- •Раздел 1 Начисление процентов 6
- •Глава 1. Простые проценты 6
- •Глава 2. Сложные проценты 22
- •Глава 3. Конверсия платежей. Эквивалентность процентных ставок 41
- •Раздел 2 Потоки платежей 51
- •Глава 4. Постоянные финансовые ренты 51
- •Глава 10. Форфейтная операция 137
- •Глава 11. Облигации 148
- •Глава 12. Измерение эффективности инвестиций 168
- •Предисловие
- •Раздел 1 Начисление процентов Глава 1. Простые проценты
- •1.1. Время как фактор в финансовых расчетах
- •1.2. Проценты, виды процентных ставок
- •1.3. Наращение по простой процентной ставке
- •1.4. Погашение задолженности частями
- •1.5. Наращение и выплата процентов в потребительском кредите
- •1.6. Дисконтирование и учет по простым процентным ставкам. Рост по учетной ставке
- •1.7. Ставка наращения и учетная ставка. Прямые и обратные задачи
- •1.8. Определение срока ссуды и величины процентной ставки
- •1.9. Конверсия валюты и наращение процентов
- •Глава 2. Сложные проценты
- •2.1. Начисление сложных годовых процентов
- •2.2. Рост по сложным и простым процентам
- •2.3. Наращение процентов т раз в году; номинальная и эффективная ставки
- •2.4. Дисконтирование по сложной ставке процента
- •2.5. Операции со сложной учетной ставкой
- •2.6. Сравнение интенсивности процессов наращения и дисконтирования по разным видам процентных ставок
- •2.7. Непрерывное наращение и дисконтирование — непрерывные проценты
- •2.8. Определение срока платежа и процентных ставок
- •2.9. Кривые доходности
- •2.10. Конверсия валюты и наращение сложных процентов
- •2.11. Наращение процентов, налоги и инфляция (простые и сложные проценты)
- •Глава 3. Конверсия платежей. Эквивалентность процентных ставок
- •3.1. Финансовая эквивалентность обязательств
- •3.2. Консолидирование задолженности
- •3.3. Общая постановка задачи изменения условий выплаты платежей
- •3.4. Эквивалентность процентных ставок
- •3.5. Средние процентные ставки
- •Раздел 2 Потоки платежей Глава 4. Постоянные финансовые ренты
- •4.1. Виды потоков платежей и их основные параметры
- •4.2. Наращенная сумма постоянной ренты постнумерандо
- •4.3. Современная стоимость постоянной ренты постнумерандо
- •4.4. Определение параметров постоянных рент постнумерандо
- •4.5. Наращенные суммы и современные стоимости других видов постоянных рент
- •4.6. Взаимоувязанные, последовательные потоки платежей
- •4.7. Постоянная непрерывная рента
- •Глава 5. Переменные потоки платежей
- •5.1. Ренты с постоянным абсолютным приростом платежей
- •5.2. Ренты с постоянным относительным приростом платежей
- •5.3. Непрерывные переменные потоки платежей
- •5.4. Конверсии постоянных аннуитетов
- •5.5. Изменения параметров ренты
- •Раздел 3 Практические приложения количественного финансового анализа Глава 6. Страховые аннуитеты
- •6.1. Финансовые ренты в страховании
- •6.2. Страхование жизни
- •6.3. Пенсионное страхование
- •6.4. Расчеты тарифов и размеров пенсий
- •6.5. Сберегательное (трастовое) обеспечение пенсий
- •Глава 7. Планирование погашения долгосрочной задолженности
- •7.1. Расходы по обслуживанию долга
- •7.2. Планирование погасительного фонда
- •7.3. Погашение долга в рассрочку
- •7.4. Льготные займы и кредиты
- •7.5. Реструктурирование займа
- •Глава 8. Ипотечные ссуды. Погашение потребительского кредита
- •8.1. Виды ипотечных ссуд
- •8.2. Расчеты по стандартным ипотечным ссудам
- •8.3. Нестандартные ипотеки
- •8.4. Погашение потребительского кредита
- •Глава 9. Анализ кредитных операций
- •9.1. Полная доходность
- •9.2. Баланс финансово-кредитной операции
- •9.3. Доходность ссудных и учетных операций с удержанием комиссионных
- •9.4. Доходность купли-продажи финансовых инструментов
- •9.5. Доходность потребительского кредита
- •9.6. Долгосрочные ссуды
- •9.7. Сравнение коммерческих контрактов
- •9.8. Определение предельных значений параметров контрактов
- •Глава 10. Форфейтная операция
- •10.1. Сущность операции а форфэ
- •10.2. Анализ позиции продавца
- •10.3. Анализ позиций покупателя и банка
- •Глава 11. Облигации
- •11.1. Виды облигаций и их рейтинг
- •11.2. Измерение доходности облигаций
- •11.3. Дополнительные сведения по измерению доходности облигаций
- •11.4. Характеристики поступления средств от облигации и измерение риска
- •11.5. Оценка займов и облигаций
- •11.6. Возмещение премии и накопление дисконта облигаций
- •11.7. Портфель облигаций
- •11.8. Изменение структуры портфеля облигаций. Метод "бабочки"
- •Глава 12. Измерение эффективности инвестиций
- •12.1. Инвестиционный процесс как объект количественного финансового анализа
- •12.2. Чистый приведенный доход
- •12.3. Основные измерители эффективности капиталовложений
- •12.4. Измерение эффективности сложных систем. Моделирование инвестиционного процесса
- •12.5. Аренда оборудования
- •Приложение. Таблицы для финансовых расчетов
5.2. Ренты с постоянным относительным приростом платежей
Рассмотрим ситуацию, когда платежи изменяют свои размеры во времени с постоянным относительным приростом, т.е. в геометрической прогрессии. Поток таких платежей состоит из членов R, Rq, Rq2, ..., Rqn-1 (где q — знаменатель прогрессии или темп роста). Пусть этот ряд представляет собой ренту постнумерандо. Тогда ряд дисконтированных платежей состоит из величин Rv, Rqv2, ..., Rqn-1vn. Получена геометрическая прогрессия с первым членом Rv и знаменателем qv. Сумма членов этой прогрессии равна:
(5.14)
Пусть теперь q = 1 + k, где k — темп прироста платежей. Заметим, что прирост может быть как положительным (k > 0), так и отрицательным (k < 0). После простых преобразований получим:
(5.15)
Наращенная сумма ренты находится как
(5.16)
Пример 5.3. Несколько изменим условия задачи 5.1. Пусть теперь члены ренты увеличиваются каждый год на 12% (k = 0,12). В этом случае:
= 93,448 млн руб.;
= 578,604 млн руб.
Допустим теперь, что платежи уменьшаются во времени с темпом прироста минус 10% в год (k = -0,1), тогда:
S = 47,184 x 1,210 =292,151 млн. руб.
Для рент пренумерандо получим:
Влияние изменения платежей установить в виде простой зависимости от q не удается, поэтому определим его как разность соответствующих современных стоимостей или наращенных сумм.
Пример 5.4. Современная стоимость ренты с учетом ежегодного прироста на 10% в примере 5.3 равна 93,448 млн. руб. Современная стоимость постоянной ренты (без приростов ее членов) — 62,887 млн. руб. Таким образом, влияние приростов платежей определяется как 93,448 - 62,887 = 30,561 млн. руб.
Представляет некоторый практический интерес соотношение эквивалентности между абсолютным и относительным приростом членов рент. Технически удобнее найти такое значение абсолютного прироста а, при котором величина современной стоимости равна Aq при заданном значении q. Методику получения искомого показателя нетрудно понять при рассмотрении рис. 5.2.
Из равенства показателей современных стоимостей потоков платежей с постоянными абсолютными и относительными приростами Аа = Аq следует:
Отсюда:
(5.17)
Пример 5.5. В примере 5.3 при ежегодном относительном приросте платежей, равном 12%, современная стоимость потока платежей составляет 93,448 млн. руб. Какой должен быть ежегодный абсолютный прирост, который не изменит величину современной стоимости? Согласно формуле (5.17) получим:
Иначе говоря, ежегодный прирост платежей в сумме 2,371 млн. руб. эквивалентен (если принять во внимание весь срок) относительному приросту, равному 12%. Сказанное справедливо при условии, что все остальные условия сохраняются (R = 15, n = 10,
i = 20%).
p-срочная рента с постоянными относительными изменениями членов.
Пусть платежи производятся не один, a p раз в год постнумерандо, проценты начисляются раз в год по ставке i. В этом случае последовательность платежей представляет собой геометрическую прогрессию: R, Rq, ..., Rqn-1, где q — темп роста за период. Начислим проценты и суммируем результат, получим:
(5.18)
Для современной величины такой ренты находим:
(5.19)
Пример 5.6. Пусть, как и в других примерах главы, R = 15, n = 10, i = 20%. Предположим, что платежи увеличиваются с каждым полугодием на 6%. Тогда наращенная сумма и современная стоимость ренты составят:
=1263,052 млн руб.; = 203,990 млн руб.