2.2. Рост по сложным и простым процентам

Для того чтобы сопоставить результаты наращения по разным процентным ставкам, достаточно сравнить соответствующие множители наращения. Нетрудно убедиться в том, что при одинаковых уровнях процентных ставок соотношения этих множителей существенно зависят от срока. Для того чтобы различать сложные и простые ставки, введем подписной индекс s для ставки простых процентов. Получим следующие соотношения множителей наращения:

для срока меньше года простые проценты больше сложных: (1 + ni_s) > (1 + i)ⁿ;

для срока больше года сложные проценты больше простых: (1 + ni_s) < (1 + i)ⁿ;

наконец, для срока, равного году, множители наращения равны друг другу при условии, что временная база для начисления процентов одна и та же.

Заметим также, что с увеличением срока (при n > 1) различие в последствиях применения простых и сложных процентов усиливается. Графическая иллюстрация соотношения множителей наращения приведена на рис. 2.3. В табл. 2.1 содержатся значения множителей наращения для i_s = i = 12%, K = 365 дней.

Таблица 2.1

Сравнение множителей наращения (i_s = i = 12%)

Множители наращения	Срок ссуды
	30 дней	180 дней	1 год	5 лет	10 лет	100 лет
1 + nis	1,01644	1,05918	1,12	1,6	2,2	13,0
(1 + i)n	1,00936	1,05748	1,12	1,76234	3,10584	83522,3

Срок ссуды и формулы удвоения. Различия в последствиях применения простых и сложных процентов наиболее наглядно проявляются при определении времени, необходимого для увеличения первоначальной суммы в N раз. В этом случае множитель наращения, очевидно, равен N, следовательно,

для простых процентов 1 + ni_s = N, откуда

(2.5)

для сложных процентов (1 + i)ⁿ = N, откуда

(2.6)

Пример 2.4. Определим число лет, необходимое для увеличения первоначального капитала в пять раз, применяя сложные и простые проценты по ставке 15% годовых:

Наиболее наглядно влияние вида ставки можно охарактеризовать, сопоставляя числа лет, необходимые для удвоения первоначальной суммы. В этом случае, положив N = 2, получим следующие формулы удвоения:

удвоение по простым процентам:

удвоение по сложным процентам:

.

Пример 2.5. Найдем сроки удвоения для i = 25,5%:

Результаты применения формул удвоения для ряда значений процентных ставок приведены в табл. 2.2.

Таблица 2.2 Срок, необходимый для удвоения суммы долга

Число лет	Ставка, %
	Сложные проценты	Простые проценты
5	14,21	20
10	7,27	10
15	5	6,67
25	3,11	4