Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления

­¥®¤­®à®¤­®£® (¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥) ãà ¢­¥­¨ï x(t) = f;x(t) t x(0) = x0 ¯®á«¥ § ¬¥­ë ¯¥à¥¬¥­­ëå ¨ ¯®¤áâ ­®¢ª¨ x0 = x0; x x(t) = x(t) + x x(t) = x(t) + x (t) ¯à¨å®¤¨¬ ª ãà ¢­¥-

­¨î ¢ ®âª«®­¥­¨ïå x(t) = f~; x(t) t ¢ ª®â®à®¬ äã­ªæ¨ï

f~(0 t) = 0 ¤«ï ¢á¥å t:

«¥¤®¢ ⥫쭮, à áᬮâ७­ë¥ § ¤ ç¨ á¢®¤ïâáï ª ¨áá«¥¤®- ¢ ­¨î ­¥¢®§¬ã饭­®£® ¤¢¨¦¥­¨ï ãà ¢­¥­¨ï (11.14) «¨¡® ¡®- «¥¥ ®¡é¥£® ­¥®¤­®à®¤­®£® ãà ¢­¥­¨ï

¨á. 11.5. á⮩稢®áâì ¯® ï¯ã­®¢ã.

®§­ ç ¥â ­¥¯à¥à뢭ãî § ¢¨á¨¬®áâì à¥è¥­¨© ®â ­ ç «ì­ëå ãá«®¢¨©, à ¢­®¬¥à­ãî ¯® t [12, 79].

S ®¡¥á¯¥ç¨¢ îé ï § ¤ ­­ë¥ ®£à ­¨ç¥­­ë¥ ®âª«®­¥­¨ï ®â á®áâ®ï­¨ï à ¢­®¢¥á¨ï, ¬®¦¥â ¨¬¥âì ¬ «ë¥ à §¬¥àë. ¦­®, çâ® ®­ ­¥­ã«¥¢ ï. ª ç¥á⢥ ¯à¨¬¥à , ¬®¦­® à áᬮâà¥âì "®¡à 饭­ë© ¬ ïâ­¨ª" á áã娬 â७¨¥¬. ¬¥¥âáï ª®­¥ç­ ï (¯ãáâì ­¥¡®«ìè ï) ®¡« áâì ­ ç «ì­ëå á®áâ®ï­¨©, ¢ ª®â®à®¬ ¥£® ¢¥à⨪ «ì­®¥ ¯®«®¦¥­¨¥ ãá⮩稢®.

¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 4 . ®«®¦¥­¨¥ à ¢­®¢¥á¨ï ãá⮩稢ëå «¨­¥©­ëå á¨á⥬ ãá⮩稢® ¯® ï¯ã­®¢ã. ®«®¦¥­¨¥ à ¢- ­®¢¥á¨ï ¨ ¯à¥¤¥«ì­ë© 横« ¢â®ª®«¥¡ ⥫ì­ëå ­¥«¨­¥©­ëå á¨á⥬, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ­¥ãáâ®©ç¨¢ë ¯® ï¯ã­®¢ã.

¨á. 11.6. ᨬ¯â®â¨ç¥áª ï ãá⮩稢®áâì ¯® ï¯ã­®¢ã.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 2. ®«®¦¥­¨¥ à ¢­®¢¥á¨ï ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨ ãá⮩稢®, ¥á«¨: 1) ®­® ãá⮩稢® ¯® ï¯ã­®¢ã\ 2) áãé¥-

ï¯ã­®¢ã), ¥á«¨ ¤«ï ¢á¥å > 0 ­ ©¤¥âáï x0 2 S ) â ª®¥, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 à¥è¥­¨¥ § ª®­¥ç­®¥ ¢à¥¬ï ¤®á⨣­¥â £à -

¬¥â¨¬, ç⮠ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨ ãáâ®©ç¨¢ë¥ «¨­¥©­ë¥ á¨áâ¥- 263

¬ë £«®¡ «ì­® ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨ ãá⮩稢ë. ª¦¥ ®â¬¥â¨¬, çâ®, å®âï ã «¨­¥©­®© á¨á⥬ë, ä §®¢ë© ¯®àâà¥â ª®â®à®© ¨¬¥- ¥â ¢¨¤ 㧫 , ¨¬¥îâáï ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨ áâ६ï騥áï ª á®áâ®- ï­¨î à ¢­®¢¥á¨ï âà ¥ªâ®à¨¨, â ª ï á¨á⥬ ­¥ãá⮩稢 ¯®ï¯ã­®¢ã.

¨á. 11.7. ¥ãá⮩稢®áâì ¯® ï¯ã­®¢ã.

11.4.2. á⮩稢®áâì ¬­®¦¥á⢠¨ ç áâ¨ç­ ï ãá⮩稢®áâì

«ï à áè¨à¥­¨ï ª« áá à áᬠâਢ ¥¬ëå § ¤ ç ¨á¯®«ì§ã- îâáï ¨ ¤à㣨¥ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ãá⮩稢®áâ¨. ­®£¨¥ ¨§ ­¨å á¢ï§ ­ë á ¯¥à¥å®¤®¬ ®â ãá⮩稢®á⨠â®çª¨ ¨«¨ ª®­ªà¥â­®© âà ¥ªâ®à¨¨ ª ãá⮩稢®á⨠¬­®¦¥áâ¢.

¯à¨¬¥à, ¤«ï ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï ¢â®ª®«¥¡ ⥫ì­ëå á¨á⥬ ¨ ¤¢¨¦ãé¨åáï ¯® § ¬ª­ãâë¬ âà ¥ªâ®à¨ï¬ ®¡ê¥ªâ®¢, ¢¢®¤¨âáï

­ «®£¨ç­®, ¬®¦­® ¤ âì ¨ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ᨬ¯â®â¨ç¥áª®© ®à¡¨â «ì­®© ãá⮩稢®áâ¨, £«®¡ «ì­®© ᨬ¯â®â¨ç¥áª®© ®à- ¡¨â «ì­®© ãá⮩稢®á⨠¨ â.¤. ¤ ­­®¬ ®¯à¥¤¥«¥­¨¨ à á- ᬠâਢ ¥âáï ¡«¨§®áâì à¥è¥­¨ï ª ¯à®æ¥ááã, ª ª ª ­¥ª®â®à®-

¬ã ¬­®¦¥áâ¢ã â®ç¥ª. ®í⮬ã à ááâ®ï­¨ï ¬¥¦¤ã â®çª ¬¨ ¢®§¬ã饭­®£® ¨ ­¥¢®§¬ã饭­®£® ¤¢¨¦¥­¨© ¢ ª ¦¤ë© ¤ ­­ë©

264

¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ ¬®£ãâ ®ª § âìáï ¡®«ì訬¨, ­® âà ¥ªâ®à¨¨ ®áâ îâáï ¡«¨§ª¨¬¨ (à¨á. 11.8).

¨á. 11.8. à¡¨â «ì­ ï ᨬ¯â®â¨ç¥áª ï ãá⮩稢®áâì.

㤥¬ ¯à¥¤¯®« £ âì, çâ® à¥è¥­¨ï ãà ¢­¥­¨ï (11.14) ®¯à¥-

î饩 â®çª¨, ­ 稭 î饥áï ¢ ¯®«®¦¥­¨¨ à ¢­®¢¥á¨ï, ¨«¨ ­ § ¬ª­ã⮩ âà ¥ªâ®à¨¨, ¡ã¤¥â ®áâ ¢ âìáï â ¬ ¤«ï ¢á¥å ¬®¬¥­- ⮢ ¢à¥¬¥­¨. ®®â¢¥âáâ¢ãî騥 ¬­®¦¥á⢠â®ç¥ª ®¡à §ãîâ

¨­¢ ਠ­â­ë¥ ¬­®¦¥á⢠¢ ¯à®áâà ­á⢥ á®áâ®ï­¨© [34, 94].

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 6. ­¢ ਠ­â­ë¬ ¬­®¦¥á⢮¬ M ­ §ë¢ - ¥âáï ¬­®¦¥á⢮ fxg â®ç¥ª â ª¨å, çâ® ¨§ x(t0) 2 M ¤«ï ­¥ª®â®- ண® t0 á«¥¤ã¥â, çâ® x(t) 2 M ¤«ï ¢á¥å ;1 < t < +1:

᫨ íâ® ¬­®¦¥á⢮ ¢ª«îç ¥â ¢á¥ ¢®§¬®¦­ë¥ §­ 祭¨ï

¬¥¥âáï á«¥¤ãî饥 ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ ãá⮩稢®á⨠¨­¢ à¨- ­â­®£® ¬­®¦¥á⢠, ®¡®¡é î饥 ¯®­ïâ¨ï ®à¡¨â «ì­®© ãá⮩-

á⮩稢®áâì ¬­®¦¥á⢠®â­®á¨âáï ª ª« ááã ᢮©á⢠ç - áâ¨ç­®© ãá⮩稢®á⨠á¨á⥬. à㣨¬ ¯®¤®¡­ë¬ ᢮©á⢮¬

£¤¥ x 2 Rn, 2 Rnu , nu n, f(x) ¨ h(x) { ­¥¯à¥àë¢­ë¥ ¢¥ªâ®à- ä㭪樨. ãáâì á¨á⥬ (11.15) ¨¬¥¥â à ¢­®¢¥á¨¥ x = x (®¡- 騩 á«ãç © ᢮¤¨âáï ª í⮬㠧 ¬¥­®© ª®®à¤¨­ â ¨ à áᬮ-

â७¨¥¬ ãà ¢­¥­¨© ¢®§¬ã饭­®£® ¤¢¨¦¥­¨ï).

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 8. ¥è¥­¨¥ x = x á¨á⥬ë (11.15) ­ §ë¢ - ¥âáï ãáâ®©ç¨¢ë¬ ¯® ®â­®è¥­¨î ª ä㭪樨 h(x), ¥á«¨ ¤«ï «î- ¡®£® " > 0 ­ ©¤¥âáï (") > 0, â ª®¥, çâ® ¤«ï ¢á¥å ­ ç «ì­ëå

᫨ à¥è¥­¨¥ x = x ãá⮩稢® ¯® ®â­®è¥­¨î ª h(x) ¨, ªà®¬¥ ⮣®, ¢ë¯®«­ï¥âáï ãá«®¢¨¥ ââà ªâ¨¢­®áâ¨

â® à¥è¥­¨¥ x ­ §ë¢ ¥âáï ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨ ãáâ®©ç¨¢ë¬ ¯®

®â­®è¥­¨î ª ä㭪樨 h(x).

᫨ à¥è¥­¨¥ x = x ãá⮩稢® ¯® ®â­®è¥­¨î ª ä㭪樨 h(x), ¢á¥ à¥è¥­¨ï á¨á⥬ë (11.15) ®¯à¥¤¥«¥­ë ¯à¨ ¢á¥å t 0 ¨ ãá«®¢¨¥ ââà ªâ¨¢­®á⨠(11.18) ¢ë¯®«­ï¥âáï ¤«ï «î¡ëå ­ - ç «ì­ëå ãá«®¢¨© x0, â® à¥è¥­¨¥ x = x (¨ á¨á⥬ (11.15))

­ §ë¢ ¥âáï £«®¡ «ì­® ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨ ãá⮩稢®© ¯® ®â­®-

襭¨î ª ä㭪樨 h(x).

祢¨¤­®, ¯à¨ nu = n ¨ h(x) = x ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ 8 ᮢ¯ ¤ ¥â á® áâ ­¤ àâ­ë¬¨ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï¬¨ ãá⮩稢®á⨠¯® ï¯ã­®¢ã ¨ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®© ãá⮩稢®áâ¨. ¬ . . ï¯ã­®¢ § - ­¨¬ «áï ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï¬¨ ¨¬¥­­® í⮣® ç áâ­®£® á«ãç ï. 1957 £. . . ã¬ï­æ¥¢ áä®à¬ã«¨à®¢ « ªà¨â¥à¨¨ ãá⮩ç¨- ¢®á⨠¯® ®â­®è¥­¨î ª ç á⨠¯¥à¥¬¥­­ëå, ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 á«ãç î x = colfy zg h(x) = y. ®¤à®¡­¥¥ ® ᢮©áâ¢ å ¨ ãá«®-

¢¨ïå ç áâ¨ç­®© ãá⮩稢®á⨠á¬. ¢ [28, 29, 64, 86]. ⬥⨬, 266

çâ® ãá⮩稢®áâì ¯® ®â­®è¥­¨î ª ä㭪樨 h(x) ­¥ ᢮¤¨âáï ª ãá⮩稢®á⨠¬­®¦¥á⢠fx:h(x) = h(x )g, ª ª ¯®ª §ë¢ ¥â á«¥¤ãî騩 ¯à¨¬¥à.

ਬ¥à. áᬮâਬ á¨á⥬ã 2-£® ¯®à浪

áᬮâਬ äã­ªæ¨î ¢ë室

x22

1 + x21

¨ ¢ëç¨á«¨¬ ᪮à®áâì ¥¥ ¨§¬¥­¥­¨ï ¢¤®«ì à¥è¥­¨© á¨á⥬ë:

«¥¤®¢ ⥫쭮, ;4h h_ ;3h 0 ¨, §­ ç¨â, h(x1 (t)x2(t)) ! 0 ¨ h_ (x1(t) x2(t)) ! 0 ¯à¨ t ! 1. ¤­ ª®, ­¨ª ª®¥ à¥è¥­¨¥ (11.19) á ­ ç «ì­ë¬ ãá«®¢¨¥¬ x2(0) = a 6= 0 ­¥ áâ६¨âáï ª ¬­®¦¥áâ¢ã S = f(x1 x2): h(x1 x2) = 0g = f(x1 x2): x2 = 0g. â® «¥£ª® ¢¨¤­® ¨§ (11.20). 2

ਠ¨áá«¥¤®¢ ­¨¨ á¨á⥬, ¯®¤¢¥à¦¥­­ëå ®£à ­¨ç¥­­ë¬ ¢®§¬ã饭¨ï¬, ®ª §ë¢ îâáï ¯®«¥§­ë¬¨ á«¥¤ãî騥 ¤¢ ®¯à¥- ¤¥«¥­¨ï [34, 64].

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 9. ¨á⥬ ­ §ë¢ ¥âáï ãá⮩稢®© ¯® - £à ­¦ã, ¥á«¨ ª ¦¤®¥ ¥¥ à¥è¥­¨¥ ­¥®£à ­¨ç¥­­® ¯à®¤®«¦ ¥¬®

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 10. ¨á⥬ ­ §ë¢ ¥âáï ¯à¥¤¥«ì­® ®£à ­¨ç¥­- ­®© (¤¨áᨯ ⨢­®© ¯® ¥¢¨­á®­ã), ¥á«¨ áãé¥áâ¢ãîâ ®¡« áâ¨

¨á. 11.9. á⮩稢®áâì ¯® £à ­¦ã.

¨á. 11.10. ¨áᨯ ⨢­®áâì ¢ 楫®¬.

᫨ S { ¢á¥ ¯à®áâà ­á⢮, â® á¨á⥬ ­ §ë¢ ¥âáï

¤¥«ì­® ®£à ­¨ç¥­­®© ¢ 楫®¬ (à¨á. 11.10).

­­л¥ ®¯а¥¤¥«¥­¨п п¢«повбп ­ ¨¡®«¥¥ а б¯а®бва ­¥­- ­л¬¨, е®вп ¯а¥¤бв ¢«пов б®¡®© ¬ «го з бвм ®¯а¥¤¥«¥­¨© гбв®©з¨¢®бв¨, ¨б¯®«м§г¥¬ле ¢ в¥®а¨¨ б¨бв¥¬.

11.4.3. 㭪樨 ï¯ã­®¢

¥à¥©¤¥¬ ⥯¥àì ­¥¯®á।á⢥­­® ª ¨§«®¦¥­¨î ®á­®¢­ëå ¨¤¥© ¨ ­¥ª®â®àëå १ã«ìâ ⮢ ¬¥â®¤ ä㭪権 ï¯ã­®¢ .

ç­¥¬ à áᬮâ७¨¥ á® á«¥¤ãî饣® ¯à¨¬¥à .

áᬮâਬ á¨á⥬㠯¥à¢®£® ¯®à浪 , n = 1 ãà ¢­¥­¨¥ 268

ª®â®à®© ¨¬¥¥â ¢¨¤

ãáâì äã­ªæ¨ï f(x) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¤®¯®«­¨â¥«ì­®¬ã ãá«®- ¢¨î xf (x) < 0 ¯à¨ x 6= 0 â.¥. ¥¥ £à 䨪 «¥¦¨â 楫¨ª®¬ ¢® ¢â®à®¬ ¨ ç¥â¢¥à⮬ ª¢ ¤à ­â å, ¯à¨ç¥¬ f (x) = 0 ⮫쪮 ¢

â®çª¥ x = 0: à㣮© ¨­ä®à¬ 樨 ® ¢¨¤¥ í⮩ ä㭪樨 ­¥â.ॡã¥âáï ¨áá«¥¤®¢ âì ãá⮩稢®áâì á®áâ®ï­¨ï à ¢­®¢¥á¨ï á¨á⥬ë (11.21).

12x2: ¬¥â¨¬, çâ® V (0) = 0 ¨ V (x) > 0 ¯à¨ x =6 0: ­ 祭¨ï x = x(t) ¬¥­повбп ¢ б®®в¢¥вбв¢¨¨ б га ¢­¥­¨¥¬ (11.21). «¥¤®¢ в¥«м­®, ¢ б¨«г

¥âáï ¢ ª ¦¤®© â®çª¥ ¯à®áâà ­á⢠á®áâ®ï­¨© ¯® ª®®à¤¨­ â ¬

¢­¨¬ ­¨¥ ­ â®, çâ® ¢ë¢®¤ ®¡ ãá⮩稢®á⨠á®áâ®ï­¨ï à ¢- ­®¢¥á¨ï ¯®«ã祭 ¡¥§ à¥è¥­¨ï ãà ¢­¥­¨ï (11.21), ¡®«¥¥ ⮣®,

{¯à¨ á ¬ëå ®¡é¨å ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨ïå ® ¢¨¤¥ ä㭪樨 f (x).

­­ë© ¯à¨¬¥à ®â­®á¨«áï ª á¨á⥬¥ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 . §-

« £ ¥¬ë¥ ­¨¦¥ â¥®à¥¬ë «ï¯ã­®¢áª®£® ⨯ ¯à¨¬¥­¨¬ë ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì­®£® n:

áᬮâ७­ ï ¢ ¤ ­­®¬ ¯à¨¬¥à¥ äã­ªæ¨ï ï¥âáï ¯à¥¤- áâ ¢¨â¥«¥¬ ä㭪権 ï¯ã­®¢ . ¬¥¥âáï ­¥áª®«ìª® ®¯à¥¤¥«¥- ­¨© íâ¨å ä㭪権. ®í⮬ã 㬥áâ­® ®¡à â¨âìáï ª à §êïá­¥- ­¨î, ¤ ­­®¬ã á ¬¨¬ . . ï¯ã­®¢ë¬ ¢ ¥£® ®á­®¢®¯®« £ î-

饬 âà㤥 1892 £. [60].

269

" ¤à㣮¬ã [¬¥â®¤ã] ¬ë ¯à¨ç¨á«¨¬ ¢á¥ â¥, ª®â®àë¥ ®á­®- ¢ë¢ îâáï ­ ¯à¨­æ¨¯ å, ­¥ § ¢¨áïé¨å ®â à §ë᪠­¨ï ª ª¨å- «¨¡® à¥è¥­¨© ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­ëå ãà ¢­¥­¨© ¢®§¬ã饭­®£® ¤¢¨¦¥­¨ï. ... \ ¨ ¢®®¡é¥ ¢ ®á­®¢ ­¨¨ ¢á¥å â¥å ¨§ ­¨å, á ª®â®àë- ¬¨ ¢áâà¥â¨¬áï ¤ «¥¥, ¢á¥£¤ ¡ã¤¥â «¥¦ âì à §ë᪠­¨¥ äã­ª- 権 ¯¥à¥¬¥­­ëå x1 x2 : : : xn t ¯® ­¥ª®â®àë¬ ¤ ­­ë¬ ãá«®¢¨- ï¬, ª®â®àë¬ ¤®«¦­ë 㤮¢«¥â¢®àïâì ¨å ¯®«­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥ ¯® t á®áâ ¢«¥­­ë¥ ¢ ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨¨, çâ® x1 x2 : : : xn áãâì ä㭪樨 t, 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ãà ¢­¥­¨ï¬."

¬ . . ï¯ã­®¢ ¯à¨¬¥­ï« à §à ¡®â ­­ë© ¨¬ ¬¥â®¤ ª

§¤ ç ¬ ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï ãá⮩稢®á⨠á¨á⥬. ¤­ ª® ¢® ¢â®- ன ¯®«®¢¨­¥ XX ¢. ¢ëïá­¨«®áì, çâ® íâ®â ¯®¤å®¤ á ãᯥ宬 à ¡®â ¥â ¨ ¤«ï ­ «¨§ ª ç¥á⢠á¨á⥬, ãá⮩稢®á⨠¬­®- ¦¥áâ¢, ª®«¥¡ ⥫쭮á⨠¨ ¤àã£¨å ¤¨­ ¬¨ç¥áª¨å ᢮©á⢠­¥-

«¨­¥©­ëå á¨á⥬, â ª¦¥ ¤«ï à¥è¥­¨ï § ¤ ç ᨭ⥧ . â® ¯à¨¢¥«® ª ¯®­¨¬ ­¨î ¬¥â®¤ ä㭪権 ï¯ã­®¢ ª ª ¢¥¤ãé¥- £® ¬¥â®¤ ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï ­¥«¨­¥©­ëå á¨á⥬.

¤ ­­®© £« ¢¥ ¬ë à áᬮâਬ «¨èì ®á­®¢­ë¥ ⥮६ë

㤥¬ à áᬠâਢ âì ä㭪樨 V (x) 㤮¢«¥â¢®àïî騥 á«¥-

¤ãî騬 âॡ®¢ ­¨ï¬: 1) V (x) ­¥¯à¥à뢭 ¨ ­¥¯à¥à뢭®-¤¨ä- ä¥à¥­æ¨à㥬 ¯® x ¢ ­¥ª®â®à®© ®¡« á⨠X, ᮤ¥à¦ 饩 ­ ç «® ª®®à¤¨­ â\ 2) V (x) ®¡à é ¥âáï ¢ ­®«ì ¢ ­ ç «¥ ª®®à- ¤¨­ â: V (0) = 0\ 3) V (x) ¯®«®¦¨â¥«ì­® ®¯à¥¤¥«¥­ , â.¥. ¯®- «®¦¨â¥«ì­ ¢áî¤ã, ªà®¬¥ ­ ç « ª®®à¤¨­ â: V (x) > 0 ¯à¨

6 ã­ªæ¨ï W (x) ­ §ë¢ ¥âáï ®âà¨æ ⥫쭮 ®¯à¥¤¥«¥­­®©, ¥á«¨

;W (x) ¯®«®¦¨â¥«ì­® ®¯à¥¤¥«¥­ .

᫨ ­¥®âà¨æ â¥«ì­ ï äã­ªæ¨ï ¬®¦¥â ®¡à é âìáï ¢ ­®«ì ­¥ ⮫쪮 ¯à¨ x = 0 â® ®­ ­ §ë¢ ¥âáï ­¥®âà¨æ ⥫쭮 ®¯à¥-

¤¥«¥­­®© (§­ ª®¯®«®¦¨â¥«ì­®©).

«ï ä®à¬ã«¨à®¢ª¨ ¤ «ì­¥©è¨å १ã«ìâ ⮢ ¯®­ ¤®¡¨âáï ¯à®¨§¢®¤­ ï ¯® ¢à¥¬¥­¨ ä㭪樨 ï¯ã­®¢ ¢ ᨫã á¨c⥬ë (10.12) (ãà ¢­¥­¨ï ª®â®à®© ¯à¨ n = 1 ᮢ¯ ¤ îâ á (11.14)).

ᯮ«ì§ãï ¯à ¢¨«® ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨ï á«®¦­®© ä㭪樨 ¨ ®¯¥à æ¨î ¢ëç¨á«¥­¨ï ¯à®¨§¢®¤­®© ᪠«ïà­®© ä㭪樨 ¯®

270

¢¥ªâ®à­®¬ã à£ã¬¥­âã ¯®«ã稬 14

ਢ¥¤¥¬ ⥯¥àì ä®à¬ã«¨à®¢ª¨ ­¥ª®â®àëå ⥮६.¥®à¥¬ 1. ¡ ãá⮩稢®á⨠( . . ï¯ã­®¢).

᫨ ¯à¨ x 2 áãé¥áâ¢ã¥â ¯®«®¦¨â¥«ì­®-®¯à¥¤¥«¥­­ ï äã­ªæ¨ï V (x) â ª ï, çâ® ¥¥ ¯à®¨§¢®¤­ ï ¢ ᨫã á¨á⥬ë (10.12) §­ ª®®âà¨æ â¥«ì­ , â® á®áâ®ï­¨¥ à ¢­®¢¥á¨ï ãá⮩ç¨- ¢® ¯® ï¯ã­®¢ã.

¥®à¥¬ 2. ¡ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®© ãá⮩稢®á⨠( . . ï- ¯ã­®¢).

᫨ ¯à¨ x 2 áãé¥áâ¢ã¥â ¯®«®¦¨â¥«ì­®-®¯à¥¤¥«¥­­ ï äã­ªæ¨ï V (x) â ª ï, çâ® ¥¥ ¯à®¨§¢®¤­ ï ¢ ᨫã á¨á⥬ë (10.12) ®âà¨æ ⥫쭮 ®¯à¥¤¥«¥­ , â® á®áâ®ï­¨¥ à ¢­®¢¥á¨ï ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨ ãá⮩稢® ¯® ï¯ã­®¢ã.

¥®à¥¬ 3. ¡ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®© ãá⮩稢®á⨠¢ ®¡« á⨠S ( ᨬ¯â®â¨ç¥áª®© ãá⮩稢®á⨠"¢ ¡®«ì讬") [93, 94].

᫨ ¯à¨ ¢ë¯®«­¥­¨¨ ãá«®¢¨© ⥮६ë 2 ¤«ï ­¥ª®â®à®£®

C > 0 ­¥à ¢¥­á⢮ V (x) C ¢ë¯®«­¥­® ¢ § ¬ª­ã⮩ ®ªà¥áâ- ­®á⨠­ ç « ª®®à¤¨­ â S f0g 2 S â® á®áâ®ï­¨¥ à ¢­®¢¥- á¨ï f0g ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨ ãá⮩稢® á ®¡« áâìî ¯à¨â殮­¨ï S (á¬. ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ 2, á. 263).

¥®à¥¬ 4. ¡ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®© ãá⮩稢®á⨠¢ 楫®¬

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®£à ­¨ç¥­­®© [64, 93]. à® äã­ªæ¨î V (x t) § ¢¨бпйго п¢-

14 ®«¥§­® ¨¬¥âì ¢ ¢¨¤ã á«¥¤ãî騥 ¯à ¢¨« ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨ï [23]: ¯à®¨§¢®¤­ ï ᪠«ïà­®© ä㭪樨 V (x) ¯® ¢¥ªâ®àã x 2 Rn ï¥âáï 1 n-