Емельянов С.В. Новые типы обратной связи

где константы fci < О, ^2 > О, с > 0. Тогда в секторе уи > О на фгьзовой плоскости (у, у) движение системы управления описывается ургшнением (/):

у = fciy, ki < О,

фазовые траектории которого — эллипсы (рис. 2.71а). В секторе у/т < О действует уравнение (//):

у = к2у, к2 > О,

и движение происходит по гиперболическим кривым (рис. 2.716). Видно, что асимптотическсш устойчивость не наступает ни при положительных, ни при отрицательных значениях к. Если, однако, фазовые траектории "сшить" по линиям разрыва (т = О, у = О, то получим асимптотически устойчивую систему (рис. 2.71 в). Обозначения / и / / на рисунках соответ-

Скользяший / режим

Рис. 2.71

ствуют областям действия структур (/) и (//). На прямой (Т = О фазовые

Рис. 2.72

Следовательно, фазовгш точка не может покинуть прямую разрыва (Т = О, при дальнейшем движении выполнено равенство и = О и этому движению отвечает фазовый вектор f" = af' + (1 — а)/'\ о >0, направленный вдоль прямой разрыва а = 0.

122 Глава 2. Некоторые принципы построения нелинейных регуляторов

Строгий ангииз движения системы в скользящем режиме дает те­ ория А.Ф. Филиппова (определение решения, условия его существо­ вания, единственности, продолжимости вправо и т.д.). Здесь огра­ ничимся эвристическими рассуждениями. Поскольку в скользящем режиме выполнено равенство <т = у + су = О, то

I/(t) = i/(ti)e-«(*-*0,

где ti — момент возникновения скользящего режима. Поскольку с > О, то y{t) -^ О при t —> оо, что и требуется. Значит, задача стаби­ лизации решена. Заметим, что даже если бы имелась информация о линейной комбинации <г = у + су, а не о ее знаке, как выше, то для получения аналогичного результата с помощью линейной обратной связи и = —к<т потребовалось бы устремление к —^ оо. Здесь же ко­ эффициенты fci и Аг2 конечны, что и обеспечивает прочность системе управления. Таким образом,

• в результате сочетания не являющихся асимптотически устойчи­ выми структур (/ — эллиптической, / / — гиперболической) воз­ никло устойчивое движение, которого не было ни у одного из них, т.е. появилось новое качество.

Иными словами, введение в обратную связь разрывного статиче­ ского элемента на два входа (^'-ячейки) (рис. 2.73) наделяет замкну-

Рис. 2.73

тую систему управления новыми качествами:

•г1симптотической устойчивостью при пониженных, по сравнению с линейной обратной связью, требованиях к объему информации;

•понижением порядка уравнения движения для всех траекторий,

кроме асимптот (рис.2.71 в);

•нечувствительностью к вариациям параметров объекта и к дей­ ствию внешней силы;

•прочностью по отношению к сингулярным возмущениям.

Ихотя сделанные выше выводы почти очевидны, приведем всетаки необходимые обоснования.

2.3.6.Анализ прочности СПС по отношению к параметрическим возмущениям

Рассмотрим систему переменной структуры, показанную на рис. 2.74, и исследуем ее свойства в предположении, что параметры объекта oi, 02 и 6 известны с точностью до диапазонов

о," < «• < «J*"' ^= 1.2. 0 < 6 < Ь - ,

т.е. имеется информация только о числах а* и 6~, тогда как значения параметров объекта и характер их изменения во времени неизвестны.

а

у

b i^+ajS+a,

Рис. 2.74

Подобные возмущения объекта называют регулярными, поэтому рассматриваемая задача есть задача анализа прочности СПС по от­ ношению к регулярным возмущениям.

Положим для удобства у* = 0. Тогда имеем дело с уравнением переменной структуры

У+ а2У + а1у = bipy,

вкотором характер переключений определяется действием ^-ячейки:

Гfci, у<т>0

У+ а2У + (oi - f>ki)y = О,

ипри выполнении неравенства

о|<4(о1 -bki),

124 Глава 2. Некоторые принищпы построения нелинейных регуляторов

в зависимости от знака параметра аа, движение осуществляется по скручивающимся (рис. 2.75а) или раскручивающимся (рис. 2.756) спи­ ралям (разумеется, все параметры считаются постоянными). В обла-

<т=0

Рис. 2.75

сти уо- < о действует уравнение y + a2y+{ai —6^2) J/ = О, и при выпол­ нении условия aj — Ьк2 < О структуре II отвечают гиперболические фазовые траектории (рис. 2.7ба). Разумеется, положение асимптоти­ ческих траекторий (асимптот) меняется при изменении параметров объекта, и если при любых допустимых oi, 02, Ь выполнено неравен­ ство 6^2 > с(с — ог) + oi, то асимптота, отвечающая устойчивому движению, расположена так, как это показано на рис. 2.76а. .После "сшивания" фазовых траекторий структур I и II получаем фазовый портрет, изображенный на рис. 2.766, на котором заштрихованы "ко-

о-=0

Рис. 2.Г6

сые" секторы с началом в точках М, М' и L, L', заметаемые фазо­ выми траекториями СПС при тех или иных допустимых сочетаниях параметров ах, oj, 6. Как и ранее, почти всегда фазовая точка за ко­ нечное время попадает на линию переключения (7 = 0, где и возникает скользящий режим.

В скользящем режиме движение подчинено уравнению

т.е. и в этом случае понижается порядок уравнения движения и до­ стигается независимость движения от параметров объекта, при этом допускается произвольное изменение параметров.

Все сказанное выше справедливо, если имеют место условия

•"попадание" на прямую разрыва (Г = О,

•скользящий режим существует на всей прямой а = 0.

Необходимым и достаточным условием попадания является отсут­ ствие вещественных положительных нулей у полинома

ip{s) = s"^ + 02 s + (af - 6"iti).

Достаточное условие существования скользящего режима имеет вид

Заметим, что в условиях стабилизируемости методами СПС от­ сутствуют ограничения на скорость изменения параметров объекта, тогда как для линейных систем такие ограничения имеются, как, на­ пример, в методе замороженных коэффициентов.

2.3.7. СПС при наличии внехпней силы

Рассмотрим проблему синтеза регулятора переменной структуры для системы, представленной на рис. 2.77.

^

s'+a^s+a,

Рис. 2.77

126 Глава 2. Некоторые принципы построения нелинейных регуляторов

Уравнения движения системы относительно ошибки и ее производ­ ных имеют вид

Возможны два варианта постановки задачи:

1)функция F{t) известна;

2)функция F{t) не измеряется, но известна ее мажоранта Fm(t), т.е. при всех t справедлива оценка \F{t)\ < Fm(t).

Требуется стабилизировать объект (2.57) в нуле с использованием ин­ формации об ошибке е и ее производной ё. Заметим, что традици­ онные средства компенсации F, кроме глубокой обратной связи, для этой цели не годятся.

При синтезе обратной связи воспользуемся приемом из Примера 17. Возьмем линию переключения на плоскости (е, ё) в виде (т = е + се и запишем выражение для ее производной в силу уравнений движения (2.57). Имеем

Сформируем управление в виде суммы двух компонент и = Ue + up, где первую компоненту Ue выберем, как и ранее, с разрывным коэф­ фициентом, т.е.

После подстановки этих выражений в (2.58) получим

где

&Q = -[с{с - аз) -I- ai]e -|- ЬфеС.

Бели параметры ^е-ячейки выбраны так, как в Примере 17, а именно:

TO будет выполнено неравенство (Т&о < 0. Если теперь вторую компо­ ненту управления up выбрать так, чтобы имело место условие

Пример 18. СПС при сингулярном возмущении. Исследуем влия­ ние на свойства СПС, синтезированной в Примере 17, временной задержки в переключениях, т.е. рассмотрим качественное поведение решений следу­ ющего уравнения:

у + а2у + aiy = -bk\y\ sgn^ и,

IT = у + су, sgn^ <т = sgn a(t - т),

где все константы и параметры удовлетворяют стандартным условиям, а т — достаточно малгш постояннгш времени запаздывания. Индекс т озна­ чает, как обычно, что ^'-ячейка "срабатывает" не в момент смены знака входным сигналом, а через время т. Отсюда следует, что вместо идеаль­ ного скользящего режима, имеющего место при т = О (рис. 2.82 а), воз-

о-=0

Рис. 2.82

никает режим переключении, называемый реальным скользящим режимом (рис. 2.826). Если при идеальном скольжении фазовая точка принадлежит линии а = 0:

(у, у) е Go = {(у, у) |<г = о},

то для достаточно малого г при регишном скольжении фазовая точка нахо­ дится в некоторой окрестности линии (Т = О, т.е.

{y,y)&Gr={g(y,y)\W\<5{r)\y\},

где 1$ = 0(т), т.е. S — величина порядка г.

Из рассмотренного примера следует, что асимптотическая устой­ чивость сохраняется при таком сингулярном возмущении, в отличие от релейной системы (рис. 2.826). Формально сходимость решения к началу в режиме реального скольжения следует из дифференциаль­ ного уравнения и неравенства, описывающих этот режим:

у + су = <т, ](г\<6\у\.

Ясно, что при достаточно мгиюм S (т.е. малом г) имеет место экспо­ ненциальная сходимость к нулю. Иными словами,

• СПС прочна по отношению к сингулярным возмущениям.

130 Глава 2. Некоторые принципы построения нелинейных регуляторов

Пример 19. СПС при функциональном возмущении. Рассмо­ трим влияние на качественное поведение СПС функциональной неидеаль­ ности, например, положительного гистерезиса величиной Л > О в пере­ ключениях ^-ячейки. В таком случае имеем дело с уравнением

У-I- 02У -f- oiy = -bk\y\ sgпд <т,

вкотором переключения происходят на поверхности

<г = у + су,

а все параметры и их выбор описаны в Примере 17.

Свойства рг1зрывного элемента sgnд tr тгисовы, что переключение насту­ пает только на линиях \IT\ = Л после прохождения нуля о- = О, поэтому вместо стандартного фазового портрета СПС с идегльным скользя1цим ре­ жимом имеем реальный скользящий режим в полосе \<т\ < Д (рис. 2.83). Это,

Рис. 2.83

конечно, ведет к диссипативности, т.е. к потере свойства асимптотической устойчивости. Формально этот фгист следует из соотношений

у + су = (г, \а\ < Д.

Следовательно,

•СПС не является прочной по отношению к функциональным воз­ мущениям.

2.3.9. Ограничения, недостатки и проблемы теории СПС

Рассмотренные выше примеры и многие другие результаты по теории и практике систем переменной структуры позволяют сделать выводы, важные для развития теории обратной связи. Приведем только неко­ торые из них.

•Параметры реального скользящего режима зависят от скрытых параметров г, Д в рассмотренных выше примерах. Возникающие при этом "биения", т.е. режимы высокочастотных колебаний в