- •Раздел 1 Начисление процентов 6
- •Глава 1. Простые проценты 6
- •Глава 2. Сложные проценты 22
- •Глава 3. Конверсия платежей. Эквивалентность процентных ставок 41
- •Раздел 2 Потоки платежей 51
- •Глава 4. Постоянные финансовые ренты 51
- •Глава 10. Форфейтная операция 137
- •Глава 11. Облигации 148
- •Глава 12. Измерение эффективности инвестиций 168
- •Предисловие
- •Раздел 1 Начисление процентов Глава 1. Простые проценты
- •1.1. Время как фактор в финансовых расчетах
- •1.2. Проценты, виды процентных ставок
- •1.3. Наращение по простой процентной ставке
- •1.4. Погашение задолженности частями
- •1.5. Наращение и выплата процентов в потребительском кредите
- •1.6. Дисконтирование и учет по простым процентным ставкам. Рост по учетной ставке
- •1.7. Ставка наращения и учетная ставка. Прямые и обратные задачи
- •1.8. Определение срока ссуды и величины процентной ставки
- •1.9. Конверсия валюты и наращение процентов
- •Глава 2. Сложные проценты
- •2.1. Начисление сложных годовых процентов
- •2.2. Рост по сложным и простым процентам
- •2.3. Наращение процентов т раз в году; номинальная и эффективная ставки
- •2.4. Дисконтирование по сложной ставке процента
- •2.5. Операции со сложной учетной ставкой
- •2.6. Сравнение интенсивности процессов наращения и дисконтирования по разным видам процентных ставок
- •2.7. Непрерывное наращение и дисконтирование — непрерывные проценты
- •2.8. Определение срока платежа и процентных ставок
- •2.9. Кривые доходности
- •2.10. Конверсия валюты и наращение сложных процентов
- •2.11. Наращение процентов, налоги и инфляция (простые и сложные проценты)
- •Глава 3. Конверсия платежей. Эквивалентность процентных ставок
- •3.1. Финансовая эквивалентность обязательств
- •3.2. Консолидирование задолженности
- •3.3. Общая постановка задачи изменения условий выплаты платежей
- •3.4. Эквивалентность процентных ставок
- •3.5. Средние процентные ставки
- •Раздел 2 Потоки платежей Глава 4. Постоянные финансовые ренты
- •4.1. Виды потоков платежей и их основные параметры
- •4.2. Наращенная сумма постоянной ренты постнумерандо
- •4.3. Современная стоимость постоянной ренты постнумерандо
- •4.4. Определение параметров постоянных рент постнумерандо
- •4.5. Наращенные суммы и современные стоимости других видов постоянных рент
- •4.6. Взаимоувязанные, последовательные потоки платежей
- •4.7. Постоянная непрерывная рента
- •Глава 5. Переменные потоки платежей
- •5.1. Ренты с постоянным абсолютным приростом платежей
- •5.2. Ренты с постоянным относительным приростом платежей
- •5.3. Непрерывные переменные потоки платежей
- •5.4. Конверсии постоянных аннуитетов
- •5.5. Изменения параметров ренты
- •Раздел 3 Практические приложения количественного финансового анализа Глава 6. Страховые аннуитеты
- •6.1. Финансовые ренты в страховании
- •6.2. Страхование жизни
- •6.3. Пенсионное страхование
- •6.4. Расчеты тарифов и размеров пенсий
- •6.5. Сберегательное (трастовое) обеспечение пенсий
- •Глава 7. Планирование погашения долгосрочной задолженности
- •7.1. Расходы по обслуживанию долга
- •7.2. Планирование погасительного фонда
- •7.3. Погашение долга в рассрочку
- •7.4. Льготные займы и кредиты
- •7.5. Реструктурирование займа
- •Глава 8. Ипотечные ссуды. Погашение потребительского кредита
- •8.1. Виды ипотечных ссуд
- •8.2. Расчеты по стандартным ипотечным ссудам
- •8.3. Нестандартные ипотеки
- •8.4. Погашение потребительского кредита
- •Глава 9. Анализ кредитных операций
- •9.1. Полная доходность
- •9.2. Баланс финансово-кредитной операции
- •9.3. Доходность ссудных и учетных операций с удержанием комиссионных
- •9.4. Доходность купли-продажи финансовых инструментов
- •9.5. Доходность потребительского кредита
- •9.6. Долгосрочные ссуды
- •9.7. Сравнение коммерческих контрактов
- •9.8. Определение предельных значений параметров контрактов
- •Глава 10. Форфейтная операция
- •10.1. Сущность операции а форфэ
- •10.2. Анализ позиции продавца
- •10.3. Анализ позиций покупателя и банка
- •Глава 11. Облигации
- •11.1. Виды облигаций и их рейтинг
- •11.2. Измерение доходности облигаций
- •11.3. Дополнительные сведения по измерению доходности облигаций
- •11.4. Характеристики поступления средств от облигации и измерение риска
- •11.5. Оценка займов и облигаций
- •11.6. Возмещение премии и накопление дисконта облигаций
- •11.7. Портфель облигаций
- •11.8. Изменение структуры портфеля облигаций. Метод "бабочки"
- •Глава 12. Измерение эффективности инвестиций
- •12.1. Инвестиционный процесс как объект количественного финансового анализа
- •12.2. Чистый приведенный доход
- •12.3. Основные измерители эффективности капиталовложений
- •12.4. Измерение эффективности сложных систем. Моделирование инвестиционного процесса
- •12.5. Аренда оборудования
- •Приложение. Таблицы для финансовых расчетов
3.4. Эквивалентность процентных ставок
Понятие эквивалентности использовалось выше применительно к платежам. Теперь распространим его на процентные ставки. Как было показано ранее, для процедур наращения и дисконтирования могут применяться различные виды процентных ставок. Определим теперь те их значения, которые в конкретных условиях приводят к одинаковым финансовым результатам. Иначе говоря, замена одного вида ставки на другой при соблюдении принципа эквивалентности не изменяет отношения сторон в рамках одной операции. Для участвующих в сделке сторон в общем безразлично, какой вид ставки фигурирует в контракте. Такие ставки назовем эквивалентными.
Проблема эквивалентности ставок уже затрагивалась в гл. 2 при определении эффективной ставки процента. Там было показано, что годовая эффективная ставка i эквивалентна номинальной ставке j при начислении процентов т раз в году. Рассмотрим теперь проблему эквивалентности ставок более полно и систематизировано. Сперва соотношения эквивалентности простых ставок, затем простых и сложных, далее эквивалентность различного вида сложных ставок, наконец, некоторые соотношения эквивалентности дискретных и непрерывных ставок.
Формулы эквивалентности ставок во всех случаях получим исходя из равенства взятых попарно множителей наращения. Приведем лишь один пример. Определим соотношение эквивалентности между простой и сложной ставками наращения. Для этого приравняем друг к другу соответствующие множители наращения:
(1 + nis) = (1 + i)n,
где is и i — ставки простых и сложных процентов.
Приведенное равенство предполагает, что начальные и наращенные суммы при применении двух видов ставок идентичны (рис. 3.4). Решение дает следующие отношения эквивалентности ставок:
(3.9) (3.10)
Аналогичным образом определим и другие, приведенные ниже соотношения эквивалентности ставок.
Эквивалентность простых процентных ставок. При выводе искомых соотношений между ставкой наращения и учетной ставкой следует иметь в виду, что при их применении используются временные базы K = 360 или K = 365 дней. Если временные базы одинаковы, то из равенства соответствующих множителей наращения следует:
(3.11) (3.12)
где: п — срок в годах;
is — ставка наращения;
d — учетная ставка.
Пример 3.12. Вексель учтен за год до даты его погашения по учетной ставке 15%. Какова доходность учетной операции в виде процентой ставки? По формуле (3.11) находим:
is = = 0,17647, или 17,647%.
Иначе говоря, операция учета по учетной ставке 15% за год дает тот же доход, что и наращение по ставке 17,647%.
Из приведенных формул и примера следует, что для одинаковых условий операции справедливо неравенство d < is. Следует обратить внимание и на то, что отношения эквивалентности между просты-
ми ставками существенно зависят от срока операции. С увеличением срока различия в размерах ставок становятся все более заметными. Например, для d = 10% находим
n (в годах) |
0,1 |
0,5 |
1 |
2 |
5 |
10 |
is (в %) |
10,1 |
10,5 |
11,1 |
12,5 |
20 |
∞ |
Пусть срок ссуды измеряется в днях, тогда, подставив в формулы (3.11) и (3.12) n = t/K, находим следующие соотношения эквивалентности:
а) временные базы одинаковы и равны 360 дням:
(3.13) (3.14)
б) если при начислении процентов принята база K = 365, а для учетной ставки K = 360, то
(3.15) (3.16)
Пример 3.13. Необходимо найти величину учетной ставки, эквивалентной годовой процентной ставке 80% (K = 365) при условии, что срок учета равен 255 дням. Находим по формуле (3.16)
d = = 0,50615, или 50,615%.
Эквивалентность простых и сложных ставок. Рассмотрим соотношения эквивалентности простых ставок is и d, с одной стороны, и сложных ставок i и j — с другой. Сложную учетную ставку здесь не будем принимать во внимание. Попарно приравняв соответствующие множители наращения, получим набор искомых соотношений.
Эквивалентность is и i (см. формулы (3.9) и (3.10)).
Эквивалентность is и j:
(3.17) (3.18)
Эквивалентность d и i:
(3.19) (3.20)
Эквивалентность d и j:
(3.21) (3.22)
Пример 3.14. Какой сложной годовой ставкой можно заменить в контракте простую ставку 18% (K = 365), не изменяя финансовых последствий для участвующих сторон? Срок операции 580 дней.
По формуле (3.10) находим эквивалентную сложную ставку:
= 0,17153, или17,153%
Эквивалентность сложных ставок. Рассмотрим наиболее важные соотношения эквивалентности для ставок i, j и dc (напомним, dc — сложная учетная ставка):
i = (1+ j/m)m - 1; (3.23) (3.24)
(3.25) (3.26)
где dc — сложная учетная ставка.
Приведем еще несколько полезных соотношений, которые нетрудно получить на основе формул (3.25) и (3.26). Напомним, что v = (1 + i)-1:
dc = iv, v = 1 - dc, i - dc = idc. (3.27) (3.28) (3.29)
Заметим, что в зависимостях (3.23) — (3.29) срок не играет никакой роли.
Пример 3.15. При разработке условий контракта стороны договорились о том, что доходность кредита должна составлять 24% годовых. Каков должен быть размер номинальной ставки при начислении процентов ежемесячно, поквартально?
Эквивалентность сложных дискретных и непрерывных ставок. Теоретически можно найти соотношение эквивалентности между силой роста и любой дискретной процентной ставкой. Однако в этом, вероятно, нет необходимости. Ограничимся несколькими такими соотношениями, необходимость в которых может возникнуть в практических расчетах.
Эквивалентность и i. Из равенства следует:
(3.30) (3.31)
Эквивалентность и j:
(3.32) (3.33)
Эквивалентность и dc. Из равенства следует:
(3.34) (3.35)
Приведем еще одно полезное соотношение:
Пример 3.16. Какая непрерывная ставка заменит поквартальное начисление процентов по номинальной ставке 20%? Согласно формуле (3.33) находим
= 4 х ln(1 + 0,2) = 0,19516, или 19,516%.
Формулы эквивалентности дискретных и непрерывных ставок позволяют расширить область применения непрерывных процентов. Как уже говорилось выше, непрерывные проценты во многих сложных расчетах дают возможность существенно упростить выкладки. Вместе с тем такие ставки непривычны для практика, поэтому после использования в расчетах формул непрерывных процентов нетрудно с помощью формул эквивалентности представить полученные результаты в виде общепринятых дискретных характеристик.