- •Раздел 1 Начисление процентов 6
- •Глава 1. Простые проценты 6
- •Глава 2. Сложные проценты 22
- •Глава 3. Конверсия платежей. Эквивалентность процентных ставок 41
- •Раздел 2 Потоки платежей 51
- •Глава 4. Постоянные финансовые ренты 51
- •Глава 10. Форфейтная операция 137
- •Глава 11. Облигации 148
- •Глава 12. Измерение эффективности инвестиций 168
- •Предисловие
- •Раздел 1 Начисление процентов Глава 1. Простые проценты
- •1.1. Время как фактор в финансовых расчетах
- •1.2. Проценты, виды процентных ставок
- •1.3. Наращение по простой процентной ставке
- •1.4. Погашение задолженности частями
- •1.5. Наращение и выплата процентов в потребительском кредите
- •1.6. Дисконтирование и учет по простым процентным ставкам. Рост по учетной ставке
- •1.7. Ставка наращения и учетная ставка. Прямые и обратные задачи
- •1.8. Определение срока ссуды и величины процентной ставки
- •1.9. Конверсия валюты и наращение процентов
- •Глава 2. Сложные проценты
- •2.1. Начисление сложных годовых процентов
- •2.2. Рост по сложным и простым процентам
- •2.3. Наращение процентов т раз в году; номинальная и эффективная ставки
- •2.4. Дисконтирование по сложной ставке процента
- •2.5. Операции со сложной учетной ставкой
- •2.6. Сравнение интенсивности процессов наращения и дисконтирования по разным видам процентных ставок
- •2.7. Непрерывное наращение и дисконтирование — непрерывные проценты
- •2.8. Определение срока платежа и процентных ставок
- •2.9. Кривые доходности
- •2.10. Конверсия валюты и наращение сложных процентов
- •2.11. Наращение процентов, налоги и инфляция (простые и сложные проценты)
- •Глава 3. Конверсия платежей. Эквивалентность процентных ставок
- •3.1. Финансовая эквивалентность обязательств
- •3.2. Консолидирование задолженности
- •3.3. Общая постановка задачи изменения условий выплаты платежей
- •3.4. Эквивалентность процентных ставок
- •3.5. Средние процентные ставки
- •Раздел 2 Потоки платежей Глава 4. Постоянные финансовые ренты
- •4.1. Виды потоков платежей и их основные параметры
- •4.2. Наращенная сумма постоянной ренты постнумерандо
- •4.3. Современная стоимость постоянной ренты постнумерандо
- •4.4. Определение параметров постоянных рент постнумерандо
- •4.5. Наращенные суммы и современные стоимости других видов постоянных рент
- •4.6. Взаимоувязанные, последовательные потоки платежей
- •4.7. Постоянная непрерывная рента
- •Глава 5. Переменные потоки платежей
- •5.1. Ренты с постоянным абсолютным приростом платежей
- •5.2. Ренты с постоянным относительным приростом платежей
- •5.3. Непрерывные переменные потоки платежей
- •5.4. Конверсии постоянных аннуитетов
- •5.5. Изменения параметров ренты
- •Раздел 3 Практические приложения количественного финансового анализа Глава 6. Страховые аннуитеты
- •6.1. Финансовые ренты в страховании
- •6.2. Страхование жизни
- •6.3. Пенсионное страхование
- •6.4. Расчеты тарифов и размеров пенсий
- •6.5. Сберегательное (трастовое) обеспечение пенсий
- •Глава 7. Планирование погашения долгосрочной задолженности
- •7.1. Расходы по обслуживанию долга
- •7.2. Планирование погасительного фонда
- •7.3. Погашение долга в рассрочку
- •7.4. Льготные займы и кредиты
- •7.5. Реструктурирование займа
- •Глава 8. Ипотечные ссуды. Погашение потребительского кредита
- •8.1. Виды ипотечных ссуд
- •8.2. Расчеты по стандартным ипотечным ссудам
- •8.3. Нестандартные ипотеки
- •8.4. Погашение потребительского кредита
- •Глава 9. Анализ кредитных операций
- •9.1. Полная доходность
- •9.2. Баланс финансово-кредитной операции
- •9.3. Доходность ссудных и учетных операций с удержанием комиссионных
- •9.4. Доходность купли-продажи финансовых инструментов
- •9.5. Доходность потребительского кредита
- •9.6. Долгосрочные ссуды
- •9.7. Сравнение коммерческих контрактов
- •9.8. Определение предельных значений параметров контрактов
- •Глава 10. Форфейтная операция
- •10.1. Сущность операции а форфэ
- •10.2. Анализ позиции продавца
- •10.3. Анализ позиций покупателя и банка
- •Глава 11. Облигации
- •11.1. Виды облигаций и их рейтинг
- •11.2. Измерение доходности облигаций
- •11.3. Дополнительные сведения по измерению доходности облигаций
- •11.4. Характеристики поступления средств от облигации и измерение риска
- •11.5. Оценка займов и облигаций
- •11.6. Возмещение премии и накопление дисконта облигаций
- •11.7. Портфель облигаций
- •11.8. Изменение структуры портфеля облигаций. Метод "бабочки"
- •Глава 12. Измерение эффективности инвестиций
- •12.1. Инвестиционный процесс как объект количественного финансового анализа
- •12.2. Чистый приведенный доход
- •12.3. Основные измерители эффективности капиталовложений
- •12.4. Измерение эффективности сложных систем. Моделирование инвестиционного процесса
- •12.5. Аренда оборудования
- •Приложение. Таблицы для финансовых расчетов
5.3. Непрерывные переменные потоки платежей
В предыдущей главе были обсуждены непрерывные потоки платежей. Однако там предполагалось, что годовая сумма R непрерывно и равномерно распределена в пределах года. Такой поток денежных поступлений или выплат не является единственно возможным. На практике, особенно при анализе инвестиций в производство, поток платежей может существенно изменяться во времени, в том числе и следуя какому-либо закону.
Если поток платежей непрерывен и описывается некоторой функцией Rt = f(t), то общая сумма поступлений за время n равна
В этом случае наращенная сумма (при начислении процентов используется процентная ставка в виде силы роста) находится как
Современная стоимость такого потока определяется как
Для того чтобы рассчитать величины A и S, необходимо определить конкретный вид функции потока платежей и значения ее параметров. Ниже рассматриваются методы расчета современных стоимостей для двух видов функций — линейной и экспоненциальной. Наращенные суммы таких потоков легко определить исходя из соотношения:
(5.20)
Линейно изменяющийся непрерывный поток платежей. Функция потока:
Rt = R0 + at,
где r0 — начальный размер платежа, выплачиваемого в единицу времени, в котором измеряется срок ренты.
Современная стоимость получена с помощью интегрирования функции потока платежей:
(5.21)
где — коэффициент приведения постоянной непрерывной ренты (см. формулу (4.48)).
Первый вариант записи результата интегрирования наглядно демонстрирует влияние начального размера платежа и приростов.
Пример 5.7. Намечается в течение трех лет увеличивать ежегодно выпуск продукции на 1 млрд. руб. Базовый уровень выпуска — 10 млрд. руб. Необходимо определить суммарный стоимостный объем выпуска с начислением процентов — сила роста 8%.
Для начала определим современную стоимость данного непрерывного потока поступлений:
= 2,66715; A = 30,5 млн. руб. Затем находим наращенную сумму S = 30,5 х е0,08x3 = 38,8 млн. руб.
Практически важной является проблема оценки размера процентной ставки, если заданы все остальные параметры потока платежей. Оценка осуществляется с помощью метода Ньютона - Рафсона (см. формулу (4.41)). Необходимые для этого функции имеют следующий вид:
(5.22)
(5.23)
Функция (5.22) получена путем простого преобразования (5.21); функция (5.23) — производная от (5.22).
Пример 5.8. Капиталовложения составят 1000 млн. руб., начальная отдача от них оценивается в сумме 300 млн. руб. в год. Предполагается, что отдача будет непрерывно увеличиваться в течение всего периода эксплуатации (пять лет) — по 10 млн. в год. Какова доходность инвестиций, измеренная в виде силы роста и годовой процентной ставки?
По условиям задачи: A = 1000, R = 300, а = 10, п = 5. Пусть первая оценка силы роста — 17%. По формулам (5.22) и (5.23) находим f (0,17) = 14,08; f' (0,17) =-525. Отсюда:
Проверка: по формуле (5.21) получим A = 1021. Иначе говоря, ставка несколько занижена. Выполним еще одну итерацию: f (0,197) = 4,1; f' (0,197) = 654.
Из этого следует:
В этом случае A = 1000. Показатель доходности в виде годовой ставки сложных процентов i = e0,2033 - 1 = 0,2254, или 22,33% годовых.
Экспоненциальный рост платежей. Функция потока платежей:
Rt = R x eqt, (5.24)
где q — непрерывный темп прироста платежей.
Современная величина такой ренты определяется следующим образом:
(5.25)
Нетрудно найти зависимость непрерывных и дискретных темпов прироста и процентных ставок:
(5.26)
Пример 5.9. Ожидается, что прирост доходов составит 5% в год. Какова современная стоимость и наращенная сумма потока доходов, если R = 100, i = 7%, n = 3 года. Из условий задачи следует:
Таким образом,
= 291,5;
S = A(l + i)3 = 291,5 х 1,073 = 357,17.