- •Раздел 1 Начисление процентов 6
- •Глава 1. Простые проценты 6
- •Глава 2. Сложные проценты 22
- •Глава 3. Конверсия платежей. Эквивалентность процентных ставок 41
- •Раздел 2 Потоки платежей 51
- •Глава 4. Постоянные финансовые ренты 51
- •Глава 10. Форфейтная операция 137
- •Глава 11. Облигации 148
- •Глава 12. Измерение эффективности инвестиций 168
- •Предисловие
- •Раздел 1 Начисление процентов Глава 1. Простые проценты
- •1.1. Время как фактор в финансовых расчетах
- •1.2. Проценты, виды процентных ставок
- •1.3. Наращение по простой процентной ставке
- •1.4. Погашение задолженности частями
- •1.5. Наращение и выплата процентов в потребительском кредите
- •1.6. Дисконтирование и учет по простым процентным ставкам. Рост по учетной ставке
- •1.7. Ставка наращения и учетная ставка. Прямые и обратные задачи
- •1.8. Определение срока ссуды и величины процентной ставки
- •1.9. Конверсия валюты и наращение процентов
- •Глава 2. Сложные проценты
- •2.1. Начисление сложных годовых процентов
- •2.2. Рост по сложным и простым процентам
- •2.3. Наращение процентов т раз в году; номинальная и эффективная ставки
- •2.4. Дисконтирование по сложной ставке процента
- •2.5. Операции со сложной учетной ставкой
- •2.6. Сравнение интенсивности процессов наращения и дисконтирования по разным видам процентных ставок
- •2.7. Непрерывное наращение и дисконтирование — непрерывные проценты
- •2.8. Определение срока платежа и процентных ставок
- •2.9. Кривые доходности
- •2.10. Конверсия валюты и наращение сложных процентов
- •2.11. Наращение процентов, налоги и инфляция (простые и сложные проценты)
- •Глава 3. Конверсия платежей. Эквивалентность процентных ставок
- •3.1. Финансовая эквивалентность обязательств
- •3.2. Консолидирование задолженности
- •3.3. Общая постановка задачи изменения условий выплаты платежей
- •3.4. Эквивалентность процентных ставок
- •3.5. Средние процентные ставки
- •Раздел 2 Потоки платежей Глава 4. Постоянные финансовые ренты
- •4.1. Виды потоков платежей и их основные параметры
- •4.2. Наращенная сумма постоянной ренты постнумерандо
- •4.3. Современная стоимость постоянной ренты постнумерандо
- •4.4. Определение параметров постоянных рент постнумерандо
- •4.5. Наращенные суммы и современные стоимости других видов постоянных рент
- •4.6. Взаимоувязанные, последовательные потоки платежей
- •4.7. Постоянная непрерывная рента
- •Глава 5. Переменные потоки платежей
- •5.1. Ренты с постоянным абсолютным приростом платежей
- •5.2. Ренты с постоянным относительным приростом платежей
- •5.3. Непрерывные переменные потоки платежей
- •5.4. Конверсии постоянных аннуитетов
- •5.5. Изменения параметров ренты
- •Раздел 3 Практические приложения количественного финансового анализа Глава 6. Страховые аннуитеты
- •6.1. Финансовые ренты в страховании
- •6.2. Страхование жизни
- •6.3. Пенсионное страхование
- •6.4. Расчеты тарифов и размеров пенсий
- •6.5. Сберегательное (трастовое) обеспечение пенсий
- •Глава 7. Планирование погашения долгосрочной задолженности
- •7.1. Расходы по обслуживанию долга
- •7.2. Планирование погасительного фонда
- •7.3. Погашение долга в рассрочку
- •7.4. Льготные займы и кредиты
- •7.5. Реструктурирование займа
- •Глава 8. Ипотечные ссуды. Погашение потребительского кредита
- •8.1. Виды ипотечных ссуд
- •8.2. Расчеты по стандартным ипотечным ссудам
- •8.3. Нестандартные ипотеки
- •8.4. Погашение потребительского кредита
- •Глава 9. Анализ кредитных операций
- •9.1. Полная доходность
- •9.2. Баланс финансово-кредитной операции
- •9.3. Доходность ссудных и учетных операций с удержанием комиссионных
- •9.4. Доходность купли-продажи финансовых инструментов
- •9.5. Доходность потребительского кредита
- •9.6. Долгосрочные ссуды
- •9.7. Сравнение коммерческих контрактов
- •9.8. Определение предельных значений параметров контрактов
- •Глава 10. Форфейтная операция
- •10.1. Сущность операции а форфэ
- •10.2. Анализ позиции продавца
- •10.3. Анализ позиций покупателя и банка
- •Глава 11. Облигации
- •11.1. Виды облигаций и их рейтинг
- •11.2. Измерение доходности облигаций
- •11.3. Дополнительные сведения по измерению доходности облигаций
- •11.4. Характеристики поступления средств от облигации и измерение риска
- •11.5. Оценка займов и облигаций
- •11.6. Возмещение премии и накопление дисконта облигаций
- •11.7. Портфель облигаций
- •11.8. Изменение структуры портфеля облигаций. Метод "бабочки"
- •Глава 12. Измерение эффективности инвестиций
- •12.1. Инвестиционный процесс как объект количественного финансового анализа
- •12.2. Чистый приведенный доход
- •12.3. Основные измерители эффективности капиталовложений
- •12.4. Измерение эффективности сложных систем. Моделирование инвестиционного процесса
- •12.5. Аренда оборудования
- •Приложение. Таблицы для финансовых расчетов
4.3. Современная стоимость постоянной ренты постнумерандо
Годовая рента. Напомним, что под современной стоимостью потока платежей понимают сумму дисконтированных членов этого потока на некоторый предшествующий момент времени. Вместо терминов "современная стоимость" и "современная величина" потока платежей в зависимости от контекста употребляют термины капитализированная стоимость и приведенная величина. Как было показано выше, современная стоимость потока платежей эквивалентна в финансовом смысле всем платежам, которые охватывает поток. В связи с этим данный показатель находит широкое применение в разнообразных финансовых расчетах (планирование погашения долгосрочных займов, реструктурирование долга, оценка и сравнение эффективности производственных инвестиций и т. д.). В общем виде метод определения современной величины потока платежей (метод прямого счета) рассмотрен в параграфе 4.1. Здесь же объектом анализа является постоянная финансовая рента.
Методы расчета современных стоимостей финансовых рент обсудим в том же порядке, что и методы наращения рент, и почти столь же детально. Начнем с самого простого случая — годовой ренты постнумерандо, член которой равен R, срок ренты n; ежегодное дисконтирование. Рента немедленная. В этих условиях дисконтированная величина первого платежа равна Rv, второго — Rv2, последнего — Rvn. Как видим, эти величины образуют ряд, следующий геометрической прогрессии, с первым членом Rv и знаменателем v. Обозначим сумму членов этой прогрессии как А. Найдем ее:
(4.14)
Назовем множитель, на который умножается R, коэффициентом приведения ренты, обозначим его как an;i. Этот коэффициент характеризует современную стоимость ренты с членом, равным 1. Чем выше значение i, тем меньше величина коэффициента. При увеличении срока ренты величина an;i стремится к некоторому пределу. При п = предельное значение коэффициента составит
(4.15)
Полученное выражение применяется при расчете современной стоимости вечной ренты. Об этом речь пойдет в параграфе 4.5.
График зависимости an;i от n показан на рис 4.2. Значения an;i табулированы. Фрагмент таблицы коэффициентов приведен в Приложении, табл. 5.
Пример 4.8. Рента постнумерандо характеризуется следующими параметрами: R = 4 млн. руб., п = 5. При дисконтировании по сложной ставке процента, равной 18,5% годовых, получим:
A = 4 х a5;18,5 = 4 = 4 x 3,092 = 12,368 млн. руб.
Таким образом, все будущие платежи оцениваются в настоящий момент в сумме 12,368 млн. руб. Иначе говоря, 12,368 млн. руб., размещенных под 18,5% годовых, обеспечивают ежегодную выплату по 4 млн. руб. в течение пяти лет.
Заметим, что формула (4.14) применяется и для определения современной стоимости p-срочной ренты. В этом случае переменная п означает число периодов, а i — ставку за период (но не годовую ставку).
Годовая рента, начисление процентов m раз в году. Не будем выводить формулу для этого случая, а заменим в формуле (4.14) дисконтный множитель (1 + i)-n на эквивалентную величину (1 +j/m)-mn, соответственно i заменим на (1 +j/m)m - 1, после чего имеем:
(4.16)
Рента p-срочная (m = 1). Если платежи производятся не один, a p раз в году, то коэффициенты приведения находятся так же, как и в случае годовой ренты. Только теперь размер платежа равен R/p, а число членов np. Сумма дисконтированных платежей равна:
(4.17)
Пример 4.9. В гл. 1 (параграф 1.1) упоминалась авария на химическом заводе в Бхопале (Индия). Корпорация "Юнион кар-байд" первоначально предложила в качестве компенсации пострадавшим 200 млн. долл., выплачиваемых в течение 35 лет. Предложение было отклонено (За рубежом. 1985. № 11). Выше было отмечено, что такая компенсация адекватна 57,6 млн. долл., выплаченных единовременно. Покажем, как была рассчитана эта сумма.
Если выплаты производятся помесячно на протяжении 35 лет равными суммами, то данный ряд платежей представляет собой постоянную ренту (p = 12) с годовой суммой выплат 200/35 = = 5,714 млн. долл. в год. Допустим, это рента постнумерандо. Тогда согласно формуле (4.17), положив i = 10%, получим:
A = 5,714 = 57,59 млн. долл.
Иначе говоря, капитал в сумме 57,59 млн. долл. при начислении 10% годовых был бы достаточен для выполнения обязательства.
Рента p-срочная (p = m). Число членов ренты здесь равно числу начислений процентов; величина члена ренты составляет R/m. В итоге
(4.18)
Искомый результат можно получить и по формуле (4.14) и при этом воспользоваться таблицей коэффициентов приведения постоянных рент. В этом случае вместо числа лет берется количество периодов ренты, процентная ставка и величина члена ренты определяются соответствующим образом (см. пример 4.5).
Рента p-срочная (p <> m). Сумма членов соответствующей прогрессии составит
(4.19)
Ренты с непрерывным начислением процентов. Пусть, как и выше, ряд состоит из ежегодных платежей, равных R, однако проценты начисляются непрерывно, сила роста равна . При дисконтировании по этой ставке всех членов ряда получим геометрическую про-грессию с первым членом R и знаменателем . Сумма членов про-грессии составит:
(4.20)
Если имеет место p-срочная рента, то
(4.21)
Пример 4.10. Для условий примера 4.8 при = 0,185 находим A = 4 =11,878 млн. руб.
Сравнение современных постоянных стоимостей рент постнумерандо с разными условиями. Как следует из приведенных примеров, величина современной стоимости заметно зависит от условий наращения процентов (точнее, дисконтирования) и частоты выплат в пределах года. Ниже приводятся соотношения современных стоимостей соответствующих рент. Современные стоимости обозначены как
A(p;m), причем (1;1) — годовая рента с ежегодным начислением процентов, (p; ) — p-срочная рента с непрерывным начислением процентов.
Для одних и тех же годовых сумм выплат и процентных ставок (i =^j = ) получим следующие неравенства:
Из приведенных неравенств следует, что рента с условиями p = 2 и m = 4 имеет меньшую современную стоимость, чем рента с p = 4 и m =2.
Зависимость между наращенной и современной стоимостью постоянной ренты. В параграфе 4.1 показана зависимость между A и S y произвольного потока платежей — см. формулу (4.3). Для годовых и p-срочных постоянных рент постнумерандо с ежегодным начислением процентов находим:
Аналогичным образом получим:
Svn=A.
Для рент с начислением процентов m раз в году имеем:
A(i +j/m)mn = S; (4.22)
S(i+j/m)-mn=A. (4.23)
Нетрудно догадаться, что в аналогичной зависимости находятся и соответствующие коэффициенты. В частности:
an;i(1 +i)n=sn;i; sn;ivn = an;i.
Пример 4.11. Найдем современную стоимость для варианта ренты p = m = 4, взяв за основу S = 31,785 (см. пример 4.5). По формуле (4.23) получим:
A = 31,785(1 + 0,185/4)-20 = 12,868 млн. руб.