Емельянов С.В. Новые типы обратной связи

7.6.2. Скользящие рехсимы 2-го порядка в ОК-контуре

Рассмотрим здесь тот случай финитной стабилизации ошибки ОКконтура и, который естественно возникает при использовании раз­ рывной ОК-связи следующего вида:

Опуская, ввиду аналогичности, рассуждения, устанавливающие финитность возникновения скользящего режима в точке ^ = О, перехо­ дим непосредственно к анализу уравнений скольжения в (/i,e)-npocT- ранстве или, иначе, уравнений Е^рсистемы. При 6 = const имеем уравнения

При получении этих уравнений учтено, что i/ = —g/i.

Уравнения, подобные уравнениям Е^рсистемы, подробно изуча­ лись в оптимально-релейных системах, сходные уравнения рассматри­ вались и в главе 5 при анализе скользящих режимов высших порядков. Сшивание фс1зовых траекторий Ед- (рис. 7.12а) и Еь- (рис. 7.126) си­ стем в пространстве (/i,/i) по линии ргизрыва

\ V

Рис. 7.12

рисунков можно увидеть, что существует отрезок ММ' "параболы" ^ = /i + \ / Ы sgn /i = О, в окрестности которого фазовые траекто­ рии направлены встречно, т.е. на этом отрезке возникает скользящий режим с уравнением движения /i = — \ / | Й ^g" ^^•

Точное аналитическое решение этого уравнения имеет простой вид \/fi{i) = y/i^iO) — t/2, из которого и следует финитность достижения нуля при t = 2 ^fi{0).

Рис. 7.13

Структурная схема исследуемой бинарной системы представлена на рис. 7.14, и имеет довольно сложный вид. Однако, финитную стабилизацию ОК-ошибки и можно обеспечить и более простым ОКрегулятором, реализующим режим переключений. Рассмотрим этот регулятор подробнее.

244 Глава 7. Теория операторно-координатной обратной связи

Заметим теперь, что если определить два числа а и /? следующими соотношениями:

р + а = к!2, р-а = Щ,

то использованное выше уравнение ОК-регулятора можно записать в виде

^ = —а sgn I/ — /? sgn и.

Последнее позволяет изобразить структурную схему в виде, пред­ ставленном на рис. 7.17. Ее сравнение со схемой на рис. 7.14 пока­ зывает, что при том же качестве регулирования достигнуто замет­ ное упрощение структуры нелинейного регулятора. В рассмотрен-

1 -1 р

^1

s + c

1a e A . ЬбВ

Рис. 7.17

ных ОК-регуляторах, обеспечивающих финитное устранение динами­ ческого статизма, предполагалось использование производной v или, что в данном случае то же самое, производной /i. По условию

/ i = -ki sgni

и является разрывной, поэтому, по сути дела, речь шла об исполь­ зовании не /i, а некоторой совпадающей с ней, но дифференцируемой функции /ieq. Для получения функции /ieq достаточно использовать ту

или иную операцию усреднения, например, в виде скользящего сред­ него (рис. 7.18а), либо инерционного звена с достаточно малыми по­ стоянными времени г > О (рис. 7.186). Если, однако, в ОК-контуре

Рис. 7.18

применить скользящий режим 2-го порядка (описанный подробно в главе 5), не использующий информацию о производной /ieg, то можно избавиться и от решения связанных с этим проблем. Подробности опускаем.

Проведенное исследование позволяет сделать следующий принци­ пиальный вывод:

•при использовании надлежащим образом организованной разрыв­ ной ОК-связи, в совокупности с тремя другими типами обратной связи, возможно добиться финитной независимости движения в па­ раметрически неопределенной системе без скользящего режима в главном контуре регулирования и при конечных коэффициентах передачи в каждом контуре обратной связи.

Типичный ход проекций фазовых траекторий таким образом син­ тезированной бинарной системы стабилизации на множестве Gg дает рис. 7.19. При этом закономерен вопрос о физической основе указан-

Рис. 7.19

ного эффекта компенсации возмущения. Важно также выработать определенные правила действия обратных связей вне множества Gs, что позволит говорить о решении задачи глобальной стабилизации. Обо всем этом пойдет речь в следующей главе.

Глава 8

Ограничения, физические основы компенсации возмущений и стабилизация вынужденного движения в бинарных системах

До сих пор при синтезе систем стабилизации рассматривалось дви­ жение только на множестве G* = { а; | |<т| < Ji^i)} (рис. 8.1), причем число S > О считалось столь малым, что это позволяло обойтись при анализе уравнениями первого приближения. В этой связи уместен

а=0

Рис. 8.1

первый вопрос:

•Как правильно модифицировать алгоритм бинарного управления,

стем чтобы он был пригоден к использованию при любых началь­ ных условиях? (Разумеется, все его стабилизирующие свойства должны сохраняться.)

Важным тезисом, бывшим одним из основных при развитии тео­ рии бинарного управления, является тезис об ограниченности коэф­ фициентов передачи и непрерывности сигналов управления и прежде всего в главном К-контуре регулирования. Поэтому возникает вто­ рой вопрос:

•Как эти фундаментальные требования отразить в гигоритме би­ нарного управления и какими побочными эффектами это сопрово­ ждается?

Следующий, третий вопрос, на который далее дается ответ, свя­ зан с выяснением,

•какова физическая основа компенсирующего неопределенность эф­ фекта в бинарных системах.

Теперь в уравнении изменения 0-переменной ^ должна фигурировать переменная /I, а не /х, как ранее, так как и = JTx, и поэтому

В результате дифференцирования ц, из (8.1) видно, что fi = fi только при \ц\ < 1 и / 1 = 0 в остальных случаях. Это качественно меняет задачу стабилизации объекта (8.2) управлением /I и ведет к негативным последствиям, так как при | /х | > 1 этот объект неупра­ вляем. Поэтому следует искать более "хитрые" решения задачи об ограничении операторной переменной fi.

Рассмотрим ряд способов ограничения 0-переменной //, сохраня­ ющие управляемость объекта ^ — 2d^ + bfi + а.

С п о с о б I. Положим

и fi линейно убывает до значения /х = — 1; при переходе через ц = —\ уравнение изменения /i меняется на /J = —шц и переменнгш fi возра­

образом, на прямых \fi\ ~ 1 возникает скользящий режим, что и га­ рантирует соблюдение ограничения \fi\< 1, быть может, с некоторого момента времени.

Достоинство этого способа заключается в том, что управляемость объекта не теряется при выходе на ограничение, так как при изме­ нении знака ^ переменная fi немедленно "сходит" с него, а это то, что нужно. Заметим, что закон (8.3) можно записать в виде одной формулы, если ввести функцию

(ее график дан на рис. 8.4) и бинарную операцию /?(у, О — v(/^)sgn ^.