Емельянов С.В. Новые типы обратной связи

в режиме скольжения (т = О, то искомый фазовый вектор должен удо­ влетворять уравнению

где V(T — градиент функции (т{х) в точке х. Решая последнее урав­ нение относительно параметра а, находим

(V<T, ( / - - / + ) ) •

Соответствующее дифференциальное уравнение имеет вид

х = и. =f--a*if--f+) =

и описывает движение по поверхностям уровня а{х) = const. Для получения уравнения скольжения нужно дополнить его равенством

«г = О, X € Mgi. Уравнениям скольжения

i = fsi{x), <т(ж) = 0, а:€М,1

можно придать полезную геометрическую интерпретацию. Введем в рассмотрение на многообразии М оператор

Р{х) = Е- f-{x)-f+{x){V<T{x),{.))

•

Поскольку Р'^ = Р, то этот оператор является оператором локального проектирования на многообразие с = О вдоль прямой (параллельно), задаваемой вектором Д / = / " — /+ (рис. 5.3). Поэтому уравнения

и если Ди ф О, то векторы Д / и 6 коллинеарны. Следовательно, верно равенство

а так как по свойству оператора проектирования

' ^ • ' - ( - ^ > = ' - b(Va,b)<V<T,6) = 0,

то уравнения скольжения можно записать в более компактном виде: X = Pbf, (7 = 0, l € M s l .

5.1.2.Об инвариантности уравнения скольжения по отношению к возмущениям, удовлетворяющим условию согласованности

Напомним, что внешнее возмущение <p{t, х) удовлетворяет условию со­ гласованности (МС-условию), если оно действует в канале управления

В силу указанного выше свойства

РьЬ = 0.

Уравнения скольжения по многообразию М для возмущенного (5.1) и невозмущенного

X = f + Ьи

Именно этот математический факт проясняет тот интерес, кото­ рый постоянно проявляется в теории управления и ее приложениях к идее интегргшьного многообразия и ее реализации с помощью разрыв­

Т.е. при устремлении коэффициента обратной связи в бесконечность {к -> оо), если выполнено условие

(Vff,b)>0.

характеризующий неидеальность переключении, например временную или пространственную задержку, быструю немоделируемую динами­ ку и т.п. Подобный режим скольжения принято называть реальным скользящим режимом. При малых амплитудах А(А) его можно также характеризовать "частотой" переключения W(A), для которой верна оценка

W(A) < ^М.,

^ ^ - 2Л(Д)'

где II/II = min(||/~||, ((/•'"II). При устранении неидеальности пере­ ключения (т.е. при Д —> 0) "амплитуда", как правило, уменьшается до нуля, а "чгютота" растет до бесконечности, т.е.

При этом реальное скольжение переходит в идеальное (рис. 5.5) и весьма важен вопрос о порядке этого перехода по параметру Д.

о-=0

Рис. 5.5

Прежде чем точно определить то, что здесь имеется в виду, полу­ чим уравнения реального скольжения. Напомним, что при идеальном скольжении (а- = 0) искомый фазовый вектор правой части уравнения движения /eq (рис. 5.5) находится в результате решения уравнения

<r = (Vo-,/ec,) = 0.

При реальном скольжении выполнено неравенство |<т| < А{А), и искомый вектор правой чг1сти системы реального скольжения / „ на­ ходится из неоднородного уравнения

<T = (V<r,/„).

В частности, если система имеет вид

то последнее уравнение можно переписать следующим образом:

(Г = (V<T, /) Н- (V<r, Ь)и„ + (Vtr, b)<p.

поэтому впредь имеем дело с уравнением вида

ox

Поскольку е(0) = О, то последнее дифференциальное уравнение эквивалентно интегральному уравнению

Полагая, что на некотором отрезке [О, Т]

\т < D,

от интегрального уравнения переходим к скалярному неравенству для нормы ошибки

с

11Ф)11<^^/|Иг)||йг + ||Л||Л(Д).

После применения леммы Гронуолла-Беллмана находим на отрезке [О, Т] искомую оценку

Таким образом, из принадлежности траекторий реального сколь­ жения окрестности многообразия М

0{М)={х I |о-|<Л(Д)}

следует их близость на конечном интернете времени к соответствую­ щим траекториям идеального скольжения с точностью порядка А(Д), т.е. с точностью реешьного скольжения. Отсюда следует, что

•нужно стремиться к повышению порядка реального скольжения по отношению к параметру Д, ибо тогда большей точности при­ ближения к идеальному скольжению можно добиться при большей неидеальности.

Иными словами, это и есть прямой путь к повышению прочности си­ стемы управления.

Аналогичная проблема возникеъет при дискретном моделировании разрывных систем, когда роль параметра неидеальности выполняет шаг дискретизации временной шкалы

Mo n Ml может возникнуть, если разрывна и знакопеременна вторая производная

ir = (V<7, / ± ) = (V<T, /> + {V&, 6)u±,

т.е. (V<T, 6) ^ О на Mo n Ml.

Сказанное иллюстрируют рис. 5.7. На рис. 5.75 показан ход тра­ екторий такой системы при взгляде с торца на пересечение MQ П M I . Поскольку в этом случае функции а и & непрерывны, а функция ir раз-

МоПМг 2

Рис. 5.7

рывна, то в идеальном скользящем режиме имеем соотношения <т = 0, (7 = О, |<г| < const. Следуя принятой выше концепции, такому режиму скольжения нужно присвоить 2-й порядок.

Для определения порядка режима реального скольжения по пара­ метру неидеальности Д допустим, что при достаточно малом Д > О реальный скользяш;ий режим удерживается в окрестности пересече­ ния Мо П Ml, т.е. при некоторых константах Ло(Д), Л1(Д), Лз (Д) имеют место следующие неравенства:

Пусть г(Д) — какой-либо интервал неопределенности а. Ясно, что г(Д) —> О при Д —> 0. Тогда по теореме Лагранжа для некоторой точки в из этого интервсша

Последнее означает, что рассматриваемый реальный скользящий ре­ жим имеет 2-й порядок по параметру неидеальности Л.

В частности, если параметр А = h, где h — шаг дискретизации временной шкалы при численном моделировании разрывной системы, то для реального скольжения 2-го порядка гарантируется соответ­ ствующая точность 2-го порядка по Л выполнения связи о- = О и, следо­ вательно, аналогичная точность приближения траектории реального скольжения к соответствующей траектории идеального скольжения.

0(1) - п

0(1)

О(т^) у^"--у-^

О(г') :хг

Рис. 5.8

Сказанное выше иллюстрируют рис. 5.8. Описанная концепция естественным образом обобщается на произвольный порядок сколь­ жения, именно: пусть Lf(-) — оператор дифференцирования по на­ правлению векторного поля / * , т.е. для гладкой функции ip(x)

L'jD<p(x) = (V<p,f'^), /± = /-h6u±.