взвешивание здесь более "тонкое", учитывающее временную ценность денег. В качестве такого показателя, который, кстати, вытесняет в современной практике средний срок, применяют так называемую среднюю продолжительность платежей. Обозначим эту величину как D.
Пусть проценты выплачиваются ежегодно, тогда по определению имеем
(11.23)
Знаменатель формулы равен рыночной цене облигации — см. формулу (11.6). После ряда преобразований получим
, tj = l, 2, ..., n. (11.24)
Дисконтирование здесь производится по ставке помещения. Для того чтобы избежать прямого счета суммы, показанной в числителе, ее можно определить следующим образом:
(11.25)
Пример 11.10. Для облигации примера 11.4 ставка помещения равна 8,77%. Дисконтируем платежи по этой ставке.
tj |
|
Sj |
|
|
1 |
0,9194 |
8 |
7,3550 |
7,3550 |
2 |
0,8452 |
8 |
6,7619 |
13,5238 |
3 |
0,7771 |
8 |
6,2167 |
18,6502 |
4 |
0,7144 |
8 |
5,7155 |
22,8620 |
5 |
0,6568 |
108 |
70,9379 |
354,6889 |
Итого: |
|
|
97 |
417,0809 |
Находим
D = = 4,3 года.
Напомним, что средний срок для этой облигации равен 4,43 года.
Очевидно, что для облигации с нулевым купоном D = T = п. В остальных случаях D < Т < п. На рис. 11.2 иллюстрируется зависимость средней продолжительности платежей от общего ее срока (1 — облигации с нулевым купоном, 2 — купленные с дисконтом, 3 — купленные по номиналу, 4 — купленные с премией). Рассматриваемый показатель увеличивается при сокращении ставки помещения (средней ставки на рынке) и росте общего срока.
Из определения D и приведенных формул следует, что этот показатель в большей мере учитывает особенности потока платежей — отдаленные платежи имеют меньший вес при определении средней, чем
более близкие к моменту оценки. Равенство, аналогичное по содержанию равенству (11.22), но при условии, что средний срок равен D, имеет вид
(11.26)
где Vj, Vk — дисконтированные суммы платежей до и после времени D; rj, rk — сроки платежей до и после времени, соответствующего D.
Из приведенной формулы следует, что D является точкой равновесия сроков дисконтированных платежей. Эту величину можно трактовать и как срок эквивалентной облигации с нулевым купоном.
Пример 11.11. В примере 11.10 средняя продолжительность платежей по облигации составила 4,3 года. Это означает, что она эквивалентна займу без текущей выплаты процентов с аналогичной нормой доходности (8,77% ) при условии, что его срок равен 4,3 года.
Модифицированная средняя продолжительность платежей. Средняя продолжительность платежей, о которой только что шла речь, едва бы привлекла внимание финансистов-аналитиков, будь она только обобщенным измерителем срока платежей. Ценность этого показателя состоит в том, что его можно использовать как меру чувствительности цены облигации к незначительной динамике уровня процентной ставки на рынке. Для решения этой задачи, строго говоря, применяется не величина D, а ее модификация, обозначим ее как MD (modified duration), которую для краткости назовем модифицированной средней.
(11.27)
где i — полная доходность облигации;
р — количество выплат процентов в году.
Можно доказать, что MD представляет собой показатель эластичности цены облигации по рыночной процентной ставке. Иначе говоря,
,
где ∆K, ∆i — изменения в цене и рыночной процентной ставке в %. Из приведенного выражения следует, что
(11.28)
Формула (11.28) применяется в практике для оценки колебаний в цене облигаций при незначительных (до 1%) изменениях рыночной процентной ставки.
Пример 11.12. Выше для облигации примера 11.4 было найдено: D = 4,3 года, i = 8,77%. Отсюда
MD = = 3,95.
Используем полученный параметр для оценки влияния на цену облигации ожидаемого повышения рыночного процента с 8,77 до 8,9%. Находим
∆K = -0,01 х 3,95 х 97 х 0,13 = -0,5,
т.е. при указанном повышении ставки курс облигации составит 97 - 0,5 = 96,5.