6.2. Страхование жизни

Для начала рассмотрим самый простой случай личного страхования — страхование на дожитие (pure endowment), которое можно рассматривать как упрощенный вариант пенсионного страхования — страхование одной пенсионной выплаты. Строго говоря, здесь не возникает потребность в страховом аннуитете. Однако обсуждение применяемой методики окажется полезным далее. Итак, человек в возрасте х лет договаривается со страховой организацией о том, что при достижении им 60 лет он получит R рублей. Для определения размера премии найдем математическое ожидание суммы страховки, дисконтированной на срок страхования, т.е. на 60 лет:

_60-xE_x = R_60-xp_xv^60-x

где _60-xp_x - вероятность лицу в возрасте х лет дожить до 60 лет.

В общем виде с использованием коммутационной функции D_x получим:

(6.7)

Влияние принятой процентой ставки здесь очевидно. Чем она выше, тем меньше премия.

Пример 6.2. Необходимо найти стоимость страхования на дожитие до 60 лет мужчины в возрасте 40 лет. Если расчет основывать на процентной ставке, равной 9%, то согласно формуле (6.7) получим:

₂₀E_x= =R x 0,13239.

Премия здесь составляет чуть больше 13% страховой суммы. Полученная величина представляет собой нетто-ставку страхования на дожитие, т.е. ставку, определенную из условия эквивалентности обязательств страхователя и страховщика. Напомним, что она не учитывает расходов страховщика на ведение дела.

Для того чтобы лучше понять смысл полученных результатов, предположим, что число застрахованных на дожитие равно 1000 человек, а страховая сумма равна 1 млн. руб. Таким образом:

Число застрахованных	1000
Премия от одного застрахованного	132390руб.
Общая сумма премии	132 390 тыс. руб.
Сумма с процентами за 20 лет	741 980 тыс. руб.
Количество доживших до 60 лет	742 (741,198)
Общая сумма выплат	742 000 тыс. руб.

Как видим, наблюдается полная сбалансированность между взносами и выплатами, демонстрирующая соблюдение принципа эквивалентности обязательств страхователей и страховщика (небольшая разница объясняется округлением числа доживших).

Приведенный пример иллюстрирует действие принципа солидарной ответственности страхователей. Дело в том, что страхователь, доживший до 60 лет, часть денег получил за счет тех страхователей, которые не дожили до обусловленного возраста. В самом деле, если бы оговоренную сумму (1 млн. руб.) он обеспечивал самостоятельно (без солидарной ответственности всех участников), то ему необходимо было внести не 132 тыс. руб., а 178 тыс. руб.

Как было показано, в разовом страховании на дожитие страховые аннуитеты не применялись, однако в пенсионном страховании (которое фактически представляет собой многократно повторяемое страхование на дожитие) такие аннуитеты являются исходным материалом для расчета тарифов или размеров пенсий. Об этом более подробно будет сказано в следующем параграфе.

Обратимся теперь к страхованию жизни. Страховая сумма, равная S, выплачивается в случае смерти застрахованного. Допустим, страховой договор заключается в возрасте х лет. Если застрахованный умрет на первом году страхования, а выплата страховой суммы производится в конце этого года, то с учетом вероятности страхового случая современная величина выплаты (на момент заключения контракта) составит q_xvS, если страховой случай наступит во втором году, то аналогичная величина равна ₂q_xv²S и т.д.

Единовременный нетто-тариф определим исходя из принципа эквивалентности обязательств. Искомая величина равна современной стоимости страхового аннуитета или математическому ожиданию суммы дисконтированных выплат. Необходимые для расчета вероятности определим по таблице смертности как d_x/l_x, d_x+1/l_x,..., d_w/l_x. Искомая величина определяется как

Как видим, здесь дисконтируются члены страхового аннуитета. Умножим и разделим каждое слагаемое на v^х и используем коммутационную функцию D_x, после чего получим:

Применив функцию М_х, находим:

(6.8)

Пример 6.3. Найдем величину премии в виде доли от страховой суммы для сорокалетнего мужчины при немедленном пожизненном страховании жизни:

A = = 0,14677S.

Аналогичным путем находятся страховые аннуитеты и тарифы для других условий страхования жизни.