Емельянов С.В. Новые типы обратной связи

Последнее как раз и означает, что действие статического ОК-регу- лятора эквивалентно увеличению в (1 — 9^2) раз коэффициентов пе­ редачи КО-регулятора, что, как отмечалось ранее, понижает проч­ ность системы управления. Формула (7.11) также проясняет эффект от использования статического ОК-регулятора. Описанную систему

900 1

Рис. 7.5

иллюстрирует рис. 7.5, на котором показан ход проекций фазовых траекторий системы на множестве Gg после возникновения скользя­ щего режима.

7.4. Интегральный ОК-регулятор

Из классической теории регулирования известно, что статизм устра­ няется применением интегральной обратной связи, поэтому рассмо­ трим ОК-регулятор следующего вида:

Уравнение (7.12) вместе с уравнениями КО- и 0-регуляторов

а также уравнениями движения объекта в КО-пространстве (xi,^)

задает поведение замкнутой системы управления с четырьмя типами обратной связи на множестве Gs.

Структурная схема исследуемой бинарной системы приведена на рис. 7.6. (выделен синтезированный нелинейный динамический ре­ гулятор второго порядка, полный порядок замкнутой системы ра-

Мое л, ЬеВ

Рис. 7.6

вен четырем). Задача теперь состоит в таком выборе параметров системы, при котором гарантируется стабилизация переменной х\ в нуле при асимптотически исчезающей зависимости переходного про­ цесса от неопределенных (для простоты — постоянных) параметров а е Л, 6 е В.

Для анализа поведения синтезированной бинарной системы обра­ тимся к уравнениям изменения операторных переменных (^, /i, rj). После подстановки соотношений (7.17), (7.14) в (7.12) и (7.13), (7.14) в (7.17) получим в итоге совокупность дифференцигшьных уравнений, описывающих так нгкзываемую Е^-систему:

Довольно ясно, что положение равновесия Е;-системы находится в точке (^оо./^оо,»?»)) = (О, О,-а/6).

Убедимся, что в малой окрестности положения равновесия за ко­ нечное время в точке £ = О возникает скользящий режим. Для этого достаточно умножить почленно первое уравнение Ef-системы на £ и получить выражение

^i = -h\^\ + 2(d- qti)e + bfii + brji + ai,

из анализа которого прямо следует, что при выполнении условия

кг >а°

существуют такие константы а, /? > О, что в окрестности

выполнено неравенство

которое эквивалентно дифференциальному неравенству

^ < - a s g n £ .

Из приведенных неравенств следуют утверждение о возникновении скользящего режима в точке £ = О за конечное время и сходимость в Gi к нулю основной переменной xi, так как из (7.16) имеем уравнение

XI = -(d + р)х1.

Однако этого мало, поэтому продолжим исследование.

В скользящем режиме, как обычно, из равенств £ = £ = О опреде­ ляем эквивгшентное значение разрывного сигнала в виде

^isgneq£ = b/i + b»?+a.

После подстановки найденного эквивалентного управления в уравне­ ния (7.20) Е^-системы получаем следующую совокупность дифферен­ циальных уравнений Е^-системы:

Положение равновесия Е^-системы находится в точке (О, —а/Ь), которая, естественно, совпадает с точкой (//со > 'Поо)- Устойчивость по­ ложения равновесия определяется асимптотическими свойствами ди­ намической системы

Заметим, что степень устойчивости системы (7.22) увеличивгьется при q —¥ О, т.е. назнач£1ется по произволу без изменения коэффициентов передачи главного К-контура регулирования. Кроме того, из (7.14)

и (7.18) следует равенство v = —qn, и поэтому j / —> О, когда /i —^ 0. Таким образом, интегральный ОК-регулятор решает поставленную задачу об асимптотическом устранении с произвольным темпом ди­ намического статизма.

Выбирая надлежащим образом свободные параметры дифферен­ циального уравнения i/ — и b/q + k2b = О, определяющего изменение 0-ошибки 1/, можно добиться колебательных (рис. 7.7а) или аперио­ дических (рис. 7.76) переходных процессов. В соответствии с этим определяется и характер переходных процессов в исходном коорди­ натном (а;1,а;2)-пространстве (рис. 7.8).

Рис. 7.7

ная система (в силу использования конечных коэффициентов пере­ дачи) прочна, так как динамические или функциональные неидеаль­ ности приводят лишь к отклонению переменной ^ от нуля, т.е. |^| < Д, Д = const < S. Последнее, очевидно, не нарушает асимптотических свойств системы в исходных переменных (хг.хг)-

О с т а б и л и з а ц и и о б ъ е к т а с п е р е м е н н ы м и п а р а м е т р а ­ ми . Изменение во времени параметра Ь ^ В принципиально не ме­ няет описанной выше картины, так как уравнения движения при этом остаются прежними. Следует, однако, отметить, что при доказатель­ ствах устойчивости предпочтительнее использовать второй метод Ля­ пунова, а не операторные методы и преобразование Лапласа, как ра­ нее. Если же меняется параметр а £ А, то все уравнения движения также сохраняются, однако меняется их асимптотика.

Так, например, Ef-система (7.21)

qft = bfi + Ьт] + а,

т) = qhfJt

из асимптотически устойчивой превращается в диссипативную, т.е. за конечное время ее решение погружается в инвариантный шар

/^•^ + (Ьт) -f- а)^ < const.

Поскольку I/ = р = —qfi, отсюда следует диссипативность и по i/, т.е. |f I < const. Это означает, что устранение динамического статизма не гарантируется. Но этого и следовало ожидать, так как интегральный закон аннулирует только постоянные возмущения, для аннулирования произвольного волнового возмущения Ка = О, как известно, в регуля­ торе следует применять оператор К~^ — обратный к аннулирующему оператору К.

О п о р я д к е з а м к н у т о й с и с т е м ы у п р а в л е н и я . Из струк­ турной схемы замкнутой системы, приведенной на рис. 7.6, видно, что исходный порядок системы равен четырем. После возникнове­ ния скользящего режима в 0-регуляторе он понижается на единицу и описывается следующими уравнениями:

qii = bfi + btj + a, Ti = qk2fi i i = -{d-qfi)xi.

Если степень устойчивости Е^-системы установить много больше чи­ сла d, а это всегда возможно выбором параметров регулятора, то ее движения можно считать быстрыми по отношению к основному дви­ жению

и, следовательно, фактически порядок замкнутой системы равен еди­ нице. Иными словами, сложная неопределенная нелинейная система в итоге ведет себя как скалярная система (7.25).

Подчеркнем, однако, что это драматическое понижение порядка справедливо только в асимптотике. Если же принять разрывную ОКсвязь, то того же эффекта можно добиться финитно, т.е. за конечное время.

7.6. Разрывная ОК-связь

Из предыдущего рассмотрения ясно, что интегральный ОК-регуля- тор устраняет динамический статизм лишь в асимптотике и не га­ рантирует этого при переменных параметрах а £ А, Ь £ В. Поэтому рг1ссматриваемая в данном пункте задача такова:

•предложить эффективные методы финитного устранения динами­ ческого статизма, работоспособные и при переменных параметрах объекта.

Из классической теории регулирования известно, что при отсут­ ствии информации о характере изменения возмущения для этой цели могут применяться: большой коэффициент усиления, разрывная (ре­ лейная или СПС) обратная связь.

Увеличение коэффициента усиления понижает прочность системы управления, поэтому исследуем возможности разрывной ОК-обратной связи при решении сформулированной задачи.

чему соответствует структурная схема на рис. 7.9, проясняющая на-

sgn

Рис. 7.9

звание регулятора. Уравнение (7.26) вместе с уравнением изменения 0-переменной ^

и уравнением КО-регулятора

(7.28)