Емельянов С.В. Новые типы обратной связи

Такому разбиению соответствует структура объекта, показанная на рис. 1.23. Из рисунка видно, что выход объекта у не зависит от возмущения /, когда сигнал v = z + q не зависит от / . Дгшее, так как сигналы 2 и г определяются равенствами

то, очевидно, z = P^f + P2P1U*, и сигнал v не будет зависеть от возмущения / , если сигнал q надлежащим образом зависит от этого возмущения. Это соображение и является неформальным выражением принципа двухканальности.

Р," П^ Е,' Рг

Рис. 1.23

Перейдем теперь к формальному его обоснованию. В том случае, когда выход г подсистемы Pi известен, т.е. г = Piu', искомую за­ висимость q{f), компенсирующую влияние / на v, можно построить следующим образом. Сначала измеряется сигнал z, затем он преобра­ зуется оператором Ri, а полученный сигнал вычитается из программ­ ного управления к*. В результате получаем структурную схему си­ стемы управления, в которой z = РУ -\- Р^г, г = —Pi Riz + Piu' (рис. 1.24). Подставив первое выражение во второе, получаем равен-

ГRi

Рис. 1.24

ство Г = —Pi Pi (Р2/ -I- P^r) + Piu*. Решаем это равенство относи­ тельно г и находим, что сигнал

зависит от внешнего возмущения / , чего не было ранее. Поэтому, следуя рекомендациям из предшествующих разделов и выбирая под­ ходящим образом оператор Рг в системе на рис. 1.25, можно рг1ссчи-

тывать на получение искомой, т.е. компенсирующей влияние / на v, зависимости q(f). В этом случае образуется второй дополнительный канал распространения возмущения / (на рисунке обозначен штри­ ховой линией), с чем связано название рассматриваемого принципа инвариантности.

Рис. 1.25

Проанализируем полученную систему управления. Поскольку в структурной схеме на рис. 1.25 сигнал z дается выражением

то можно, подставив в это соотношение г из (1.18), полупить связь между сигналами z,f и и' в виде

Теперь, зная зависимость сигнала v = z-\-q от f, нетрудно подобрать требуемую для обеспечения инвариантности по отношению к / за­ висимость ?(/). Для этого оператор Лг в схеме на рис. 1.25 нужно выбрать в виде

В самом деле, при таком выборе оператора R2, с учетом соотно­ шения (1.18), нетрудно определить, что

Следовательно, сигнал t; выражается равенством

V = z + q= -—и

и не зависит от неконтролируемого возмущения / , что и требовалось.

требований к физической реализуемости степень свободы, стесненная лишь условием компенсации

Pi Ri R2 = 1

и условием несмещенности решения задачи стабилизации

R2{\^PQ) = P2-

Поэтому среди принципов прямой компенсации внешнего возмущения принцип двухканальности имеет, пожалуй, наибольшую сферу приме­ нимости. Однако и он не свободен от серьезных недостатков.

•Во-первых, при его использовании, как, впрочем, и в случаях при­ менения других принципов компенсации, мы вынуждены ограни­ чиваться устойчивыми объектами.

•Во-вторых, в структурной схеме соответствующей системы ста­

обратной связи. Устойчивость этого контура отнюдь не наступает неотвратимо, и так как выбор оператора Ri стеснен условием ком­ пенсации, то скорее всего придется принимать специальные меры для стабилизации движений в этом внутреннем контуре.

•В-третьих и в-четвертых, из условия компенсации Ri R2P1 = 1 видно, что в нетривиальном случае (когда Pi — физически реали­ зуемое динамическое звено и, следовательно, степень полинома чи­ слителя соответствующей передаточной функции меньше степени полинома ее знаменателя) точное выполнение условия компенсации в классе физически регшизуемых операторов Ri, R^ невозможно. Поэтому речь может идти только о приближенной компенсации возмущения. К этому же выводу мы приходим и с учетом того обстоятельства, что условие полной компенсации выражается точ­ ным равенством, а для этого необходима информация об истин­ ных значениях параметров объекта, чего на практике, конечно же, нет. Иными словами, применение этого принципа регулирования не приводит, вообще говоря, к грубым системам управления.

•И, наконец, в-пятых, условия применимости принципа двухканаль­ ности довольно специфичны и предполагают не только наличие ин­ формации о внутренних координатах объекта, но и возможность активного, а по сути дела регулирующего, воздействия на внутрен­ ние координаты. Само собой разумеется, что подобные возмож­ ности, а точнее, их сочетание, встречаются на практике далеко не всегда.

Именно поэтому теория управления обратилась к более активному использованию обратной связи. Подробнее об этом поговорим в сле­ дующем разделе, а теперь рассмотрим простой пример, иллюстриру­ ющий особенности применения принципа двухканальности.

Пример 4. Стабилизация с использованием принципа двухканальности. Рассмотрим объект упргшления третьего порядка, декомпо­ зированный в соответствии с общей теорией метода двухкан<1Льности на три подсистемы (рис. 1.27). Передаточные функции операторов Pi, Pj и

s + Xj s + Xi

Требуется без измерения возмуще1ШЯ / обеспечить решение задачи стг1билизации, т.е. добиться точного выполнения ргшенства у = у'. Здесь у' — заданнг^я функция времени.

Заметим, что данный объект упргюления можно описать следующими дифференцигьльными уравнениями:

У -Агу+г, Z = -Xiz + г + f, г = и.

В соответствии с изложенной выше теорией метода двухкгшгшьности дополняем рис. 1.27 местной обратной связью с оператором Ri и местной прямой связью с оператором Дг (рис. 1.28), где Wi(s) и W^ls) — отвечающие

Рис. 1.28

R\ и Ri искомые передаточные функщш. Исключаем из уравнешш

описывающих эту схему, переменные q и z и находпм сначала равенство

а затем связь между переменной v = z + q, возмущением / и входом и' в виде

l + W2is)is + Xi) , s-W,{s)W2{s)

При выполнении условия полной компенсации (1'19) передаточные функции Wi[s), W2{a) удовлетворяют соотношению

Ясно, что для физически реализуемых передаточных функций это соотно­ шение не может выполняться. Например, если W^^s) = 1, то W\{s) = s, и она физически нереализуема.

Разумеется, выбор передаточных функций W\ (в) и W^i^s) еще более стес­ нен, когда требуется обеспечить точное ргшенство у = у' • Действительно, при выполнении условия компенсации (1.21) справедливы равенства

\ + W2{s){s^-\i)

Бели теперь использовать стгшдартный подход к формированию програм­ много управления, когда и* = Р у', а Р — оператор объекта с передаточ­ ной функцией

то выход системы преобразуется в соответствии с выражением

«(« + Ai) , VKj(e)

и для обеспечения требуемого условия у = у' необходимо выполнение ра­ венства

Из уравнения (1.21) находим передаточную функцию оператора Рг:

W2(S) = 1 «-(-Ai

Если оператор Лг вольтерровский (т.е. удовлетворяет принципу причинно­ сти), то Ri, — невольтерровский оператор, так как он содержит двукратное дифференцирование. Следовательно, подобнг1я система управления физиче­ ски неосуществима.

Это означайт, что

•в рамках принципа двухканальности добиться точной компенса­ ции возмущения и одновременно обеспечить точное решение за­ дачи стабилизации с использованием только вольтерровских опе­ раторов невозможно.

Поэтому встает вопрос о приближенной реализации условия ком­ пенсации или об использовании корректирующей связи по нагрузке у* для достижения точного равенства у = у'. Поскольку вторая возмож­ ность подробно обсуждалась при изложении теории данного метода

не зависит от / . Положим q = г. Тогда, в силу (1.23), из предыдущего уравнения получим выражение

в котором управление и следует подобрать так, чтобы его правая часть зависела только от сигнала v и программы и'. При этом упра­ вление может зависеть только от сигнгиюв г, г и и'.

Выразим функцию / из правой части второго уравнения (1-23) и подставим результат в (124). В итоге получим v = z + и. Теперь ясно, что если

где к — постоянный коэффициент, то сигнал v удовлетворяет урав­ нению

V = kv + и'

и не зависит от возмущения / , а значит и выход объекта не зависит от этого возмущения, что нам и требовалось. Отметим, что этот резуль­ тат совпадает с описанным выше результатом, полученным структур­ ным методом при к = 0.

1.6.Метод iif-изображений

или метод встроенной модели

Вклассической и современной теории управления весьма популярен метод компенсации возмущения /(<), основанный на точном знании модели, порождающей это возмущение. В линейной теории модель возмущения задается или векторным дифференциальным уравнением

где Н, h — постоянные матрица и вектор надлежащих размеров, или скалярным дифференциальным оператором K{s), аннулирующим воз­ мущение /(<), т.е.

о,- постоянны. В первом случае возмущение однозначно определяется начгшьным фазовым вектором 1°, так как

f = h{sE-H)-^x°,

а во втором случае — значениями /(0), /'^^(0), . . . , /^""^^(0). Задание возмущения в виде волновой модели (1.26) или в виде аннулирующего оператора (1.27) — это вопрос удобства. Ранее же использовалась только форма (1.27), и именно для нее академиком B.C. Кулебакиным был развит соответствующий раздел теории инвариантности. Об этом нам напоминает буква К, традиционно используемая в обозна­ чении аннулирующего полинома.

Итак, рассмотрим объект (рис. 1.30), подверженный воздействию возмущения f(t) и управлению и. Предполагаются известными анну-

Рис. 1.30

лирующий оператор K{s) и внутренняя переменная z(t). Требуется выбором управления u{t) обеспечить выполнение точного равенства y(t) = y'{t) при любых f{t), удовлетворяющих (1.27).

Из рис. 1.30 и уравнений объекта управления

не зависит. Но в исходной структуре последнее имеет место только тогда, когда P j / = 0> т.е. когда Р^ — аннулирующий оператор для / , Поскольку надежд на выполнение этого тождества нет, то попы­ таемся изменить оператор между / и г е помощью местной обратной

IV

Рис. 1.31

связи с оператором R (рис. 1.31). В модифицированной таким образом системе для нахождения зависимости z от f воспользуемся соотноше­ ниями

После подстановки второго равенства в первое и приведения по­ добных, находим искомую зависимость в виде

Координата z не будет зависеть от помехи /, если найдется опера­ тор R такой, что при некотором операторе L имеет место равенство