Емельянов С.В. Новые типы обратной связи
.pdf2.2. Стабилизация объекта с неопределенным оператором |
91 |
(что, конечно, решает рассматриваемую задачу) и направляется вы бор управления и на входе объекта Pi:
Z + Xiz = fi + u. |
(2.24) |
Для синтеза подходящего управления и удобно записать уравнения движения объекта Pi (2.24) относительно ошибки е = D — 2. Диффе ренцируя последнее уравнение по t и производя замены по формулам
Z = V • |
i = Д 4- U - Ai v + Ai е. |
|
находим искомое уравнение движения в виде |
|
|
|
ё + Xie = (р— и, |
(2.25) |
где (f — v + Xiv + fi. Объект (2.25) также удовлетворяет МС-условию, и поэтому уместно применение глубокой обратной связи по ошибке в стандартном виде и = kic. В результате имеем замкнутую систему управления с уравнением движения вида
e + {ki -I-Ai)e = ip.
При fci —»^ оо объект (2.25) стабилизируется в нуле, что и требо валось доказать. Поскольку ясно, что обратная связь v = —к-^у при А;2 ^ 00 стабилизирует объект Рг в нуле при любых Аг и /г, то можно теперь изобразить структурную схему синтезированной системы кас кадного регулирования (рис. 2.38). Каскадность этой системы упра-
V е
—9—
А
1 |
- ^ |
|
|
s + Xi |
|
|
|
Рис. 2.38
вления следует из того, что обратная связь и = kie способна подавить возмущение
f = k2y + Xik2y + fi
только в том случае, если выполняется условие
lim — 0.
fci-*oo *1
кз-¥оо
92 |
Глава 2. Некоторые принципы построения нелинейных регуляторов |
Последнее условие и устанавливает иерархию коэффициентов уси ления местных контуров обратных связей, а вместе с этим вводит в
систему каскадность. Если структурную схему полученной системы стабилизации представить в виде схемы, изображенной на рис. 2.39, то появляется возможность полезных содержательных интерпрета ций. При таком представлении видны два контура обратных свя-
s + Xj • ®- -к2 - |
Z
Рис. 2.39
зей, причем внутренний контур является более "быстрым" (в пределе бесконечно более "быстрым", чем внешний контур) и, значит, можно считать переменные внешнего контура как бы "замороженными" по отношению к переменным внутреннего контура. Поэтому если вну тренний контур устойчив, то можно считать, что 6 = 11 — г = Ои, сле довательно, внутренний контур как бы "передает" или индуцирует на входе объекта Рг управление v. В связи с этим принцип каскадного регулирования иногда называют принципом индуцированных обрат ных связей.
2.2.3. Структура объектов каскадного регулирования
Рассмотренную выше (рис. 2.39) структуру системы каскадного ре гулирования нетрудно обобщить на случай произвольного числа m каскадов (рис. 2.40). При этом стабилизация выхода объекта у в нуле
/tn-1 |
А |
|
Т Рт -^ Рт-1 Н ^ |
Pl HgK- hPi Н?»--^ *^2^ |
8к - ^^ ftrnfm |
|
Zm-1 |
|
Рис. 2.40
2.2. Стабилиэа1щя объекта с неопределенным оператором |
93 |
возможна при установлении для локгтьных глубоких обратных связей определенной иерархии коэффициентов усиления
lim —— = 0 , г = 1, ... , m — 1.
ki -+00 К,-
Подобным образом можно стабилизировать дгилеко не все объекты, а только те, которые допускают структурную композицию, приведен ную на рис. 2.40. Суть этой композиции в том, что поведение каждого контура не должно зависеть от переменных внутренних (по отноше нию к нему) контуров, т.е. должны выполняться соотношения
Zi = Pi (/,• + Zi+i), i = 1, ... , m - 1,
Zm = y-
Ha языке дифференциальных уравнений последнее означает, что правая часть уравнения движения объекта в форме Коши должна иметь "треугольную структуру", т.е. старшая по номеру переменнгш может входить только строго в предшествующее уравнение и не должна входить в прочие уравнения с меньшими номерами. Пример таких уравнений движения в фазовом пространстве {zi,Z2, ... ,Zm) приведен ниже:
Zl = |
<Pl{zi,t) + Z2, |
Z2 = |
'P2{zi,Z2,t) + Z3, |
Zm = Vm(-Zl, ... ,Zm,t) + U.
Только в этом случае каждую старшую переменную можно интерпре тировать как управление для предшествующих переменных и уста навливать иерархию обратных связей. Подобные объекты принято называть объектами с треугольной структурой.
Изложенное выше показывает, что принцип каскадного регулиро вания является довольно эффективным средством стабилизации не определенного объекта, поскольку:
•синтез обратной связи является итеративным и на каждой итера ции приходится иметь дело с объектом низкого порядка;
•нет необходимости иметь полную информацию о фазовом векторе объекта;
•допускаются и нестационарная неопределенность и произвольные внешние воздействия;
•учитывается разнотемповость физических процессов, протекаю щих в реальной системе.
При этом система каскадного регулирования не свободна и от недо статков: использование больших коэффициентов усиления понижает прочность системы и повышает роль амплитудных ограничений, кро ме того, требуется "треугольная" структура системы, что ограничи вает класс стабилизируемых неопределенных объектов.
94Глава 2. Некоторые принципы построения нелинейных регуляторов
2.2.4.Стабилизация интервальных объектов
Рассмотрим теперь проблему стабилизации в нуле линейного объекта
y(")+a„y("-i) + oij/ = u + /, |
(2.26) |
называемого далее объектом Р, постоянные параметры ai, ... , а„ ко торого неизвестны, а даны только границы содержащих их отрезков, т.е. известны числа af,...,a^ такие, что а,- G [а,~, af]. Эти, из вестные с точностью до интервала, числа называют интервальными и обозначают символом
[а,], г = 1 , . . . , п .
В соответствии с этим объект Р называется интервальным объек том [Р] и записывается в виде
J/("^+Ia„]i/("-i)-H[ai]3/ = u-f-/. |
(2.27) |
Кроме того, интервальный объект может быть задан уравнениегением состояний
X = [А]х + [Ь]и + [d\f, |
(2.28) |
|
У = [с]х, |
||
|
где [А], [Ь], [d\ и [с] — интервальные матрица и векторы соответ ственно. Заметим, что переход от описания (2.27) к (2.28) всегда воз можен, тогда как обратный переход может и не существовать. При стабилизации интервального объекта (2.27) фактически приходится иметь дело с семейством объектов, и этому может быть дана соот ветствующая геометрическая интерпретация.
Пусть а = ( a i , . . . , a „ ) — вектор параметров или точка в век торном пространстве параметров А, определяющая конкретный объ ект (рис. 2.41). Тогда [а] = {[ау], ... ,[а„]) — интервальный вектор
[а]
1 -
olZ
"2
Рис. 2.41
параметров или множество — полиэдр в пространстве Л, определяю щий семейство объектов. Поэтому фактически обратная связь должна быть стабилизирующей для любой точки полиэдра. При этом не воз никает никаких проблем, когда полиэдр "мал", так как есть теоремы, свидетельствующие о непрерывной зависимости решений от параме тров. Но как быть, когда полиэдр нельзя считать "малым"?
2.2. Стабилизация объекта с неопределенным оператором |
95 |
Возможно применение нескольких подходов. Например, можно вы брать медиану каждого i-ro отрезка
аГ = (а+ + аГ)/2
и ввести полуширину |
того же отрезка |
|
Aai |
= {af -аГ)/2, |
i = l , . . . , n . |
Это позволяет выделить стандартный объект Р"* с фиксированными (в нашем случае — с медианными) параметрами
у(п) + а;Г2/^""^^ + ...+аТу = ь, (2.29)
а разницу между (2.29) и (2.27) определить как неизвестное возмуще ние
fiy |
У'"-'^) = (an - |
а-)у("-1) + ...+{аг- |
а^)у, |
для которого, однако, известна |
мажоранта |
|
|
|
<рм{у, ..., 1/("-^)) = |
Аа„|у("-1)| + ...+ |
АаМ, |
т е . 1^1 < <рм- При таких переобозначениях проблему стабилизации интервального объекта Р из (2.27) можно свести к стандартной про блеме стабилизации медианного объекта Р"* из (2.29) при наличии помехи ifi в правой части, т.е.
у(п) ^ amj^(n-l) + ^ „mj^ ^ У ^ _^ _ ^ |
(2.30) |
Если теперь имеется информация о фазовом векторе (у, у^^\ |
..., |
у("-1))^ то рассматриваемую проблему стгьбилизации решает глубокая линейная обратная связь
и = -к {сгу + С2У^^) + ...+ с„_1у("-2) + j/("-i)), |
(2.31) |
если только полином
отвечающий обратной связи (2.31) при к -^ оо, гурвицев. В самом деле, с обратной связью (2.31) интервальный объект [Р] описывается уравнением
у(") + [а;Г + it]y^""^^ + ... + К |
+ ikci]y = |
/ . |
После почленного деления на к имеем |
|
|
i,w + т-' у("-^Ч ...+ |
y = |
-j^{f -<р) |
и после устремления коэффициента обратной связи к в бесконечность получаем уравнение предельного движения
которое, по предположению,'асимптотически устойчиво.
96 Глава 2. Некоторые принципы построения нелинейных регуляторов
Конечно, возможности такого подхода ограничены стандартными (для систем с бесконечно большим коэффициентом усиления) требова ниями к прочности и т.п., которые отчасти можно ослабить примене нием идеи каскадного регулирования. Но в целом проблема стабили зации общего интервального объекта с ограниченным коэффициентом усиления в обратной связи остается по-прежнему актуальной.
2.2.5. Интервальная устойчивость
Альтернативой глубокой обратной связи является, правда только до определенной степени, метод, базирующийся на теории интервальной устойчивости.
Предлагаемая теория основана на разнообразных критериях лока лизации нулей, в ЧЕ1СТН0СТИ, на критериях устойчивости политопов — полиномов с интервальными коэффициентами. Например, соглгьсно критерию Харитонова, для устойчивости политопа
[^] = s» + [a„]5("-i)-b...-H[ai]
необходимо и достаточно устойчивости следующих четырех полино
мов:
у И = af + a^s + a^s^ + a^s^ + ...
<p++ = aj" -I- a j s -I- a^s^ -f ajs^ -I- ...
(pt+ = «i" + ojs -I- a^s^ + a^s^ + ...
<p'^t = af + at^ + «J*^ + 04 s^ + ...
Условия Харитонова, вообще говоря, избыточны, т.е. в некоторых
случаях можно обойтись проверкой устойчивости и еще меньшего чи
сла полиномов. Например, для политопа второго порядка
[<р] = s^ + [a2]s + [ai]
достаточно проверить устойчивость только одного полинома ip = s"^ + a j s -f-af,
что, впрочем, прямо следует из рис. 2.42. Поскольку необходимые
i^^^l
• • • 1<р]
'^ (с)
0 V/.V///V/// '«
Рис. 2.42
и достаточные условия устойчивости политопа [(р] состоят в поло жительности его коэффициентов, то достаточно проверить только
2.2. Стабилизещия объекта с неопределенный оператором |
97 |
точку (=). Если, однако, проводить локализацию нулей политопа бо лее точно, то потребуются дополнительные условия. Например, пра вая ветвь параболы
4ai = al |
(2.32) |
определяет на плоскости (ai, аз) границу апериодической устойчиво сти, и ясно, что для чисто апериодических процессов прямоугольник [а] = ([ai],[ai]) должен целиком лежать ниже параболы (2.32), а для колебательных — выше ее (рис. 2.43). Поэтому потребуется наложить
/ / / / / / / / / / / / / / / / / / |
•« |
Рис. 2.43
условия на точки (=), (:f) в первом случае и на точки (=), (±) — во втором случае.
Если, кроме того, потребовать степени устойчивости, равной чи слу »7 > О у политопа [<р] = s'^ + [oj]* -|- [ai], то условия проверки этого свойства еще более усложняются, что видно на рис. 2.44, где пунк тиром обозначена граница области G со степенью устойчивости не меньше т}. Политопы, отвечающие прямоугольнику [а]', всегда имеют комплексно сопряженную пару нулей с вещественной частью не более.
4 a i = Oj
k«i
Я7'/ / / / •
0\/7//2rj |
////////////////a. |
Рис. 2.44
98 |
Глава 2. Некоторые принципы построения нелинейных регуляторов |
чем —т), тогда как политоп, отвечающий прямоугольнику [а]", всегда имеет только вещественные нули, не превосходящие число —т).
Заметим, что теория интервальной устойчивости сегодня предста вляет собой хорошо развитый раздел теории устойчивости движения. Здесь мы ограничимся вышеприведенными замечаниями и перейдем к проблемам использования критериев интервальной устойчивости в задачах стабилизации, в частности рассмотрим метод включения.
П р и м е р 12. М е т о д включения. Рассмотрим интервальный объект
У + Ыу + [а1]у = [Ь]и, |
(2.33) |
где [Ь] — интервальный коэффициент усиления, Ь € [6~,Ь''"], причем Ь~ > 0. Очевидно, что кгисую бы обратную связь с конечными коэффициентами усиления мы ни взяли, замкнутги! система будет неопределенной, а Гфи ли нейной обратной связи — интервальной системой. Поэтому естественно попытаться задать свойства замкнутой системы с помощью желаемого ин
тервального полинома
Мж = s^ + [а2]жЗ + [ai]m-
Тогда цель регулирования будет достигнута при линейной обратной связи
u = -kiy-k2y, |
(2.34) |
если ее параметры ki, ki будут удовлетворять следующим включениям:
[ai -f- bki] С [ai]x, [02 + Ькг] С [а2]ж-
Трудности, с которыми сталкивается рассматриваемый метод, видны из рис. 2.45, Действительно, для достижения асимптотической устойчиво-
" 1
Гь+ik |
(±) 1 |
1
ь-к |
— |
|
^ •^ Г/, f .i . |
||
, ^ |
||
-^"^ ^^ |
'"(1 |
|
^^^V-'-A |
[о]^гк
0
Рис. 2.45
1
!
[o-l-bJk] 1!
сти начг1льный прямоугольник [а] нужно с помощью вектора к = {}i2^k\) "перенести" в открытый положительный ортгшт плоскости (a2,ai). При этом происходит ргкгширение границ пересекаемого прямоугольника [a]ib, так как коэффициент Ь неизвестен и меняется от Ь~ до Ь"*".
2.2. Стабилизация объекта с неопределенным оператором |
99 |
Для достижения требуемого качества регулирования, кроме всего про чего, нужно noneicTb "размытым" прямоугольником [а]* вовнутрь прямо угольника [а]ж, что довольно трудно. Для этого нужно проверить принад лежность прямоугольнику [а]ж двух диагональных вершин прямоугольника [а]к, например ф и © .
Конечно, если ослабить требования к качеству переходных процессов и добиваться лишь, к примеру, стабилизируемости, т.е. гигимптотической устойчивости замкнутой системы, то процедура синтеза обратной связи заметно упрощается. Так, при стабилизгщии интервального объекта (2.33) с помощью линейной обратной связи (2.34) достаточно выбором параметров ^1, ^2 удовлетворить интервальные неравенства
[а2+Ьк2]>0, [ai-l-bfci] > 0 ,
которые эквивалентны следующим числовым неравенствам:
02 +Ь~к2>0, а^ +Ь~к2>0.
Спргведливость последнего утверждения иллюстрируется рис. 2.46.
[a+Vk]
V/////////// «2
Рис. 2.46
Структурнгш схема системы стабилизации в нуле интервального объ екта с помощью линейной обратной связи приведена на рис. 2.47 и, разуме ется, не зависит от способа расчета ее параметров к\ иfcj,т.е. используется ли метод включения или метод интервальной устойчивости.
с |
ь |
i9 |
«2 |
|
с ) - | |
|
ki |
У |
1 |
|
s4[aj]s+[a ll |
|
Рис. 2.47 |
100Глава 2. Некоторые принципы построения нелинейных регуляторов
Взаключение заметим, что рассмотренные методы стабилизации не могут быть применены, если в правой чгигги имеется неисчезающее, пусть даже известное, возмущение /(<), т.е. в случае, когда стабили зируется объект вида
У + [а2]у + [ai]y = [Ь]и + / .
Отсутствие информации о коэффициенте 6 не позволяет применить даже метод прямой компенсации возмущения, а так как в обратной
связи
U = -kiy-k2y
используются ограниченные коэффициенты, а помеха /(<) не стре мится к нулю при t —> 00, то замкнутая система, в лучшем случае, будет диссипативной. Следовательно,
•методы стабилизации, основанные на интервальной устойчивости,
имеют свою область применения, но не исчерпывают проблему в целом.
В частности, они не годятся для тех случаев, когда параметры объ екта меняются.
2.2.6. Общие полоясения теории адаптивной стабилизации
Рассмотрим проблему стабилизации неопределенного объекта с опе ратором Р + АР и положим для простоты, что
у' = о, / = о,
т.е. будем решать задачу стабилизации свободных колебаний объекта. Сделаем также стандартное предположение о том, что неопреде ленность АР удовлетворяет условию согласованности JIJIH МС-усло- вию. Тогда проблема сводится к выбору регулятора R, стабилизи рующего выход объекта Р 4- АР в нуле (рис. 2.48). Ранее мы уже
R
чАР -9
Рис. 2.48
доказали принципиальную возможность решения такой задачи ста билизации методом большого коэффициента, но это приводит, как неоднократно подчеркивалось, к непрочным системам управления.