4.6. Взаимоувязанные, последовательные потоки платежей

Долгосрочные финансовые операции часто предполагают наличие двух последовательных потоков платежей. Первый характеризует вложения (затраты), второй — отдачу от них (доходы). В самом

простом варианте — это покупка в рассрочку отложенной ренты. На первом этапе идет накопление денежных средств, подпитываемое последовательными взносами, на втором — их расходование. Более сложным является инвестирование в создание производственного объекта. Второй денежный поток может следовать сразу после первого или несколько отставать от него. Иногда встречаются и более сложные схемы, когда указанные потоки платежей в некоторой части протекают одновременно.

При решении некоторых финансовых задач оба потока должны быть сбалансированы. Более подробно эта проблема применительно к оценке производственных инвестиций рассматривается в гл. 12. Здесь же остановимся на проблеме сбалансированности потоков в общем виде.

Очевидно, что баланс двух последовательных потоков имеет место при равенстве их современных стоимостей. Введем следующие обозначения: n — продолжительность периода вложений; t — срок, после которого начинается отдача; N — продолжительность потока доходов; m — продолжительность интервала между двумя потоками; K — величина члена первого потока; R — размер дохода;

A₁ — современная стоимость потока вложений; _tА₂ — современная стоимость потока доходов. Схематично условия задачи представлены на рис. 4.5. Очевидно, что t ≥ n, m ≥ 0.

Рассмотрим одну из возможных постановок задачи, когда в качестве заданных принимают параметры потока доходов, а параметры инвестиционного потока определяются в ходе расчета. Исходное равенство имеет вид:

A₁ = _tA₂

Для иллюстрации метода ограничимся самой простой задачей. Допустим, что речь идет об обеспечении поступлений регулярного дохода. Доходы и взносы постоянные, постнумерандо. В этом случае запишем равенство

Ka_n;i = Ra_N;iv^t.

Далее рассчитывается K или n.

Заметим, что v^t = vⁿv^m, отсюда следует, что с увеличением m уменьшается необходимая для выплаты будущих доходов величина K.

Пример 4.21. Необходимо обеспечить годовую ренту постнумерандо, выплачиваемую сразу после окончания срока взносов. Рента имеет параметры: R₂ = 1, N = 10, i = 10%. Допустим, предполагается вносить по 1,2 млн. руб. в течение четырех лет. Проверим, достаточен ли такой срок.

Современная стоимость второй ренты A₂ = 1 х a_10;10 x v⁴ = = 4,19682. В свою очередь, приняв A₁ = A₂, получим A₁/R₁ = = 3,49735. Прибегнув к формуле (4.27), находим

Иначе говоря, установленный срок взносов недостаточен. Корректировку условий можно осуществить, повысив размер взносов. Находим для четырех лет взносов

Если второй поток представляет собой p-срочную ренту, то

Практические приложения метода более подробно обсуждаются в параграфе 6.5 "Сберегательное (трастовое) обеспечение пенсий" и в гл. 12, посвященной инвестициям.

4.7. Постоянная непрерывная рента

Во всех рассмотренных выше рентах предполагалось, что члены потока платежей поступают дискретно — через фиксированные интервалы времени (периоды ренты). Вместе с тем иногда более адекватное описание потока платежей достигается, когда он воспринимается как непрерывный процесс. Например, когда отдача от инвестиций происходит так часто, что в целом этот поток можно рассматривать как непрерывный. Предположение о непрерывности в определенных условиях увеличивает возможности количественного анализа, особенно при сложных производственных долгосрочных инвестиций.

Обсудим методы расчета наращенной суммы и современной стоимости, а также ряд параметров, характеризующих постоянную непрерывную ренту при условии, что применяется годовая дискретная процентная ставка. По определению у непрерывной ренты . Найдем коэффициент приведения такой ренты, обозначим его как . Для этого необходимо найти предел коэффициента приведения p-срочной ренты при .

Непосредственная подстановка в знаменатель приводит к неопределенности:

Раскроем неопределенность, применив правило Лопиталя, получим

Таким образом,

(4.46)

Аналогичным путем получим коэффициент наращения непрерывной ренты:

(4.47)

Очевидно, что переход от дискретных взносов постнумерандо к непрерывным увеличивает соответствующие коэффициенты в i/ln (1 + i) раз.

Пример 4.22. Ожидается, что доходы от эксплуатации месторождения полезных ископаемых составят 1 млрд. руб. в год, продолжительность разработки — 10 лет, отгрузка и реализация продукции непрерывны и равномерны. Капитализированная стоимость дохода при дисконтировании по ставке 10% составит:

Заметим, что формулы (4.46) и (4.47) предполагают непрерывное поступление платежей и дискретное начисление процентов. Вероятно, более "естественным" является положение, когда оба процесса непрерывны. Для получения формул соответствующих коэффициентов воспользуемся формулами эквивалентности между непрерывными и дискретными ставками: , где — сила роста. Перепишем формулы (4.46) и (4.47), использовав эти соотношения. Получим:

(4.48) (4.49)

Формулы (4.46) — (4.49) дают одинаковые результаты только в том случае, когда непрерывные и дискретные ставки являются эквивалентными (см. параграф 3.3).

Пример 4.23. Пусть в примере 4.22 дисконтирование осуществляется по силе роста 10%, тогда согласно формуле (4.48)

Эквивалентная дискретной ставке 10% (которая была применена в примере 4.22) сила роста составит = ln 1,1 = 0,09531, или 9,531%. Откуда

Формулы (4.48) и (4.49) можно получить и с помощью интегрирования. Например, коэффициент приведения находим следующим образом:

Остановимся теперь на одном частном, но практически важном вопросе. Определим величину коэффициента наращения непрерывной ренты для годового интервала времени. Обозначим коэффициент наращения p-срочной ренты для этого интервала как . Его предел при составит:

Разложим эту функцию в степенной ряд, ограничившись первыми тремя членами:

Близкий к этому результат дают и первые три члена разложения бинома (1 + i)^l/2.

В итоге

Иначе говоря, равномерная и непрерывная выплата годовой суммы P примерно равнозначна разовой выплате этой суммы в середине года. Аналогично находим коэффициент приведения непрерывной ренты за год

Определение срока и размера ставки для постоянных непрерывных рент. Начнем с определения срока для случая, когда исходной является современная стоимость данного потока платежей. Решим (4.48) относительно п, принимая во внимание, что :

(4.50)

Аналогично для случая, когда исходной является наращенная сумма ренты, получим:

(4.51)

Пример 4.24. За какой срок наращенная сумма ренты вырастет в пять раз по сравнению с годовой суммой взносов, если последние осуществляются непрерывно и равномерно в пределах года? На взносы начисляются проценты, сила роста 8%. Здесь S/R = 5, = 0,08, откуда согласно формуле (4.51)

Что касается определения силы роста по всем остальным заданным параметрам ренты, то здесь возникают те же затруднения, с которыми мы встретились при решении аналогичной задачи для дискретной ренты. Наиболее простым выходом является интерполяция и метод Ньютона — Рафсона (см. параграф 4.4). Остановимся на последнем.

Исходная функция:

(4.52)

Разделим это выражение на R и умножим на :

(4.53)

после чего находим производную:

. (4.54)

На основе формулы (4.41) получим искомое выражение:

. (4.55)

Пример 4.25. Какова доходность инвестиций, измеренная в виде силы роста, если затрачено 1000 млн. руб.? Годовая отдача ожидается в размере 200 млн. руб., поступающих равномерно в пределах года, срок отдачи — восемь лет.

Воспользуемся интерполяционной формулой (4.40). Необходимо найти такое значение силы роста, которое удовлетворяло бы требованию A/R = 5 для n = 8. Зададимся двумя значениями ставки: 0,14 и 0,12. Им соответствуют

Находим первое приближение:

Проверка: при полученном значении силы роста = = A/R = 4,95 такая степень точности явно недостаточна, поэтому продолжим расчет, сокращая диапазон заданных значений силы роста. Пусть ставки, между которыми производится интерполяция, равны 0,125 и 0,13, тогда:

проверка A/R = 5,02. Как видим, уточнение ответа можно продолжить.

Применим теперь формулу (4.55). Пусть начальное значение = 0,12, тогда

Проверка: = 4,992.