2.4. Дисконтирование по сложной ставке процента

При изучении простых процентов мы обсуждали математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет. Первое заключалось в определении Р по значению S при заданной ставке процента, второе — при заданной учетной ставке. Применим математическое дисконтирование по сложной ставке процента. На основе (2.1) получим:

, (2.10)

vⁿ = (1 + i)^-n = 1/qⁿ. (2.11)

Величину vⁿ называют дисконтным множителем (discount factor). Значения множителя легко табулировать (см. Приложение, табл. 3).

Для случаев, когда проценты начисляются т раз в году, получим:

, (2.12)

v^mn = (1 + j/m)^-mn. (2.13)

Величину Р, полученную дисконтированием S, называют современной величиной (present value), или современной стоимостью S. Современная стоимость может быть рассчитана на любой момент до выплаты суммы S. Разность S - P, в случае когда Р определено дисконтированием, называют дисконтом (discount). Обозначим последний через D:

D = S - P = S(1 - vⁿ); D = S - P = S(1 - v^mn).

Пример 2.9. Сумма 5 млн. руб. выплачивается через пять лет. Необходимо определить ее современную стоимость при условии, что применяется ставка сложных процентов, равная 12% годовых. Дисконтный множитель для данных условий составит vⁿ = 1,12^-5 = 0,565743, т.е. сумма уменьшается (дисконтируется) почти на 44%. Современная ее величина равна

Р = 5 000 000 х 1,12^-5 = 2 837 134,28 руб.

Современная величина суммы денег — одна из важнейших характеристик, применяемых в финансовом анализе. Кратко остановимся на некоторых ее формальных свойствах. Прежде всего отметим очевидное свойство — чем выше ставка процента, тем сильнее дисконтирование при всех прочих равных условиях (рис. 2.4). Например, если в примере 2.9 увеличить ставку вдвое, то дисконтный множитель снизится с 0,5674 до 0,3411. Значение дисконтного множителя уменьшается и с ростом величины т.

Влияние срока платежа также очевидно — с увеличением срока при прочих равных условиях размер современной стоимости убывает. Отсюда следует, что при очень больших сроках она крайне незначительна. Например, если взять весьма умеренную ставку i = = 12%, то для п = 10, п = 50 и п = 100 получим следующие значения дисконтных множителей: 0,32197, 0,00346 и 0,000012.

Заметим, что инфляционные ставки приводят к бессмысленным результатам даже при относительно небольших сроках: например, при ставке 200% и сроке пять лет дисконтный множитель равен 0,004116, т.е. близок к нулю.

2.5. Операции со сложной учетной ставкой

Учет по сложной учетной ставке. В практике учетных операций иногда применяют сложную учетную ставку (compound discount rate). В этих случаях процесс дисконтирования происходит с замедлением, так как каждый раз учетная ставка применяется не к первоначальной сумме (как при простой учетной ставке), а к сумме, уже дисконтированной на предыдущем шаге во времени. Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле

P = S(1 - d)ⁿ, (2.14)

где d — сложная годовая учетная ставка.

Пример 2.10. Финансовый инструмент на сумму 5 млн. руб., срок платежа по которому наступает через пять лет, продан с дисконтом по сложной учетной ставке 15% годовых. Какова сумма дисконта?

Р = 5 000 000(1 - 0,15)⁵ = 2 218 526,56;

D = S - P = 2 781 473,44 руб.

Следует отметить, что дисконтирование по сложной учетной ставке выгоднее для должника, чем дисконтирование по простой учетной ставке. Сказанное становится понятным при сравнении формул для дисконтных множителей: (1 -nd_s) и (1 - d)ⁿ; здесь d_s — простая, d — сложная учетная ставка. Согласно первой формуле значение дисконтного множителя равномерно уменьшается по мере роста n и достигает нуля при n = l/d_s. Согласно второй множитель экспоненциально уменьшается и достигает нуля лишь в пределе, при n =∞. Величины дисконтных множителей при применении простой и сложной учетной ставки (w_s, w) показаны на рис. 2.5.

Номинальная и эффективная учетная ставка. По аналогии с номинальной и эффективной ставкой процентов введем понятия "номинальная" и "эффективная учетная ставка". Обозначим номинальную учетную ставку как f. Пусть дисконтирование производится не один, a m раз в году, т.е. каждый раз по ставке f/m. В этом случае

P = S(l - f/m)^mn, (2.15)

где f — номинальная годовая учетная ставка (nominal discount rate).

Эффективная учетная ставка характеризует результат дисконтирования за год. Она находится из равенства

(1 - d) = (1 - f/m)^m,

откуда

d = 1 - (1 -f/m)^m.

Для одних и тех же условий операции эффективная учетная ставка меньше номинальной.

Пример 2.11. По данным примера 2.10 определим сумму, полученную при поквартальном дисконтировании по номинальной учетной ставке 15%. В данном случае f = 0,15; т = 4.

P = 5 000 000(1 - 0,15/4)²⁰ = 2 328 009,61 руб.

Эффективная учетная ставка составит

d = l - (1 - 0,15/4)⁴ = 0,14177, или 14,177%.

Наращение по сложной учетной ставке. Выше мы имели дело с наращением на основе сложной ставки процентов (ставки наращения). Однако это не единственный возможный метод. Иногда наращение достигается и с помощью сложной учетной ставки. Из формул (2.14) и (2.15) следует:

(2.16) (2.17)

Множитель наращения при использовании сложной ставки d, очевидно, равен .