- •Раздел 1 Начисление процентов 6
- •Глава 1. Простые проценты 6
- •Глава 2. Сложные проценты 22
- •Глава 3. Конверсия платежей. Эквивалентность процентных ставок 41
- •Раздел 2 Потоки платежей 51
- •Глава 4. Постоянные финансовые ренты 51
- •Глава 10. Форфейтная операция 137
- •Глава 11. Облигации 148
- •Глава 12. Измерение эффективности инвестиций 168
- •Предисловие
- •Раздел 1 Начисление процентов Глава 1. Простые проценты
- •1.1. Время как фактор в финансовых расчетах
- •1.2. Проценты, виды процентных ставок
- •1.3. Наращение по простой процентной ставке
- •1.4. Погашение задолженности частями
- •1.5. Наращение и выплата процентов в потребительском кредите
- •1.6. Дисконтирование и учет по простым процентным ставкам. Рост по учетной ставке
- •1.7. Ставка наращения и учетная ставка. Прямые и обратные задачи
- •1.8. Определение срока ссуды и величины процентной ставки
- •1.9. Конверсия валюты и наращение процентов
- •Глава 2. Сложные проценты
- •2.1. Начисление сложных годовых процентов
- •2.2. Рост по сложным и простым процентам
- •2.3. Наращение процентов т раз в году; номинальная и эффективная ставки
- •2.4. Дисконтирование по сложной ставке процента
- •2.5. Операции со сложной учетной ставкой
- •2.6. Сравнение интенсивности процессов наращения и дисконтирования по разным видам процентных ставок
- •2.7. Непрерывное наращение и дисконтирование — непрерывные проценты
- •2.8. Определение срока платежа и процентных ставок
- •2.9. Кривые доходности
- •2.10. Конверсия валюты и наращение сложных процентов
- •2.11. Наращение процентов, налоги и инфляция (простые и сложные проценты)
- •Глава 3. Конверсия платежей. Эквивалентность процентных ставок
- •3.1. Финансовая эквивалентность обязательств
- •3.2. Консолидирование задолженности
- •3.3. Общая постановка задачи изменения условий выплаты платежей
- •3.4. Эквивалентность процентных ставок
- •3.5. Средние процентные ставки
- •Раздел 2 Потоки платежей Глава 4. Постоянные финансовые ренты
- •4.1. Виды потоков платежей и их основные параметры
- •4.2. Наращенная сумма постоянной ренты постнумерандо
- •4.3. Современная стоимость постоянной ренты постнумерандо
- •4.4. Определение параметров постоянных рент постнумерандо
- •4.5. Наращенные суммы и современные стоимости других видов постоянных рент
- •4.6. Взаимоувязанные, последовательные потоки платежей
- •4.7. Постоянная непрерывная рента
- •Глава 5. Переменные потоки платежей
- •5.1. Ренты с постоянным абсолютным приростом платежей
- •5.2. Ренты с постоянным относительным приростом платежей
- •5.3. Непрерывные переменные потоки платежей
- •5.4. Конверсии постоянных аннуитетов
- •5.5. Изменения параметров ренты
- •Раздел 3 Практические приложения количественного финансового анализа Глава 6. Страховые аннуитеты
- •6.1. Финансовые ренты в страховании
- •6.2. Страхование жизни
- •6.3. Пенсионное страхование
- •6.4. Расчеты тарифов и размеров пенсий
- •6.5. Сберегательное (трастовое) обеспечение пенсий
- •Глава 7. Планирование погашения долгосрочной задолженности
- •7.1. Расходы по обслуживанию долга
- •7.2. Планирование погасительного фонда
- •7.3. Погашение долга в рассрочку
- •7.4. Льготные займы и кредиты
- •7.5. Реструктурирование займа
- •Глава 8. Ипотечные ссуды. Погашение потребительского кредита
- •8.1. Виды ипотечных ссуд
- •8.2. Расчеты по стандартным ипотечным ссудам
- •8.3. Нестандартные ипотеки
- •8.4. Погашение потребительского кредита
- •Глава 9. Анализ кредитных операций
- •9.1. Полная доходность
- •9.2. Баланс финансово-кредитной операции
- •9.3. Доходность ссудных и учетных операций с удержанием комиссионных
- •9.4. Доходность купли-продажи финансовых инструментов
- •9.5. Доходность потребительского кредита
- •9.6. Долгосрочные ссуды
- •9.7. Сравнение коммерческих контрактов
- •9.8. Определение предельных значений параметров контрактов
- •Глава 10. Форфейтная операция
- •10.1. Сущность операции а форфэ
- •10.2. Анализ позиции продавца
- •10.3. Анализ позиций покупателя и банка
- •Глава 11. Облигации
- •11.1. Виды облигаций и их рейтинг
- •11.2. Измерение доходности облигаций
- •11.3. Дополнительные сведения по измерению доходности облигаций
- •11.4. Характеристики поступления средств от облигации и измерение риска
- •11.5. Оценка займов и облигаций
- •11.6. Возмещение премии и накопление дисконта облигаций
- •11.7. Портфель облигаций
- •11.8. Изменение структуры портфеля облигаций. Метод "бабочки"
- •Глава 12. Измерение эффективности инвестиций
- •12.1. Инвестиционный процесс как объект количественного финансового анализа
- •12.2. Чистый приведенный доход
- •12.3. Основные измерители эффективности капиталовложений
- •12.4. Измерение эффективности сложных систем. Моделирование инвестиционного процесса
- •12.5. Аренда оборудования
- •Приложение. Таблицы для финансовых расчетов
4.4. Определение параметров постоянных рент постнумерандо
Как было показано выше, постоянная рента описывается набором основных параметров — R, n, i и дополнительными параметрами p, m. Однако при разработке контрактов и условий финансовых операций могут возникнуть случаи, когда задается одна из двух обобщающих характеристик S или A и два основных параметра. Необходимо рассчитать значение недостающего параметра.
Определение члена ренты. Исходные условия: задается S или A и набор параметров, кроме R. Например, за обусловленное число лет необходимо создать фонд в сумме S путем систематических постоянных взносов. Если принято, что рента должна быть годовой, постнумерандо, с ежегодным начислением процентов, то, обратившись к формуле (4.6), получим:
R = S/sn;i. (4.24)
Аналогичным путем на основе зависимостей (4.7) — (4.12) легко получить формулы для расчета членов рент с другими условиями.
Пусть теперь известна (задана условиями договора) современная стоимость ренты. Если рента годовая, постнумерандо, m = 1, то из формулы (4.14) следует:
R = A/an;i. (4.25)
На основе формул (4.16) — (4.21) нетрудно определить R и для других условий ренты.
Пример 4.12. Определим размеры периодических взносов при решении двух следующих задач:
а) создать целевой фонд (например, для погашения задолженности или обеспечения инвестиций) в сумме 100 млн. руб.;
б) погасить в рассрочку текущую задолженность в сумме 100 млн. руб.
Срок в обоих случаях пять лет, процентная ставка равна 20%, платежи ежегодные постнумерандо.
а) S = 100, R = S/s5;20 = 100/7,4416 = 13,438 млн. руб.;
б) A = 100, R =A/a5;20 = 100/2,9906 = 33,438 млн. руб.
Расчет срока ренты. Иногда при разработке контракта возникает необходимость в определении срока ренты и соответственно числа членов ренты. Решая полученные выше выражения, определяющие S или A, относительно n, получим искомые величины. Так, для годовой ренты с ежегодным начислением процентов находим:
Таблица 4.1 Формулы для расчета срока постоянных рент постнумерандо
Количество платежей в году |
Количество начислений в году |
Сроки платежей |
|||
S |
A |
||||
p = 1 |
m = l |
|
(4.26) |
|
(4.27) |
m > 1 |
|
(4.28) |
|
(4.29) |
|
p >1 |
m = l |
|
(4.30) |
|
(4.31) |
m =p |
|
(4.32) |
|
(433) |
|
m ≠ p |
|
(4.34) |
|
(4.35) |
Аналогичным образом получим формулы для расчета срока и для других видов рент. Формулы, полученные для дискретных процентов, приведены в табл. 4.1.
Для рент с непрерывным начислением процентов находим на основе формул (4.11), (4.12) и (4.20), (4.21):
для годовой ренты
(4.36)(4.37)
для p-срочной ренты
. (4.38)(4.39)
Все приведенные выше формулы для определения n, естественно, пригодны и в случаях, когда заданными являются коэффициенты приведения или наращения рент, поскольку an;i = A/R, sn;i = S/R и т. д.
При расчете срока ренты необходимо принять во внимание следующие моменты:
1. Расчетные значения срока будут, как правило, дробные. Необходимо округление результата. В этих случаях для годовой ренты в качестве n часто удобнее принять ближайшее меньшее целое число. У p-срочной ренты результат округляется до ближайшего целого числа периодов — np. Например, пусть для квартальной ренты получено n = 6,28 года, откуда np = 25,12 квартала. Округляем до 25, в этом случае n = 6,25 года.
2. Если округление производится до меньшего целого числа, то наращенная сумма или современная стоимость ренты с таким сроком оказывается меньше заданной. Возникает необходимость в соответствующей компенсации. Например, если речь идет о погашении задолженности путем выплаты постоянной ренты, то компенсация может быть осуществлена соответствующим платежом в начале или конце срока либо с помощью повышения суммы члена ренты.
Обсудим еще одну проблему, связанную со сроком ренты. Пусть A — текущее значение долга. Если он погашается с помощью постоянной ренты, то из формулы (4.14) следует, что долг может быть погашен за конечное число лет только при условии, что R > Ai. Аналогичные неравенства можно найти и для других видов рент. Если условия ренты таковы, что имеет место равенство, например R = Ai, то n = , т. е. рента окажется вечной и долг практически не может быть погашен. Если же R < Ai, то долг систематически увеличивается.
Пример 4.13. Какой необходим срок для накопления 100 млн. руб. при условии, что ежемесячно вносится по 1 млн. руб., а на накопления начисляются проценты по ставке 25% годовых? Имеем R = 12, i = 25%. По формуле (4.30) находим:
= 4,7356 года.
Если срок округляется до пяти лет, то необходимо несколько уменьшить размер члена ренты, т.е. найти член ренты для n = 5. В этом случае ежемесячный взнос должен составить 914,79 тыс. руб. — см. формулу (4.25).
Определение размера процентной ставки. Необходимость в определении величины процентной ставки возникает всякий раз, когда речь идет о выяснении эффективности (доходности) финансово-банковской операции. Заметим, что расчет процентной ставки по остальным параметрам ренты не так прост, как это может показаться на первый взгляд. В простейшем случае задача ставится следующим образом: решить уравнение (4.4) или (4.14) относительно i. Нетрудно убедиться в том, что алгебраического решения нет. Для получения искомой величины без применения компьютера с соответствующим пакетом программ прибегают к линейной интерполяции или какому-либо итерационному методу, например методу Ньютона — Рафсона, методу секущей и т. д.. При небольших значениях i можно применить разложение бинома Ньютона и использовать два-три первых члена разложения.
Линейная интерполяция. По заданным R, S или A находят значения коэффициентов наращения или приведения ренты:
sn;i = S/R; an;i = A/R.
Для оценки i применяется следующая интерполяционная формула:
(4.40)
где aв и aн - значения коэффициентов наращения или приведения рент для верхнего и нижнего значения ставок (ставки iв, iн);
a — значение коэффициента наращения или приведения, для которого определяется размер ставки.
На рис. 4.3 и 4.4 изображены зависимости соответствующих коэффициентов от размера процентной ставки, а также интерполяционные оценки и точные их значения. Первые обозначены как i, вторые — как i".
Как видно из рисунков, оценки размера процентной ставки несколько отличаются от точных значений этой величины, причем если за основу взят коэффициент приведения, то оценка оказывается завышенной) в свою очередь оценка i по коэффициенту наращения меньше точного значения. Чем меньше диапазон iн — iв тем точнее оценка процентной ставки.
Пример 4.14. Допустим, что предполагается путем ежегодных взносов постнумерандо по 100 млн. руб. в течение семи лет создать фонд в размере 1 млрд. руб. Какова должна быть годовая процентная ставка?
Определим исходный коэффициент наращения:
s7;i = 1000/100 = 10.
Для начала предположим, что искомая процентная ставка находится в интервале 11 - 12%. Для этих значений ставки находим коэффициент наращения: aв = s7;12 = 10,08901, aн = s7;11 = 9,78327.
Отсюда
Проверка: по формуле (4.5) находим s7;11,709 = 9,999. Таким образом, найденное значение ставки обеспечивает выполнение поставленных условий почти точно.
Метод Ньютона — Рафсона. Как известно, с помощью этого метода последовательным приближением решается нелинейное уравнение f(x) = 0. Общий вид рекуррентного соотношения:
xk+1 = xk - f(xk)/f'(xk), (4.41)
где k — номер итерации.
Основная задача заключается в разработке функции f(x), удобной для дальнейших выкладок. Обсудим сначала вариант постановки задачи, когда в качестве заданной принимается сумма накоплений S, рента годовая, постнумерандо. На основе формулы (4.4), приняв q = 1 + i, получим:
Преобразуем эту функцию и найдем ее производную.
Вместо общей записи рекуррентного соотношения (4.41) теперь можно написать:
qk+1 = qk - f(qk)/f'(qk). (4.42)
Начальное значение q выбирают так, чтобы sn;i было близко к заданной величине отношения
Аналогичным путем находим функцию и ее производную для случая, когда заданной является современная стоимость ренты. Функция имеет вид:
Отсюда для годовой ренты получим:
В свою очередь для p-срочной ренты находим:
Начальные значения оцениваемого показателя q выбирают так, чтобы an;i или были близки к заданному значению
Пример 4.15. Какова доходность инвестиций, выраженная в виде годовой процентной ставки, если вложения составили 100 млн. руб., ожидаемая отдача может быть представлена в виде квартальной постоянной ренты постнумерандо и годовая сумма дохода 10 млн. руб.? Срок ренты 15 лет.
Величину инвестиций приравняем к современной стоимости ренты. Первоначальное значение процентной ставки найдем, отправляясь от заданного значения отношения A/R = 10. Этой величине должен быть равен и коэффициент приведения Близкое значение коэффициента приходится на ставку 6%. Для этого уровня ставки = 9,93. Поскольку ставка несколько завышена, то возьмем в качестве исходной меньшую величину, пусть это будет 5,9%. Тогда
f(l,059) = (1,059-15 - 1) + 10 х 4(1,0591/4 - 1) = 0,00059;
f'(l,059) = 10 х l,0591/4-1 - 15 х 1,059-16 = 3,5846;
q1 = 1,059 - 0,00059/3,5846 = 1,05883 или i =5,883%.
Проверка: = 10,0003. Таким образом, уже на первой итерации получено удовлетворительное приближение.