8.2. Расчеты по стандартным ипотечным ссудам

Наиболее распространенной является ипотечная ссуда, условия которой предполагают равные взносы должника. Взносы ежемесячные — постнумерандо или пренумерандо. В договоре обычно устанавливается ежемесячная ставка процента, редко — годовая номинальная.

В осуществлении ипотеки при покупке (строительстве) объекта залога участвуют три агента: продавец, покупатель (должник), заимодавец (кредитор). Взаимосвязи между ними показаны на. рис. 8.1.

Продавец получает от покупателя за некоторое имущество полную его стоимость (120). Для того чтобы расплатиться, покупатель получает ссуду под залог этого имущества (100) и добавляет собственные средства (20). Задача заключается в определении размера ежемесячных погасительных платежей R и остатка задолженности на момент очередного ее погашения вплоть до полного погашения долга.

Поскольку погасительные платежи (взносы) представляют собой постоянную ренту, при решении поставленной задачи применим тот же принцип, что и при разработке плана погашения долгосрочного долга равными срочными уплатами. Для этого приравняем современную величину срочных уплат сумме ссуды. Для месячных взносов постнумерандо находим:

D = Ra_N;i,

где D — сумма ссуды;

N — общее число платежей, N = 12n (n — срок погашения в годах);

i — месячная ставка процента;

R — месячная сумма взносов;

a_N;i — коэффициент приведения постоянной ренты.

Искомая величина взноса составит:

(8.1)

В рамках решаемой проблемы величину с = 1/a_N;i можно назвать коэффициентом рассрочки.

Для рент пренумерандо получим:

(8.2)

Найденная по формуле (8.1) или (8.2) величина срочной уплаты является базой для разработки плана погашения долга. Согласно общепринятому правилу из этой суммы выплачиваются проценты, а остаток идет на погашение долга.

Пример 8.1. Под залог недвижимости выдана на десять лет ссуда в размере 100 млн. руб. Погашение ежемесячное, постнумерандо, на долг начисляются проценты по номинальной годовой ставке 12%. Таким образом, N = 120, i = 0,01; по формуле (8.1) находим a_I20;1 = 69,70052.

Для этих условий ежемесячные расходы должника равны:

R = = 1434,709 тыс. руб.

Проценты за первый месяц равны 100 000 х 0,01 = 1000 тыс. руб., на погашение долга остается 1434,71 - 1000 = 434,71 тыс. руб. План погашения долга представлен в табл. 8.1.

Таблица 8.1

Месяц	Остаток долга на начало месяца	Взнос	Проценты	Погашение долга
1	100000,00	1434,71	1000,00	434,71
2	99565,29	1434,71	995,65	439,06
3	99126,23	1434,71	991,26	443,45
...
37	81274,07	1434,71	812,74	621,97
38	80652,10	1434,71	806,52	628,19
39	80017,63	1434,71	800,24	634,47
...
118	4219,35	1434,71	42,20	1392,51
119	2826,94	1434,71	28,27	1406,44
20	1 420,50	1434,71	14,21	1420,50

Как показано в таблице, в первом месяце расходы на выплату процентов и погашение основного долга соотносятся как 1000 : 434,71; в последнем месяце — уже как 14,21 : 1420,5.

Перейдем к другой проблеме. При выдаче ссуды под залог для обеих сторон важно знать сумму погашенного долга и его остаток на любой промежуточный момент (необходимость в этом возникает, например, при прекращении договора или его пересмотре). С этой проблемой мы уже встречались выше при обсуждении метода погашения долга равными срочными уплатами. Применительно к условиям стандартной ипотеки находим следующие соотношения:

d_t = d_t-1 (1 + i) = d₁(1 + i)^t-1,

где d_t — сумма погашения долга;

t — порядковый номер месяца;

i — месячная ставка процента. Остаток долга на начало месяца:

D_{t - 1} = D_t - d_t; t = 1,..., 12n.

Последовательные суммы погашения долга представляют собой геометрическую прогрессию с первым членом d₁ и знаменателем (1 + i), причем:

d₁ = R - D_i (8.3)

Сумму членов этой прогрессии от начала погашения до t включительно найдем следующим образом:

W_t = d₁s_t;i, (8.4)

где s_t;i — коэффициент наращения постоянной ренты постнумерандо. Остаток долга на начало месяца находим как разность:

D_t+1 = D₁ - W_t. (8.5)

Пример 8.2. По условиям ипотечного займа примера 8.1 найдем остаток долга на начало, скажем, 118-го месяца:

D₁₁₈ = D₁ - W₁₁₇; W₁₁₇ = d₁s_117;1 = 434,71 х 220,3329 = 95780,65.

Отсюда

D₁₁₈ = 100000 - 95780,65 = 4219,35 тыс. руб.

Стандартная ипотека с неполным погашением задолженности и выплатой в конце срока остатка долга (balloon mortgage). Условия такой ипотеки позволяют уменьшить размеры периодических взносов и (или) сократить срок ссуды. Срочные уплаты рассчитываются таким образом, что они не покрывают всей задолженности, остаток (обозначим его как В) выплачивается в конце срока. Уравнение, балансирующее условия ипотеки, имеет вид:

D = Ra_N;i + Bv^N.

Баланс достигается одним из следующих способов:

• задается размер срочных уплат, определяется величина В;

• задается В, определяется размер срочных уплат.

Решение получим с помощью следующих формул:

Далее расчет ведется по уже рассмотренной схеме.