- •Раздел 1 Начисление процентов 6
- •Глава 1. Простые проценты 6
- •Глава 2. Сложные проценты 22
- •Глава 3. Конверсия платежей. Эквивалентность процентных ставок 41
- •Раздел 2 Потоки платежей 51
- •Глава 4. Постоянные финансовые ренты 51
- •Глава 10. Форфейтная операция 137
- •Глава 11. Облигации 148
- •Глава 12. Измерение эффективности инвестиций 168
- •Предисловие
- •Раздел 1 Начисление процентов Глава 1. Простые проценты
- •1.1. Время как фактор в финансовых расчетах
- •1.2. Проценты, виды процентных ставок
- •1.3. Наращение по простой процентной ставке
- •1.4. Погашение задолженности частями
- •1.5. Наращение и выплата процентов в потребительском кредите
- •1.6. Дисконтирование и учет по простым процентным ставкам. Рост по учетной ставке
- •1.7. Ставка наращения и учетная ставка. Прямые и обратные задачи
- •1.8. Определение срока ссуды и величины процентной ставки
- •1.9. Конверсия валюты и наращение процентов
- •Глава 2. Сложные проценты
- •2.1. Начисление сложных годовых процентов
- •2.2. Рост по сложным и простым процентам
- •2.3. Наращение процентов т раз в году; номинальная и эффективная ставки
- •2.4. Дисконтирование по сложной ставке процента
- •2.5. Операции со сложной учетной ставкой
- •2.6. Сравнение интенсивности процессов наращения и дисконтирования по разным видам процентных ставок
- •2.7. Непрерывное наращение и дисконтирование — непрерывные проценты
- •2.8. Определение срока платежа и процентных ставок
- •2.9. Кривые доходности
- •2.10. Конверсия валюты и наращение сложных процентов
- •2.11. Наращение процентов, налоги и инфляция (простые и сложные проценты)
- •Глава 3. Конверсия платежей. Эквивалентность процентных ставок
- •3.1. Финансовая эквивалентность обязательств
- •3.2. Консолидирование задолженности
- •3.3. Общая постановка задачи изменения условий выплаты платежей
- •3.4. Эквивалентность процентных ставок
- •3.5. Средние процентные ставки
- •Раздел 2 Потоки платежей Глава 4. Постоянные финансовые ренты
- •4.1. Виды потоков платежей и их основные параметры
- •4.2. Наращенная сумма постоянной ренты постнумерандо
- •4.3. Современная стоимость постоянной ренты постнумерандо
- •4.4. Определение параметров постоянных рент постнумерандо
- •4.5. Наращенные суммы и современные стоимости других видов постоянных рент
- •4.6. Взаимоувязанные, последовательные потоки платежей
- •4.7. Постоянная непрерывная рента
- •Глава 5. Переменные потоки платежей
- •5.1. Ренты с постоянным абсолютным приростом платежей
- •5.2. Ренты с постоянным относительным приростом платежей
- •5.3. Непрерывные переменные потоки платежей
- •5.4. Конверсии постоянных аннуитетов
- •5.5. Изменения параметров ренты
- •Раздел 3 Практические приложения количественного финансового анализа Глава 6. Страховые аннуитеты
- •6.1. Финансовые ренты в страховании
- •6.2. Страхование жизни
- •6.3. Пенсионное страхование
- •6.4. Расчеты тарифов и размеров пенсий
- •6.5. Сберегательное (трастовое) обеспечение пенсий
- •Глава 7. Планирование погашения долгосрочной задолженности
- •7.1. Расходы по обслуживанию долга
- •7.2. Планирование погасительного фонда
- •7.3. Погашение долга в рассрочку
- •7.4. Льготные займы и кредиты
- •7.5. Реструктурирование займа
- •Глава 8. Ипотечные ссуды. Погашение потребительского кредита
- •8.1. Виды ипотечных ссуд
- •8.2. Расчеты по стандартным ипотечным ссудам
- •8.3. Нестандартные ипотеки
- •8.4. Погашение потребительского кредита
- •Глава 9. Анализ кредитных операций
- •9.1. Полная доходность
- •9.2. Баланс финансово-кредитной операции
- •9.3. Доходность ссудных и учетных операций с удержанием комиссионных
- •9.4. Доходность купли-продажи финансовых инструментов
- •9.5. Доходность потребительского кредита
- •9.6. Долгосрочные ссуды
- •9.7. Сравнение коммерческих контрактов
- •9.8. Определение предельных значений параметров контрактов
- •Глава 10. Форфейтная операция
- •10.1. Сущность операции а форфэ
- •10.2. Анализ позиции продавца
- •10.3. Анализ позиций покупателя и банка
- •Глава 11. Облигации
- •11.1. Виды облигаций и их рейтинг
- •11.2. Измерение доходности облигаций
- •11.3. Дополнительные сведения по измерению доходности облигаций
- •11.4. Характеристики поступления средств от облигации и измерение риска
- •11.5. Оценка займов и облигаций
- •11.6. Возмещение премии и накопление дисконта облигаций
- •11.7. Портфель облигаций
- •11.8. Изменение структуры портфеля облигаций. Метод "бабочки"
- •Глава 12. Измерение эффективности инвестиций
- •12.1. Инвестиционный процесс как объект количественного финансового анализа
- •12.2. Чистый приведенный доход
- •12.3. Основные измерители эффективности капиталовложений
- •12.4. Измерение эффективности сложных систем. Моделирование инвестиционного процесса
- •12.5. Аренда оборудования
- •Приложение. Таблицы для финансовых расчетов
11.2. Измерение доходности облигаций
Доходность облигаций. Доходность облигаций характеризуется несколькими показателями. Различают купонную (coupon rate), текущую (current, running yield) и полную доходность (yield to maturity, redemption yield, yield).
Купонная доходность определена при выпуске облигации, и, следовательно, нет необходимости ее рассчитывать. Текущая доходность характеризует отношение поступлений по купонам к цене приобретения облигации. Этот параметр не учитывает второй источник дохода — получение номинала или выкупной цены в конце срока. Поэтому он непригоден при сравнении доходности разных видов облигаций. Достаточно отметить, что у облигаций с нулевым купоном текущая доходность равна нулю. В то же время они могут быть весьма доходными, если учитывать весь срок их "жизни".
Наиболее информативным является показатель полной доходности, который учитывает оба источника дохода. Именно этот показатель пригоден для сравнения доходности инвестиций в облигации и другие ценные бумаги. Итак, полная доходность, или, если применить старую коммерческую терминологию, ставка помещения, измеряет реальную эффективность инвестиций в облигацию для инвестора в виде годовой ставки сложных процентов. Иначе говоря, начисление процентов по ставке помещения на цену приобретения облигации полностью обеспечивает выплату купонного дохода и сумму для погашения облигации в конце срока.
Рассмотрим методику определения показателей доходности различных видов облигаций в той последовательности, которая принята выше при классификации облигаций по способу выплаты дохода.
Облигации без обязательного погашения с периодической выплатой процентов. Хотя подобного вида облигации встречаются крайне редко, знакомство с ними необходимо для получения полного представления о методике измерения доходности. При анализе данного вида облигаций выплату номинала в необозримом будущем во внимание не принимаем.
Введем следующие обозначения:
g — объявленная норма годового дохода (купонная ставка процента);
it — текущая доходность;
i — полная доходность (ставка помещения).
Текущая доходность находится следующим образом:
it = 100. (11.2)
Если по купонам выплата производится р раз в году (каждый раз по ставке g/p), то и в этом случае на практике применяется «формула (11.2), хотя суммирование доходов, выплачиваемых в разные моменты времени, строго говоря, некорректно.
Поскольку купонный доход постоянен, то текущая доходность продаваемых облигаций изменяется вместе с изменением их рыночной цены. Для владельца облигации, который уже инвестировал некоторые средства, эта величина постоянна.
Перейдем к полной доходности. Поскольку доход по купонам является единственным источником текущих поступлений, то очевидно, что полная доходность у рассматриваемых облигаций равна текущей в случае, когда выплаты по купонам — ежегодные: i = it. Если же проценты выплачиваются р раз в году (каждый раз по норме g/p), то согласно (2.8) получим
(11.3)
Пример 11.1. Вечная рента, приносящая 4,5% дохода, куплена по курсу 90. Какова финансовая эффективность инвестиции при условии, что проценты выплачиваются раз в году, поквартально (p = 4)?
i = it = 100 = 0,05; i = - 1 = 0,0509.
Облигации без выплаты процентов. Данный вид облигации обеспечивает ее владельцу в качестве дохода разность между номиналом и ценой приобретения. Курс такой облигации всегда меньше 100. Для
определения ставки помещения приравняем современную стоимость номинала цене приобретения:
Nvn = P, или vn = ,
где n — срок до выкупа облигации. После чего получим
(11.4)
Пример 11.2. Корпорация X выпустила облигации с нулевым купоном с погашением через пять лет. Курс реализации — 45. Доходность облигации на дату погашения
т.е. облигация обеспечивает инвестору 17,316% годового дохода.
Облигации с выплатой процентов и номинала в конце срока. Проценты здесь начисляются за весь срок и выплачиваются одной суммой (lump sum) вместе с номиналом. Купонного дохода нет. Поэтому текущую доходность условно можно считать нулевой, поскольку соответствующие проценты получают в конце срока.
Найдем полную доходность, приравняв современную стоимость дохода цене облигации:
(1 + g)nNvn = P, или .
Из последней формулы следует, что
(11.5)
Если курс облигации меньше 100, то i > g.
Пример 11.3. Облигация, приносящая 10% годовых относительно номинала, куплена по курсу 65, срок до погашения — три года. Если номинал и проценты выплачиваются в конце срока, то полная доходность для инвестора составит
i = - 1 = 0,26956, или 26,956%.
Облигации с периодической выплатой процентов и погашением номинала в конце срока. Этот вид облигаций получил наибольшее распространение в современной практике. Для такой облигации можно получить все три показателя доходности — купонную, текущую и полную. Текущая доходность рассчитывается по полученной выше формуле (11.2). Что касается полной доходности, то для ее определения необходимо современную стоимость всех поступлений приравнять цене облигации. Дисконтированная величина номинала равна Nvn. Поскольку поступления по купонам представляют собой постоянную ренту постнумерандо, то член такой ренты равен gN, а современная ее стоимость составит gNan;i (если купоны оплачиваются ежегодно) и , если эти выплаты поизводятся р раз в году (каждый раз по ставке g/p). В итоге получим следующие равенства:
для облигации с годовыми купонами
(11.6)
Разделив на N, находим
(11.7)
для облигации с погашением купонов по полугодиям и поквартально получим
(11.8)
где — коэффициент приведения p-срочной ренты (р = 2, р = 4).
Во всех приведенных формулах vn означает дисконтный множитель по неизвестной годовой ставке помещения i.
В зарубежной практике, однако, для облигаций с полугодовыми и квартальными выплатами текущего дохода для дисконтирования применяется годовая номинальная ставка помещения, причем число раз дисконтирования в году обычно принимается равным числу выплат купонного дохода. Таким образом, исходное для расчета ставки помещения равенство имеет вид
(11.9)
где i — номинальная годовая ставка;
рп — общее количество купонных выплат; g — годовой процент выплат по купонам.
При решении приведенных выше равенств относительно неизвестной величины i сталкиваются с такими же проблемами, что и при расчете i по заданной величине коэффициента приведения ренты — см. параграф 4.5. Искомые значения ставки помещения рассчитываются или с помощью интерполяции, или каким-либо итерационным методом.
Оценим i с помощью линейной интерполяции:
(11.10)
где i' и i" — нижнее и верхнее значения ставки помещения, ограничивающие интервал, в пределах которого, как ожидается, находится неизвестное значение ставки;
K', K" — расчетные значения курса соответственно для ставок i', i". Интервал ставок для интерполяции определяется с учетом того, что i > g при K < 100.
Можно применить и метод приближенной оценки, согласно которому
. (11.11)
В этой формуле средний годовой доход от облигации соотносится со средней ее ценой. За простоту расчета, впрочем, приходится платить потерей точности оценки.
Пример 11.4. Облигация со сроком пять лет, проценты по которой выплачиваются один раз в году по норме 8%, куплена по курсу 97.
Текущая доходность по облигации 8/97 = 0,08247.
Для оценки полной доходности запишем исходное равенство (11.7):
0,97 = (1 + i)-5 + 0,08a5;i.
Для интерполяции примем следующие значения ставок: i' = 0,085, i" = 0,095. Согласно (11.7) находим
= 1,085-5 + 0,08а5;8,5 = 98,03;
= 1,095-5 + 0,095а5;9,5 = 94,24.
Отсюда
i = 8,5 + (9,5 - 8,5) = 8,77.
Для проверки рассчитаем курс для ставки помещения 8,77%. Получим
= 1,0877-5 + 0,08а5;8,77 = 96,99.
Как видим, расчетный курс весьма близок к рыночному — 97. Приближенное решение по (11.11) дает
i = = 8,73,
что соответствует рыночному курсу 97,2. Погрешность выше, чем при использовании линейной интерполяции.
Облигации с выкупной ценой, отличающейся от номинала. В этом случае проценты начисляются на сумму номинала, а прирост капитала равен С - Р, где С — выкупная цена. Соответственно при оценке ставки помещения необходимо внести соответствующие коррек-
тивы в приведенные выше формулы. Например, внеся коррективы в (11.6) и (11.7), получим
(11.12)(11.13)
а вместо (11.11)
(11.14)
Пример 11.5. Сравним по доходности две облигации с ежегодными выплатами процентов (табл. 11.1). Параметры облигации A взяты из предыдущего примера.
Таблица 11.1
Облигация |
Номинал/ выкупная цена |
Срок, лет |
Купонный доход, % |
Курс |
А |
100/100 |
5 |
8 |
97 |
В |
100/110 |
6 |
11 |
120 |
Показатели доходности для этих облигаций приведены в табл. 11.2.
Таблица 11.2
|
Показатели доходности |
||
Облигация |
Купонная |
Текущая |
Полная |
А |
8 |
8,25 |
8,77 (8,73) |
Б |
11 |
9,17 |
8,04 (8,12) |
Как видим, в отношении полной доходности преимущество на стороне облигации A, хотя текущая доходность у нее ниже, чём у второй. Приближенный метод расчета по (11.11) — соответствующие показатели приведены в скобках — заметно завысил оценку показателя полной доходности у облигации Б.
Все рассмотренные выше формулы для расчета полной доходности предполагают, что оценка производится на начало срока облигации или на дату выплаты процентов. Для случая, когда оценка производится на момент между двумя датами выплат процентов, приведенные формулы дадут смещенные оценки.