Раздел 3 Практические приложения количественного финансового анализа Глава 6. Страховые аннуитеты

6.1. Финансовые ренты в страховании

В преобладающем числе областей финансовой деятельности объектами приложения количественных методов анализа являются детерминированные процессы, описываемые верными рентами. Однако в страховании и при анализе некоторых инвестиционных проектов возникает необходимость в использовании условных рент (contingent annuity), в которых фигурируют вероятности наступления соответствующих событий (поступлений или выплат денег). Обсудим методы работы с такими рентами, причем для конкретности ограничимся страхованием. Выплата члена ренты здесь зависит от наступления страхового события. Назовем такие ренты cтраховыми aннуиmеmaми. К страховым, например, относятся все аннуитеты, применяемые в личном страховании. Соответствующие денежные суммы выплачиваются здесь только при жизни (например, пенсии) или, наоборот, смерти застрахованного. Заранее число платежей в таких аннуитетах или их срок остаются неизвестными. Условные аннуитеты являются основным инструментом количественного анализа в страховой деятельности.

Согласно договору страхования страхователь уплачивает вперед страховщику некоторую сумму — премию (premium). В свою очередь он (или его правопреемники) имеет право получить страховую сумму S после наступления страхового события. Если вероятность наступления страхового события q заранее известна (на основании прошлого опыта, по аналогии и т.д.), то теоретически, без учета всех прочих факторов (в том числе и фактора времени), премия P определяется как

P = Sq.

Приведенное равенство лишь иллюстрирует принцип эквивалентности обязательств страхователя и страховщика. В действительности премия обычно превышает величину Sq, так как включает помимо чистой премии и так называемую нагрузку (loading). Последняя охватывает все расходы по ведению дела и некоторую прибыль страховой организации.

Покажем в общем виде, как реализуется этот принцип в страховании жизни при решении важнейшей задачи — расчете тарифной ставки. Напомним, что под тарифной ставкой понимается цена страхования, т.е. цена обязательства уплатить некоторую фиксированную сумму при наступлении страхового случая в расчете на некоторую круглую сумму страховой выплаты (1 тыс. руб., 100 тыс. руб. и т.д.).

Пусть, как и выше, P — размер премии, q_n — вероятность страхового события (например, смерть застрахованного через n лет после начала страхования). Речь далее пойдет о нетто-премии, т.е. премии без учета нагрузки. Если страховое событие произойдет на первом году страхования, то страховщик получит сумму P (пусть премии выплачиваются в начале года), если же это событие наступит во втором году, то общая сумма премий составит 2P и т.д. Математическое ожидание такого ряда премий составит

E(q₁ + 2q₂ + ... + nq_n).

Полученная величина хотя и обобщает все выплаты застрахованного с учетом вероятностей их выплат, однако при суммировании соответствующих величин нарушается принцип временной ценности денег, поскольку премии выплачиваются в разные моменты времени. С учетом этого фактора (т.е. с помощью дисконтирования платежей) находим:

Е(А) = P[q₁ + (1 + v)q₂ + (1 + v + v²)q₃ + ... + (1 + v + ... + v^n-1)q_n],

где v — дисконтный множитель по ставке i.

Обратимся теперь к выплате страховой суммы. Положим, что она выплачивается в конце года, в котором имел место страховой случай. Тогда математическое ожидание выплаты в первом году составит Sq₁ во втором году — Sq₂ и т.д. Математическое ожидание выплат с учетом времени платежа, очевидно, будет равно:

E(S) = S(vq₁ + v²q₂ + ... + vⁿq_n).

Исходя из принципа эквивалентности обязательств страховщика и страхователя, теперь можно написать равенство:

E(S) = Е(А),

которое позволяет найти искомое значение нетто-премии и тариф страхования без учета нагрузки. Таков в общем виде теоретический подход к методу расчета премии и тарифа в личном страховании.

Пусть теперь речь идет об имущественном страховании. Если можно полагать, что вероятности наступления страхового случая постоянны, то математическое ожидание суммы премий с учетом их дисконтирования за n лет составит:

Е(А) = P[q + (1 + v)q + ... + (1 + v + ... + v^n-1)]q.

В свою очередь математическое ожидание выплат страховых сумм находится как

Из равенства математических ожиданий находим размер нетто-премии и тарифной ставки.

Математические ожидания Е(А) и E(S) являются основными характеристиками, с которыми имеют дело в страховании. Они, как видим, представляют собой современные стоимости специфических потоков платежей (платежей с учетом вероятностей их выплат). Причем в имущественном страховании часто это постоянные ренты (при постоянстве вероятностей наступления страховых случаев), а в личном страховании — переменные ренты, поскольку фигурирующие здесь вероятности зависят от возраста застрахованного и меняются для него с каждым годом.

В практике актуарных расчетов (актуарии — страховые математики) разработаны специальные приемы построения упомянутых выше потоков платежей и расчета их математических ожиданий. Рассмотрим их применительно к некоторым видам личного страхования — на дожитие, страхование жизни и, наконец, пенсионное страхование, коль скоро оно сейчас привлекает всеобщее внимание.

До обсуждения проблем построения страховых аннуитетов, связанных с жизнью людей (life annuity), и их использования в страховых расчетах следует ознакомиться с методикой определения необходимых вероятностей и ряда вспомогательных величин, с помощью которых существенно упрощается решение соответствующих задач. Речь пойдет о таблицах смертности и коммутационных функциях.

Таблицы смертности и коммутационные функции. Выше уже было показано, что при разработке страховых потоков платежей необходимы значения вероятностей дожития до определенного возраста или, наоборот, смерти в каком-то возрасте. Систему таких характеристик получают на основе таблицы смертности (mortality table), которая представляет собой числовую модель процесса вымирания некой абстрактной совокупности людей. Основное ее содержание — количества людей каждого возраста (l_x) , оставшихся в живых из первоначальной совокупности, равной 100 тыс. человек, и число умерших в каждой возрастной группе за год (d_x) при некоторых заданных (наблюдавшихся в недавнем прошлом) коэффициентах смертности. Таблицы смертности разрабатываются демографами. В качестве примера приведем фрагмент такой таблицы (мужчины)⁴.

X	lx	qx	dx
20	94774	0,00196	186
21	94588	0,00216	205
22	94383	0,00249	235
....
40	87 779	0,00708	622
41	87 157	0,00770	671
....
60	65 130	0,02871	1783
....
70	43 405	0,05691	2470

Показатели таблицы смертности связаны очевидными соотношениями:

l_x+1 = l_x - d_x; d_x = l_x x q_x,

где d_x — количество умерших в течение года после возраста х лет; q_x — вероятность умереть в течение года после возраста х лет.

На основе данных таблицы смертности нетрудно получить систему показателей вероятности дожития, необходимую для создания соответствующих страховых аннуитетов. Определим несколько таких вероятностей. Вероятность прожить по крайней мере еще один год лицу в возрасте х лет равна:

Вероятность дожить от возраста х до х + n составляет:

где n — число лет предстоящей жизни.

Пример 6.1. Вероятность двадцатилетнего мужчины дожить до 40 лет составит согласно приведенным в таблице смертности данным

₂₀P₂₀ = = 0,92619.

По данным таблицы смертности находят и вероятности умереть в определенных возрастах. Например, вероятность умереть в течение года для лица в возрасте х лет составит:

q_x = 1 - p_x = , а в возрасте от х до х + п:

_nq_x = 1 - _nP_x =

Для сокращения записи страховых аннуитетов и формул, позволяющих быстро получить необходимые расчетные данные, применяют так называемые коммутационные функции (коммутационные числа). Названные функции делятся на две группы. В основу первых положены числа доживающих до определенного возраста, вторых — числа умерших. Кратко остановимся на методике получения наиболее важных в практическом отношении функций. Основными в первой группе являются функции D_x и N_x:

(6.1) (6.2)

где v — дисконтный множитель по ставке i;

w — предельный возраст, учитываемый в расчете.

Нетрудно получить еще две функции N_x, которые следует применять в случаях, когда выплаты производятся т раз в году. Так, для платежей постнумерандо:

(6.3) Для платежей пренумерандо:

(6.4)

Наиболее важными коммутационными функциями второй группы являются С_х и М_х:

(6.5) (6.6)

Примеры коммутационных чисел (т = 12):

x	lx	Dx	Nx		Cx	Mx
20	94774	16910,609	193931,706	202394,583	30,448	897,899
21	94588	15483,872	177021,097	184771,927	30,787	867,451
22	94383	12973,771	147362,624	154459,399	30,449	836,664
.....
40	87779	2794,671	28 878,763	30 284,048	18,167	410,185
41	87157	2545,751	26084,094	27364,985	17,981	392,018
60	65130	369,991	2930,070	2760,491	9,745	128,058
....
70	43405	104,156	650,279	602,540	5,438	50,463

Коммутационные числа не следует интерпретировать содержательно. Их, скорее, надо воспринимать как чисто технические, вспомогательные величины. Нельзя забывать и о том, что они существенно зависят от принятой процентной ставки.