- •Раздел 1 Начисление процентов 6
- •Глава 1. Простые проценты 6
- •Глава 2. Сложные проценты 22
- •Глава 3. Конверсия платежей. Эквивалентность процентных ставок 41
- •Раздел 2 Потоки платежей 51
- •Глава 4. Постоянные финансовые ренты 51
- •Глава 10. Форфейтная операция 137
- •Глава 11. Облигации 148
- •Глава 12. Измерение эффективности инвестиций 168
- •Предисловие
- •Раздел 1 Начисление процентов Глава 1. Простые проценты
- •1.1. Время как фактор в финансовых расчетах
- •1.2. Проценты, виды процентных ставок
- •1.3. Наращение по простой процентной ставке
- •1.4. Погашение задолженности частями
- •1.5. Наращение и выплата процентов в потребительском кредите
- •1.6. Дисконтирование и учет по простым процентным ставкам. Рост по учетной ставке
- •1.7. Ставка наращения и учетная ставка. Прямые и обратные задачи
- •1.8. Определение срока ссуды и величины процентной ставки
- •1.9. Конверсия валюты и наращение процентов
- •Глава 2. Сложные проценты
- •2.1. Начисление сложных годовых процентов
- •2.2. Рост по сложным и простым процентам
- •2.3. Наращение процентов т раз в году; номинальная и эффективная ставки
- •2.4. Дисконтирование по сложной ставке процента
- •2.5. Операции со сложной учетной ставкой
- •2.6. Сравнение интенсивности процессов наращения и дисконтирования по разным видам процентных ставок
- •2.7. Непрерывное наращение и дисконтирование — непрерывные проценты
- •2.8. Определение срока платежа и процентных ставок
- •2.9. Кривые доходности
- •2.10. Конверсия валюты и наращение сложных процентов
- •2.11. Наращение процентов, налоги и инфляция (простые и сложные проценты)
- •Глава 3. Конверсия платежей. Эквивалентность процентных ставок
- •3.1. Финансовая эквивалентность обязательств
- •3.2. Консолидирование задолженности
- •3.3. Общая постановка задачи изменения условий выплаты платежей
- •3.4. Эквивалентность процентных ставок
- •3.5. Средние процентные ставки
- •Раздел 2 Потоки платежей Глава 4. Постоянные финансовые ренты
- •4.1. Виды потоков платежей и их основные параметры
- •4.2. Наращенная сумма постоянной ренты постнумерандо
- •4.3. Современная стоимость постоянной ренты постнумерандо
- •4.4. Определение параметров постоянных рент постнумерандо
- •4.5. Наращенные суммы и современные стоимости других видов постоянных рент
- •4.6. Взаимоувязанные, последовательные потоки платежей
- •4.7. Постоянная непрерывная рента
- •Глава 5. Переменные потоки платежей
- •5.1. Ренты с постоянным абсолютным приростом платежей
- •5.2. Ренты с постоянным относительным приростом платежей
- •5.3. Непрерывные переменные потоки платежей
- •5.4. Конверсии постоянных аннуитетов
- •5.5. Изменения параметров ренты
- •Раздел 3 Практические приложения количественного финансового анализа Глава 6. Страховые аннуитеты
- •6.1. Финансовые ренты в страховании
- •6.2. Страхование жизни
- •6.3. Пенсионное страхование
- •6.4. Расчеты тарифов и размеров пенсий
- •6.5. Сберегательное (трастовое) обеспечение пенсий
- •Глава 7. Планирование погашения долгосрочной задолженности
- •7.1. Расходы по обслуживанию долга
- •7.2. Планирование погасительного фонда
- •7.3. Погашение долга в рассрочку
- •7.4. Льготные займы и кредиты
- •7.5. Реструктурирование займа
- •Глава 8. Ипотечные ссуды. Погашение потребительского кредита
- •8.1. Виды ипотечных ссуд
- •8.2. Расчеты по стандартным ипотечным ссудам
- •8.3. Нестандартные ипотеки
- •8.4. Погашение потребительского кредита
- •Глава 9. Анализ кредитных операций
- •9.1. Полная доходность
- •9.2. Баланс финансово-кредитной операции
- •9.3. Доходность ссудных и учетных операций с удержанием комиссионных
- •9.4. Доходность купли-продажи финансовых инструментов
- •9.5. Доходность потребительского кредита
- •9.6. Долгосрочные ссуды
- •9.7. Сравнение коммерческих контрактов
- •9.8. Определение предельных значений параметров контрактов
- •Глава 10. Форфейтная операция
- •10.1. Сущность операции а форфэ
- •10.2. Анализ позиции продавца
- •10.3. Анализ позиций покупателя и банка
- •Глава 11. Облигации
- •11.1. Виды облигаций и их рейтинг
- •11.2. Измерение доходности облигаций
- •11.3. Дополнительные сведения по измерению доходности облигаций
- •11.4. Характеристики поступления средств от облигации и измерение риска
- •11.5. Оценка займов и облигаций
- •11.6. Возмещение премии и накопление дисконта облигаций
- •11.7. Портфель облигаций
- •11.8. Изменение структуры портфеля облигаций. Метод "бабочки"
- •Глава 12. Измерение эффективности инвестиций
- •12.1. Инвестиционный процесс как объект количественного финансового анализа
- •12.2. Чистый приведенный доход
- •12.3. Основные измерители эффективности капиталовложений
- •12.4. Измерение эффективности сложных систем. Моделирование инвестиционного процесса
- •12.5. Аренда оборудования
- •Приложение. Таблицы для финансовых расчетов
2.6. Сравнение интенсивности процессов наращения и дисконтирования по разным видам процентных ставок
Выше для наращения и дисконтирования использовались ставки is, i, j, ds, d, f. Естественно, что даже в одинаковых исходных условиях применение этих ставок приводит к различным результатам. В связи с этим представляет определенный практический интерес сравнение результатов наращения и дисконтирования по различным ставкам. Для этого достаточно сопоставить множители наращения, полученные по разным ставкам, аналогично нужно поступить и с дисконтными множителями. Частично эта проблема рассматривалась при сравнении процессов наращения по простой и сложной ставке процентов (см. параграф 2.2).
Опустив формальные доказательства, сразу запишем необходимые соотношения при условии, что абсолютные размеры ставок одинаковы. Варианты со ставками j и f рассматривать не будем, так как результат зависит и от значения т.
Множители наращения соотносятся следующим образом:
при 0 < п < 1 (1 + i)n < (1 + nis) < 1/(1 - nds) < 1/(1 - d)n;
при n =1 (1 + i) = (1 + is) < 1/(1 - ds) = 1/(1 - d);
при п > 1 (1 +nis) < (1 + i)n < 1/(1 - d)n < 1/(1 - nds).
В табл. 2.3 приведены значения множителей наращения для разных видов ставок при условии, что размер ставок одинаков и равен 20%.
Таблица 2.3 Множители наращения для разных видов ставок (20%)
Срок |
Множители наращения |
|||
is |
i |
ds |
d |
|
0,2 |
1,04 |
1,0371 |
1,0417 |
1,0456 |
0,5 |
1,10 |
1,0954 |
1,1111 |
1,1180 |
0,8 |
1,16 |
1,1570 |
1,1905 |
1,1954 |
1,0 |
1,20 |
1,200 |
1,2500 |
1,2500 |
1,5 |
1,30 |
1,3145 |
1,4286 |
1,3975 |
2,0 |
1,40 |
1,4400 |
1,6667 |
1,5625 |
3,0 |
1,60 |
1,7280 |
2,5000 |
1,9531 |
5,0 |
2,00 |
2,4883 |
∞ |
3,0517 |
10,0 |
11,00 |
6,1917 |
∞ |
9,3132 |
Аналогичным образом получим систему неравенств для дисконтных множителей:
при 0< n <1 (1 - d)n < (1 - nds) < 1/(1 + nis) < 1/(1 + i)n,
при n = 1 (1 - d) = (1 - ds) < 1/(1 + is) = 1/(1 + i),
при n > 1 (1 - nds) < (1 - d)n < 1/(1 + i)n < 1/(1 + nis).
2.7. Непрерывное наращение и дисконтирование — непрерывные проценты
В практических финансово-кредитных операциях непрерывное наращение, т.е. наращение за бесконечно малые отрезки времени, применяется крайне редко. Существенно большее значение непрерывное наращение имеет в анализе сложных финансовых проблем, например при обосновании и выборе инвестиционных решений, в финансовом проектировании. Немаловажное значение имеет и то, что с помощью непрерывных процентов удается учесть сложные закономерности процесса наращения, например использовать изменяющиеся по определенному закону процентные ставки.
При непрерывном наращении процентов применяют особый вид процентной ставки — силу роста (force of interest). Сила роста характеризует относительный прирост наращенной суммы за бесконечно малый промежуток времени. Она может быть постоянной или изменяться во времени.
Постоянная сила роста. Напомним, что при дискретном начислении процентов т раз в году по номинальной ставке j наращенная сумма находится как
S = Р(1 +j/m)mn.
Чем больше т, тем меньше промежуток между моментами начисления процентов. В пределе при т, стремящемся к бесконечности, имеем
Известно, что , где е — основание натуральных логарифмов.
Наращенная сумма находится как
.
Для того чтобы отличить непрерывную ставку от дискретной, силу роста обычно обозначают как δ. Теперь окончательно запишем
(2.18)
Итак, при непрерывном наращении процентов наращенная сумма равна конечной величине, зависящей от первоначальной суммы, срока наращения и силы роста. Последняя представляет собой номинальную ставку сложных процентов при m → ∞.
Дискретные и непрерывные ставки наращения находятся в функциональной зависимости между собой. Из равенства множителей наращения следует
(2.19) (2.20)
Пример 2.12. Сумма, на которую начисляются проценты, равна 2 млн. руб., сила роста — 10%, срок — пять лет. Наращенная сумма составит
S = 2 000 000 х е0,1 x 5 = 3 297 744,25 руб.
Непрерывное наращение по ставке δ = 10% равнозначно (см. формулу (2.20)) наращению за тот же срок сложных годовых процентов по ставке
i = e0,1 - 1 = 0,1051709, или 10,51709%.
В самом деле, мы получим ту же наращенную сумму, применив эту ставку.
S = 2 000 000(1 + 0,1051709)5 = 3 297 744,25 руб.
Дисконтный множитель на основе силы роста находится элементарно. Для этого решим уравнение (2.18) относительно Р.
Дисконтный множитель, следовательно, равен
Переменная сила роста. Пусть сила роста изменяется во времени, следуя определенному закону — непрерывной функции времени: , тогда наращенная сумма и современная стоимость определяются как
Рассмотрим варианты определения множителя наращения для случаев, когда величина δt представляет собой линейную и экспоненциальную функцию. Если это линейная функция δt = δ0 + at, где δ0 — начальное значение силы роста, а — ее прирост, то
Множитель наращения находится как
(2.21)
Пример 2.13. Пусть начальное значение силы роста равно 8%, ставка непрерывно и линейно изменяется, прирост за год 2% (а = 0,02). Срок наращения — пять лет. Для расчета множителя наращения за весь срок найдем его степень:
Искомый множитель составит е0,65 = 1,91554. Продолжим пример. Предположим, что сила роста теперь линейно уменьшается: а = -0,02. В этом случае степень множителя наращения равна 0,15, соответственно е0,15 = 1,16183.
Рассмотрим ситуацию, когда сила роста изменяется по геометрической прогрессии: δt = δ0at; δ0 — начальное значение силы роста, а — постоянный темп роста. В этом случае степень множителя равна
,
а сам множитель находится как
. (2.22)
Пример 2.14. Начальный уровень силы роста 8%, процентная ставка непрерывно увеличивается (годовой прирост 20%, т.е. а = 1,2), срок — пять лет. Степень множителя наращения за весь срок равна
, соответственно е0,65305 = 1,9214.